Calcolo delle probabilit

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Calcolo delle probabilità per le scuole superiori

• Laboratorio
• Convegno "Il piacere di insegnare - il piacere
  di imparare la matematica"
• Alberto Gandolfi
• gandolfi_at_math.unifi.it
• Appunti completi disponibili su
  http//bb.math.unifi.it/gandolfi/didindex.html

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Eventi casuali

• Il calcolo delle probabilità e la statistica
  costituiscono quella parte della matematica e, 
  più in generale, della scienza che si occupa di
  fenomeni casuali.Partiamo da due problemi.
• Problema 1 lanciando 1000 volte una moneta,
  quale sarebbe la vostra reazione di fronte a 510
  teste? E a
• 492, 459, 423, 397, 354, 299, 212, 154, 22?
•  
• Problema 2 cercando la porta vincente tra 3, ne
  scegliamo una e poi ci viene mostrata una porta
  non vincente tra le altre conviene cambiare la
  nostra scelta? O preferiremmo che la porta fosse
  aperta prima di fare la scelta?
•  

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Probabilità

• In questi problemi non si riesce a determinare
  con certezza
• l'esito tra varie possibili alternative.
• Due cause possibili
• - mancanza di informazioni
• - l'indeterminatezza connaturata.
•  
• Ma non ci interessa per l'indeterminatezza
  chiameremo tali
• eventi "casuali".
•  
• Per fare comunque previsioni introduciamo una
  nuova quantità la probabilità.

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Caratteristiche della probabilità

• - Non importa la sua vera natura basta che sia
  misurabile
• ed utile in casi interessanti.
•  
• - Si determina attraverso processi logici.
•  
• - E' un numero puro e si esprime in genere in
  frazioni di
• 100 (tipo 30) o con un numero in 0,1.
•  
•  
• Quest'ultimo metodo è conveniente per le
  moltiplicazioni il 3 del 40 è
• l'1,2, facilmente ottenibile da 0,03x0,400,12.

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Interpretazioni della probabilità

• Esistono varie scuole su come definire la
  probabilità
•  
• - Frequentista
•  
• - Soggettiva
•  
• - Bayesiana
•  
• - Convenzionalismo

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Obiettivi didattici

• nell'insegnamento della probabilità
•  
• deduzione logica di una teoria da alcune ipotesi
• fornitura di alcuni elementi per
  l'interpretazione del mondo reale, inclusi
  giochi, dati, sondaggi
• esemplificazione delluso di alcuni strumenti
  matematici presentati nel corso

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Prima formalizzazione

• Iniziamo da una formulazione elementare, che può
  rimanere lunica se si intende esporre una parte
  limitata della teoria.
• Con qualche esempio si vede la naturalezza
  delluso della terminologia insiemistica per
  descrivere le probabilità
• Tutte le realizzazioni possibili sono un insieme
  S
• Un evento è un sottoinsieme di S
• La probabilità è una funzione P sui sottoinsiemi
  di S

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Probabilità uniformi
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Alcune proprietà elementarida derivare (o far
derivare) rigorosamente
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Calcolo combinatorio
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Probabilità finite

• Per poter fare modelli di situazioni più generali
  si considerano casi in cui probabilità non sono
  tutte uguali.
• Si prendono come punti di partenza le prime tre
  proprietà dimostrate nel caso uniforme

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Costruzione delle probabilità finite

• La teoria è molto elementare e tutti gli esempi
  di spazi di probabilità finiti si costruiscono
  come segue

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Probabilità dellunione di eventi

• Talvolta è utile dedurre la probabilità da quella
  di eventi più semplici.

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Probabilità del complemento

• Nello stesso spirito di prima

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Indipendenza
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Due direzioni dellindipendenza

• Lindipendenza naturalmente è utile quando
• si usa senza verificarla. Questo pone
• qualche problema di consistenza con
• definizione precedente.
• Per i corsi elementari accontentiamoci di dire
  che omettiamo la verifica.

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Indipendenza dei complementi

• Un risultato elementare che verifica che la
  teoria si sta sviluppando coerentemente riguarda
  lindipendenza dei complementi

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Riepilogo primi calcoli delle probabilità
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Distribuzione di Bernoulli

• Con i metodi appena riassunti si ricava la
  distribuzione di Bernoulli o Binomiale (n,p)

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Foglio di calcolo
k Prob k succ su 2k prove
10 0,176197
20 0,125371
30 0,102578
40 0,088928
50 0,079589
60 0,072685
70 0,067313
80 0,06298
90 0,059388
100 0,056348
110 0,053732
120 0,05145
130 0,049435
10 0,176197
100 0,056348
1000 0,017839
10000 0,005642
100000 0,001784
1000000 0,000564
10000000 0,000178
1E08 5,64E-05
1E09 1,78E-05
1E10 NUM!
1E11 NUM!
1E12 NUM!

• Usando le funzioni di un foglio elettronico di
  calcolo si possono calcolare alcune probabilità.
  Ad esempio il valore della distribuzione
  Binomiale(n, p). Qui di fianco i valori di
  p(k,2k,1/2).

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Osservazioni sulle monete

• Anche il numero di teste che ci aspettiamo (n/2
  su n) ha probabilità che tende a 0. Quindi queste
  espressioni non servono per il problema 1.
• E chiaro però che la probabilità di un numero di
  successi minore o uguale a k può non tendere a 0.
• Riprenderemo la questione quando avremo
  più strumenti.

