Probabilit

1
Probabilità
2
obiettivi

• dare allalunno, a partire dalla valutazione
  qualitativa del grado di incertezza di un evento
  aleatorio, la consapevolezza che anche lambito
  del fortuito può essere analizzato razionalmente
•   far valutare quantitativamente la probabilità
  di un evento secondo la definizione classica di
  probabilità come rapporto
•   far acquisire la capacità di operare con
  semplici proposizioni di calcolo e risolvere
  problemi con eventi aleatori composti
•  
• -  studiare, con strumenti probabilistici alcuni
  problemi delle scienze sperimentali
  (ereditarietà, fattore Rh)
•  

3
obiettivi

• avviare la comprensione della legge (debole) dei
  grandi numeri, facendo vedere in uno schema di
  prove ripetute, che eventi casuali, al crescere
  del numero delle prove, seguono una crescente
  regolarità
• recuperare, nellambito della probabilità,
  altri concetti matematici frazioni, percentuali,
  funzioni, disequazioni, calcolo letterale, logica.

4
Contenuti
Probabilità di eventi semplici   Probabilità di
eventi composti   Applicazione della Probabilità
alla genetica  
5
Metodo
Si è scelto di non presentare definizioni,
assiomi e teoremi, ma di far ricavare le
proprietà della probabilità attraverso situazioni
problematiche e con un lavoro su schede.  La
presentazione propone varie situazioni legate a
giochi di fortuna (sacchetti di biglie colorate,
carte, dadi, monete)  
6
metodo si chiederà di congetturare il risultato,
di indovinare lesito delle prove aleatorie e
poi si passerà al tentativo di spiegazione,
mediante il ragionamento volto a chiarire perché
certe cose accadono più facilmente di altre Si
è preferito occuparci di probabilità in giochi di
fortuna invece che in situazioni più legate alla
vita reale, le situazioni reali sono troppo
complesse
7
metodo
Non si inizia parlando di eventi certi,
impossibili, probabili, come in alcuni libri di
testo   Neppure considerando le frequenze di un
evento su di un certo numero di prove   ma il
metodo seguito è quello di far scoprire dagli
alunni le proprietà della probabilità a partire
da esempi opportuni.
8
Probabilità di eventi semplici
Si cerca di far comprendere che nel caso che gli
eventi elementari siano un numero finito N e
tutti ugualmente possibili   ogni evento
elementare ha probabilità 1/N se un evento A è
costituito da m eventi elementari la sua
probabilità è m/N  
9
Proprietà della probabilità

• P(A?B) P(A)P(B) se A?B?
• Se due eventi A, B sono incompatibili, la
  probabilità dellevento unione è la somma della
  loro probabilità.
• P(A?B) P(A)P(B)- P(A?B)
• Se due eventi A, B sono compatibili, la
  probabilità dellevento unione è la somma della
  loro probabilità meno la probabilità della loro
  intersezione.
• P(?)0
• Probabilità dellevento impossibile.
•  

10
Probabilità dellevento certo
P(?)1 Probabilità dellevento certo. P(CA)1-
P(A) La probabilità dellevento A e quello
dellevento contrario (non A) danno somma
1.   Dove A, B indicano eventi, ? indica levento
certo, ? levento impossibile e CA levento
contrario di A.    
11
URNE
Considera il seguente gioco ci sono due urne
contenenti delle palline perfettamente uguali tra
loro, ma colorate diversamente, alcune bianche,
altre nere. Nella 1urna ci sono una pallina
bianca e una nera, nella 2urna una bianca e nove
nere.
Prima urna
Seconda urna
12
Vinci un premio

• Per vincere un premio devi estrarre una pallina
  bianca da una delle due urne.
• Osserva che nessuna pallina è avvantaggiata
  nellestrazione.
• In quale urna ti conviene pescare?
• E se le urne fossero così composte?
• In quale pescheresti?

Prima urna
Seconda urna
13
Scheda 1.
Per rispondere alla prima domanda notiamo che
con nessuna delle due urne la vincita è sicura,
con nessuna è impossibile, è tuttavia ovvio
scegliere la prima urna, perché entrambe le urne
contengono 1 pallina bianca, ma la seconda
contiene molte più nere della prima Per
rispondere alla seconda domanda notiamo che
luscita della biglia vincente non è sicura, è
chiaramente incerta, ma è più facile estrarre la
bianca dalla seconda urna cominciamo a dire che
sebbene incerta in entrambi i casi, lestrazione
della bianca è più probabile dalla seconda urna
che dalla prima. Non si è ancora introdotta una
nozione quantitativa di probabilità.
14
Scheda tre
Ti sarai accorto che nella seconda situazione
della scheda precedente è indifferente scegliere
la prima urna o la secondainfatti, pur essendo
diverso il numero delle palline nelle due urne,
in entrambi i casi per ogni pallina bianca ce ne
sono due nere, cioè per ogni possibilità di
vincere due di perdere Considera, ora, la
seguente situazione
2B 5N
1B 2N

• 1urna
  2urna
• 1)In quale urna pescheresti?
• Scegli e completa una di queste risposte
• Pesco nella prima perché.........
• Pesco nella seconda perché.........

