Calcolo delle Probabilit

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Calcolo delle Probabilità

• Istituzioni di Matematiche
• Scienze Naturali

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Introduzione

• Fenomeno deterministico se lesperimento è
  condotto nelle stesse condizioni si trova lo
  stesso risultato
• Esempi
• Moto di un grave
• Traiettoria di una pallina in un biliardo

• Fenomeno non deterministico anche se gli
  esperimenti sono condotti nelle stesse condizioni
  si trovano risultati diversi
• Esempi
• Risultato del lancio di una moneta
• Traiettoria di 100 palline in un biliardo
• Vincita in una lotteria
• Numero di lanci di un dado per ottenere un 6

La probabilità si occupa di fenomeni non
deterministici
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Spazio campione

• Insieme S di tutti i risultati dellesperimento
• Esempio
• Nel caso del lancio di una moneta STesta,
  Croce
• Nel caso dei numeri di lanci di un dado necessari
  per avere 6 SN (numeri naturali)

Evento

• Sottoinsieme E di S dato da un insieme di
  risultati caratterizzati dal godere di una stessa
  proprietà
• Esempio
• ETesta nel lancio di una moneta

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Esercizi

• Si estrae a caso una carta da un mazzo di 52
  carte. Si
• descriva lo spazio dei campioni quando (a) i semi
  non sono presi in considerazione, (b) solo i semi
  sono presi in considerazione.
• Supponiamo di estrarre 2 carte da un mazzo di 52
  e supponiamo di essere interessati a che vengano
  estratti 2 assi. Dire qual è lo spazio campione S
  e quale sottoinsieme E di S rappresenti levento
  cui siamo interessati.
• Essendo di corsa per prendere il treno,
  Genoveffa prende a caso 2 libri gialli tascabili
  da uno scaffale che ne contiene 15. Di questi
  libri 4 li ha già letti. Rappresentare levento
  Geneveffa prende 2 libri che non ha letto.

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Evento unione E U F
F
E
E U F
E U F è levento che si verifica quando almeno
uno dei due eventi E e F si verificano
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Evento intersezione E ' F
F
E
E ' F
E ' F è levento che si verifica quando entrambi
i due eventi E e F si verificano
Due eventi E e F si dicono incompatibili se E '
Fø
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Evento complementare Ec
E
Ec
Ec è levento che si verifica quando E non si
verifica
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Definizione classica
Probabilità regola che a ogni evento E associa
un numero reale compreso tra 0 e 1
p E p(E)
Definizioni di probabilità
Classica (Pascal)
Se un evento si può verificare in N modi
mutuamente esclusivi ed ugualmente probabili, se
m di questi possiede una caratteristica E, la
probabilità di E è il rapporto tra il numero di
casi favorevoli e il totale dei casi possibili
(tutti equiprobabili)
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Esempi

• Nel caso del lancio di una moneta STesta,
  Croce.
• p(Testa)1/2 (casi favorevoli 1, possibili 2)
• Lanciamo due dadi e calcoliamo la probabilità che
  la somma dei punti sia 4

Per semplicità scriviamo i numeri estratti come
coppie Le coppie di 6 numeri sono 6 6 36
numero di casi possibili I casi favorevoli sono
dati dalle coppie (1,3), (2,2) e (3,1) e sono
quindi 3. Pertanto p(somma 4 in 2
lanci)3/361/12
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Discussione

• Problemi della definizione classica
• non sempre posso dire che eventi sono
  equiprobabili (asimmetrie - esempio ho un dato
  truccato)
• il numero di casi deve essere finito
• Aspetti positivi
• è una definizione operativa

Determinazione della probabilità usando il
calcolo combinatorio
Definizione assiomatica
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Definizione assiomatica
p(Ac)1- p(A) A,B? in S p(A?B) p(A) p(B)-
p(A??B)
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Esercizi

• Una pallina è estratta in modo casuale da un'urna
  che contiene 6 palline rosse, 4 bianche e 5
  azzurre. Qual è la probabilità di estrarre una
  pallina rossa o bianca? Qual è la probabilità di
  non estrarre una pallina bianca?
• Estraggo a caso una carta da un mazzo di 52. Qual
  è la probabilità estrarre un dieci o una carta di
  picche?

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Esercizi

• Qual è la probabilità di fare doppio 2 con una
  coppia di dadi non truccati?
• Qual è la probabilità di fare doppio 2 con una
  coppia di dadi truccati in modo che nel 50 dei
  casi esca 6 (e gli altri numeri siano ugualmente
  probabili)?
• Qual è la probabilità di totalizzare 4 con una
  coppia di dadi non truccati?
• Un impiegato pensa di avere 2 possibilità su 3
  di non avere una promozione, 1 su 2 di avere un
  aumento e 1 su 4 di avere entrambi.
• Qual è la probabilità che l'impiegato abbia
  almeno una tra una
• promozione e un aumento?