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Interpretazioni della probabilità

• Vediamo i progressi fatti sui problemi
• (1) sappiamo scrivere le varie probabilità
• (2) nessun progresso
• Come interpretare le probabilità?
• A priori ci si aspetta che specifici eventi di
  probabilità piccola non si realizzino
• A posteriori si sarà realizzato qualche evento
  di probabilità piccola, ma non era prevedibile
  quale.

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Probabilità condizionate

• Talvolta interessa la probabilità di un evento
  sapendo che un altro si è realizzato.

Anche in questo caso ci sono due direzioni a
volte si ricava P(AB) dalla situazione concreta
e lo si usa per ottenere uno degli altri termini.
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Probabilità totali o composte
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Dimostrazione del teorema
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Il problema del premio dietro alla porta

• Finalmente abbiamo gli strumenti per rispondere
  al problema 2

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Formula di Bayes
Formula di Bayes e probabilità condizionate sono
usate ampiamente nei calcoli di genetica.
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Variabili aleatorie

• Una funzione X definita su un insieme S su cui
  sia definita una probabilità P è detta variabile
  aleatoria
• La sua distribuzione è linsieme dei valori x che
  assume e delle relative probabilità P(Xx).

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Valore atteso

• Con qualche esempio si vede che il valore atteso
  o valor medio emerge sia come risultato medio
  dopo molte prove che come valutazione equa di un
  esperimento aleatorio.

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Significato del valore atteso
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Linearità del valore atteso

• Il valore atteso è lineare.
• Questa dimostrazione si può cominciare ad
  omettere.

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Indipendenza di variabili aleatorie
La verifica che questa definizione generalizza
lindipendenza di eventi è un po laboriosa
dovendo considerare sottofamiglie di eventi e si
omette.
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Misure della deviazione dal valor medio

• Per valutare quanto in media una variabile
  aleatoria si discosta dal suo valore atteso si
  introduce la deviazione standard SD
• per valutare la quale il primo passo è la
  varianza

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Additività della varianza

• Sorprendentemente, la varianza è additiva per
  variabili aleatorie indipendenti.
• (volendo si può presentare agli studenti una
  dimostrazione)

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Deviazione standard per il numero di teste
Per cui per n lanci di una moneta, essendo p1/2,
la deviazione standard è ½
Questo suggerisce già qualcosa sul problema
delle monete, ma prima di completare lanalisi
introduciamo le variabili continue.
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Variabili continue

• Finora si sono viste variabili aleatorie con un
  numero finito di valori. Vari esempi suggeriscono
  che a volte è utile considerare variabili che
  assumono valori sul continuo.
• Ad esempio se si spezza un bastoncino a caso o si
  considera lorario di un arrivo.

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Densità delle variabili continue

• Le variabili aleatorie continue sono ben
  descritte prendendo una densità di probabilità f,
  analoga alla densità di massa, che soddisfa
• La probabilità poi si calcola con gli integrali

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Esempi di variabili continue
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Valore atteso di variabili continue
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Funzione di distribuzione

• Un altro modo per descrivere una variabile
  aleatoria è la funzione di distribuzione. Non è
  un metodo intuitivo, ma talvolta è molto utile

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Simulazione di una variabile uniforme
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Simulazione di variabili continue
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Analisi di dati

• Per analizzare dati casuali (che interpretiamo
  come realizzazioni di variabili aleatorie) si
  utilizzano le stesse quantità calcolate però sui
  dati, e quindi dette empiriche
• indicate nei fogli di calcolo con funzioni tipo
  MEDIA,
• DEV ST, VAR
• Il valor medio empirico è anche detto media
  empirica e può essere a sua volta pensato come
  funzione delle variabili aleatorie.

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Convergenza della media empirica
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Teorema centrale del limite

• Con qualche calcolo questo risultato permette di
  stimare molto accuratamente la probabilità che la
  somma di variabili indipendenti disti più di una
  data costante dal valore atteso.

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Illustrazione grafica del TCL

• Ci sono molti siti in cui si può vedere come la
  distribuzione della somma di variabili
  indipendenti converge ad una normale.
• Per le variabili Bernoulli si veda per esempio
  http//cnx.org/content/m11198/latest/

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Stima della deviazione dal valore atteso
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Stima della deviazione della media empirica dal
valore atteso

• Abbiamo visto che la media empirica approssima il
  valore atteso, ma il TCL permette di dare una
  stima più accurata
• Questa osservazione si usa nei problemi di misura
  fornendo una stima di quanto la media empirica
  delle misurazioni disti dalla misura vera.

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Variabili congiunte

• Spesso si considerano più variabili aleatorie
  allo stesso momento. Queste possono essere non
  essere indipendenti, e quindi occorre una
  trattazione delle distribuzioni congiunte.
• In un corso di scuola superiore conviene però
  limitarsi ad un caso semplice una misura del
  grado di dipendenza di due variabili aleatorie.

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Correlazione

• Date due variabili aleatorie X ed Y si introduce
  la covarianza
• E poi la misura adimensionale della dipendenza,
  detta correlazione

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Proprietà della correlazione

• La correlazione soddisfa
• Quando r1 oppure r-1 cè dipendenza lineare tra
  X ed Y. Quando X ed Y sono indipendenti r0. Per
  cui r misura la dipendenza di X ed Y

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Correlazione empirica

• I fogli di calcolo forniscono di solito una
  funzione, a volte indicata con CORRELAZIONE che
  calcola questo valore sui dati.

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Test un modello per pesi ed altezze