La probabilit

1
La probabilità

• Spiegazione di alcuni concetti

2
Alcune definizioni

• In probabilità abbiamo a che fare con eventi,
  ovvero accadimenti che possono avvenire oppure
  no, a caso. Si indicano con E sono eventi
  diversi E1 ed E2
• Un evento è descritto da un enunciato, che può
  essere vero o falso.
• È uscita la pallina rossa alla roulette
• È uscito il 3 nel lancio di un dato
• Gli eventi possono essere composti, così come
  gli enunciati.
• È uscito il 3 oppure il 5 nel lancio di un
  dato, dove i due enunciati che descrivono i due
  eventi sono E1 è uscito il 3 E2 è
  uscito il 5.
• Due eventi possono essere tra loro incompatibili
  quando laccadere delluno esclude laccadere
  dellaltro altrimenti sono compatibili.
• Levento che esca alla roulette un numero pari è
  incompatibile con levento che esca un numero
  dispari (ovviamente nello stesso lancio).
• Al totocalcio che risulti 1 è incompatibile
  collevento che risulti anche X (oppure 2)
• Alle carte il fatto che esca il 7 è compatibile
  col fatto che esca un seme di colore rosso.
• Due eventi sono indipendenti quando il
  verificarsi delluno non influenza il verificarsi
  dellaltro. In caso contrario sono dipendenti.
• Alla roulette i due eventi E1 è uscito un
  numero rosso ed E2 è uscito un numero pari
  sono indipendenti, in quanto laccadere delluno
  o dellaltro non influenza in nulla laccadere
  dellaltro.

3
Alcuni importanti teoremi

• Probabilità contraria la somma delle probabilità
  di un evento E e del suo contrario ?E è eguale a
  1.
• Se la probabilità che esca un 3 a dadi è di 1/6,
  allora la probabilità che escano i rimanenti
  numeri è di 5/6. Per cui si ha che

• Probabilità totale di eventi incompatibili la
  probabilità di due o più eventi incompatibili è
  data dalla somma delle probabilità dei singoli
  eventi. Ovvero, in formule
• p(E1?E2) p(E1) p(E2)
• Probabilità totale di eventi compatibili la
  probabilità di due o più eventi compatibili è
  data dalla somma delle probabilità dei singoli
  eventi meno la probabilità dellevento
  intersezione. In formule
• p(E1?E2) p(E1) p(E2) - p(E1?E2)

4
Probabilità condizionata
Si ha la probabilità condizionata quando la
probabilità che accada un certo evento E1 è
condizionata dal fatto che avvenga un altro
evento E2, il che si scrive p(E1/E2). Ad
esempio vogliamo sapere la probabilità che al
lancio di due dadi esca la somma di 6 quando su
uno dei due dadi esce il numero 2. In questo caso
la probabilità di ottenere 6 è condizionata dal
fatto che uno dei due dadi dia un due. Per cui si
hanno solo due casi Primo dado 2, secondo dado
4 Primo dado 4, secondo dado 2 La formula che
permette di calcolare la probabilità condizionata
è la seguente
Ritornando allesempio di prima, sia E1 levento
la somma sulle due facce è 6 ed E2 levento
uscita della faccia con numero 2. Abbiamo così
- la p(E2), cioè che esca almeno un due
lanciando i due dadi, è data (per un semplice
calcolo combinatorio) da 11/36 - la p(E1 ? E2),
cioè la possibilità che esca una coppia con
almeno un numero 2 e che dia per somma il numero
6, è data da 2/36. Per cui, applicando la formula
si avrà
5
Probabilità composta
Dalla formula della probabilità condizionata si
ricava la probabilità composta, ovvero la
probabilità che due eventi accadano insieme, cioè
la probabilità di p(E1?E2) Questa si chiama
probabilità composta ed è data dalla
formula p(E1?E2) p(E2) ? p(E1/E2) (eventi
compatibili) p(E1?E2) p(E1) ? p(E2) (eventi
incompatibili)
6
Teorema di Bayes
Il teorema (o formula) di Bayes nasce da un
quesito se si è verificato levento E1, qual è
la probabilità che il suo accadere sia stato
causato da un altro evento E2? Detto in altri
termini, voglio sapere quale sia la probabilità
che un certo evento sia stata la causa C di un
altro evento E che si è verificato, ovvero voglio
conoscere la probabilità di C per levento E. Il
che si scrive p(C/E) Il teorema dice che
Nel caso in cui le cause fossero più di una
(mettiamo C1, C2 e C3), allora la probabilità che
a causare E sia stata ad esempio la causa C2 è
data dalla formula più generale
7
Un esempio del teorema di Bayes
Tenendo presente le formule prima date, facciamo
un esempio. Abbiamo due scatole in quella A ci
sono 30 biglie rosse e 15 nere nella B ci sono
20 biglie rosse e 30 nere. Mi viene consegnata
una biglia rossa senza che mi sia detto da quale
scatola essa è stata estratta. Io mi domando
allora che probabilità vè che essa sia stata
estratta dalla scatola A? Ovvero, che la causa
dellevento E biglia rossa sia la scatola
A? I dati sono i seguenti Visto che le
scatole hanno la stessa probabilità di essere
quelle da cui è stata estratta la biglia rossa,
allora avremo che p(CA) p(CB) 1/2. La
probabilità che la biglia rossa sia stata
estratta dalla scatola A è data da p(E/CA)
30/45 2/3 La probabilità che la biglia rossa
sia stata estratta dalla scatola B è data
da p(E/CB) 20/50 2/5 Ora possiamo applicare
la formula di Bayes e avremo
Ed effettuando le opportune sostituzioni
8
Come si calcola tale probabilità?
Il valore così trovato non è altro che
lapplicazione di quella che si definisce la
probabilità classica, che è data dal numero dei
casi favorevoli su quelli possibili. Ad esempio,
nel caso del lancio dei dati la probabilità che
esca il 6 è di 1/6, in quanto è un caso
favorevole su sei possibili
Dove m indica i casi favorevoli e n quelli
possibili. Nel caso delle biglie della scatola A
i casi favorevoli sono 30 (il numero delle biglie
rosse), mentre i casi possibili sono dati dalla
somma delle palline rosse e nere, cioè 301545.
E così si ha
9
Combinazioni
Per comprendere quanto detto prima in merito alla
probabilità condizionata, è necessari sapere come
si fa un semplice calcolo combinatorio. Prendiamo
ad esempio linsieme A che contiene tre
elementi A a, b, c