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Definizione frequentistica
(o a posteriori) Richard von Mises
Si ripete un esperimento N volte e se un evento
con una certa caratteristica E si verifica m
volte, la frequenza relativa di successo è
f(E) dà una stima per la probabilità di E

• Problemi della definizione frequentistica
• In sitazioni concrete il passaggio al limite su
  cui si basa la definizione non può essere
  effettuato
• È necessario ripetere lesperimento un gran
  numero di volte

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Definizione soggettiva
(o bayesiana) Bernoulli, De Finetti
Probabilità grado di fiducia che una persona ha
nel verificarsi dellevento Prezzo p che si è
disposti a pagare per ricevere 1 se levento si
verifica e 0 se non si verifica
Esempio se lancio un dado il prezzo equo per la
scommessa esce il 4 dipende dalle informazioni
di cui si dispone se il dado non è truccato si
può assumere p1/6

• Problemi della definizione soggettiva
• Non è operativa
• Una valutazione soggettiva non è necessariamente
  obiettiva

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Calcolo Combinatorio
Problema determinare il numero di elementi di un
insieme finito
elenco diretto (lungo!) Esempioin un menù ho 3
antipasti, 2 primi, 4 secondi. Quanti sono i
possibili pasti completi (includono tutte le 3
portate - scelte una sola volta)?
Diagramma ad albero
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Diagramma ad albero
S1
S2
P1
S3
A1
S4
P2
. . ..
A2
P1
P2
P1
A3
P2
3 x 2 x 4
24 pasti completi
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Contare le scelte
Se gli insiemi A1, A2, , Ak contengono n1,
n2, , nk elementi Ho N n1 n2 nk
modi di scegliere prima un elemento di A1 ,
poi un elemento di A2 ... infine un elemento
di Ak
In particolare se n1 n2 nk n allora
Nnk numero delle disposizioni con
ripetizione di n oggetti a gruppi di k
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Disposizioni
gruppi di oggetti che si possono formare
scegliendo k oggetti tra n oggetti (I gruppi
devono differire per qualche oggetto e per
lordine)
Disposizioni con ripetizione si può ripetere lo
stesso oggetto
Esempio
Determinare e schedine del totocalcio si devono
giocare per essere sicuri di fare 13
Le possibili schedine sono 3131.594.323
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Disposizioni semplici (senza ripetizione)
di n oggetti tra k (n) D(n,k) Non si
può ripetere lo stesso oggetto
Esempio
Ad un gran premio di formula 1 partecipano 20
piloti. I primi tre classificati vanno sul
podio.. Quante sono le possibili terne di piloti
sul podio?
Il primo classificato può essere un qualunque
pilota tra 20, Il secondo uno qualunque tra i
restanti 19, il terzo uno tra 18 Quindi
D(20,3)201918
In generale D(n,k)n(n-1)(n-k1)
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Permutazioni
numero dei modi in cui si possono ordinare n
oggetti P(n) D(n,n)n(n-1) 21n!
Esempio
Quanti anagrammi (non necessariamente di senso
compiuto) si possono formare della parola FOGLI
Ho 5 possibili scelte per la prima lettera, 4 per
la seconda, 1 per la quinta, quindi gli
anagrammi sono P(5)543215!120
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Combinazioni
disposizioni a meno dellordine gruppi di
oggetti che si possono formare scegliendo k
oggetti tra n oggetti (I gruppi devono differire
per qualche oggetto ma non per lordine)
Esempio
Quante squadre di pallacanestro si possono
formare con 8 giocatori
Sono le combinazioni di 5 persone scelte tra 8
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Esercizi

• In quanti modi 10 persone possono sedersi su una
  panchina che ha solo 4 posti? (Si risolva
  l'esercizio due volte, una volta considerando
  importante l'ordine in cui si siedono e una no).
• In quanti modi diversi si possono sedere 7
  persone in un tavolo rotondo?
• Supponiamo di estrarre per 40 volte una pallina
  da un'urna contenente palline numerate da 1 a
  365 ( dopo ciascuna estrazione la pallina
  estratta viene nuovamente messa nell'urna).
  Quanti sono i possibili risultati
• diversi? Quanti sono i possibili risultati in
  cui i 40 numeri estratti risultano tutti diversi
  tra loro?
• Si deve costituire un comitato di 3 membri,
  rappresentanti ciascuno gli studenti, i docenti e
  il personale amministrativo. Se ci sono 4
  candidati per gli studenti, 3 per i docenti e 2
  per il personale amministrativo, si determini
  quanti comitati differenti si possono formare.

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Esercizi

• Dovete preparare un dolce, disponete di una
  cesta con 10 uova di cui ve ne serviranno solo 2
  per l'impasto. Ma vi ricordate che il giorno
  prima avete posto in quel cesto 4 uova vecchie di
  due settimane. Qual è la probabilità di aver
  utilizzato almeno un uovo non fresco?
• Intorno ad un tavolo rotondo si dispongono a
  caso 5 uomini e 5 donne. Qual è la probabilità
  che ogni donna sia seduta tra due uomini?
• Qual è la probabilità di fare tre volte 6
  lanciando tre volte un dado non truccato?