15
Scheda 3

• Nelle risposte alle domande della prima scheda
  lintuizione suggerisce le corrette risposte,
  mentre nella scheda tre il confronto non è così
  immediato
• è richiesto il confronto tra due rapporti,
•  
• non è più così intuitivo
•  
• nella scheda tre deve essere calcolato il
  rapporto

16
misura
Si giunge allidea di misurare o meglio di
esprimere quantitativamente la probabilità
dellestrazione mediante un rapporto tra le
palline bianche e il totale delle biglie. Si ha
così un valore numerico che ci consentirà di
paragonare facilmente la probabilità di eventi
diversi non immediatamente confrontabili tra loro
17
Definizione di probabilità di un evento
Il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e
quello dei casi possibili   si richiede   il
numero dei casi possibili sia finito gli eventi
elementari siano tutti ugualmente possibili  
18
definizione
Il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e
quello dei casi possibili è la misura della
possibilità che si verifichi un certo evento. La
probabilità viene introdotta come misura definita
in un insieme. I sottoinsiemi di questo vengono
detti eventi   gli elementi dellinsieme
vengono detti eventi elementari. La definizione
nasce in un ambiente teorico, anche se legato ad
oggetti concreti (urne, palline). Non è sembrato
opportuno ricorrere a situazioni sperimentali,
anche se in molti testi di scuola media inferiore
questo è un punto di partenza per lo studio della
probabilità.  
19
Problemi didattici
può succedere, che rispondendo alle domande di
queste prime schede, gli alunni possano essere
indotti a considerare il rapporto tra le palline
bianche e quelle nere, invece di costruire un
rapporto tra le palline bianche (o nere) e il
totale delle palline. Si può, attraverso una
discussione in classe con gli alunni, fare
presente che per convenzione la frazione, che si
utilizza per misurare la probabilità, ha come
denominatore il totale delle palline dellurna,
e che la frazione così costruita è più opportuna
perché in questo modo si evita di poter avere lo
zero a denominatore o frazioni improprie. (Se,
nellintroduzione della probabilità, dovesse
apparire poco opportuno far sorgere questo
problema, esso può essere evitato presentando
altri esempi.)
20
Esempio
ci sono due insiemi di buste nel primo
insieme ci sono 8 buste di cui 5 contenenti un
premio, nel secondo insieme ci sono 10 buste di
cui 7 contenenti un premio. Se dovessi pescare a
caso una busta per trovare un premio in quale
pescheresti? (Oppure presentando esempi
riguardanti la probabilità nel lancio di un
dado.)
21
Scheda sei

• Oggi un insegnante della tua classe vuole
  affidarsi al caso per interrogare un ragazzo.
• Pesca da un sacchetto della tombola contenente
  solo i numeri corrispondenti sul registro di
  classe agli alunni presenti.
• Qual è la probabilità che tu sia interrogato?
• Qual è la probabilità che venga interrogato un
  ragazzo il cui cognome inizia con la lettera....?
  E con la lettera...?
• E più facile che sia interrogato un maschio o
  una femmina?
• Supponi che in una delle prossime lezioni
  linsegnante usi ancora lo stesso modo di
  interrogare.
• Se quel giorno sei presente a scuola la
  probabilità che tu sia interrogato sarà ancora
  uguale a quella di oggi o potrà cambiare?
  Giustifica la tua risposta.

22
Scheda 6
si vuole far scoprire P(?)0.   La domanda 4 si
propone di far osservare che la probabilità di
uno stesso evento può cambiare se si modifica
lesperimento.   Con questa scheda e con gli
esercizi si vuole arrivare a far comprendere che
la probabilità di un evento è un numero tale che
0?p?1, e si cerca di chiarire il significato
della parola evento.
23
Esercizi

• 1) Supponi di avere un mazzo di carte da 40 .
  Calcola la probabilità di estrarre
• il fante di cuori
• un fante
• una figura
• 2) Un tuo compagno risolvendo un esercizio ha
  ottenuto come probabilità di un evento il numero
  4/3.
• Ti sembra un risultato possibile?
• 3) In unurna ci sono 5 palline nere. Quante
  palline bianche devi aggiungere perché la
  probabilità di estrarre una pallina bianca sia
  2/7? E perché sia 2/3?

24
Scheda 8
la situazione viene rappresentata con un grafo ad
albero, dove alla fine di ciascun ramo è scritto
levento considerato lungo ogni ramo si deve
leggere la probabilità dellevento
corrispondente. La somma di tutti i numeri
scritti lungo i rami deve essere uguale a
uno.   Per la probabilità dellunione di eventi
viene presentata prima per eventi disgiunti, poi
per eventi qualunque.  
25
Grafo ad albero
In un urna ci sono 4 palline bianche, 3 rosse,
2 nere e 1 verde. Come puoi facilmente verificare
la probabilità di estrarre una palina bianca è
2/5.Rappresentiamo la situazione con il seguente
schema che si chiamagrafo ad albero
Completa il grafo mettendo al posto dei puntini
le probabilità .
2/5 . . .
Bianca Rossa Nera Verde
26
Lancio di un dado
Un dado ha tre facce rosse, due blu e una
bianca. Lanciando il dado qual è la probabilità
di ottenere blu? Rappresenta la situazione con
un grafo ad albero.
27
scheda 9
fa scoprire la regola della somma nel caso di
eventi disgiunti.
28
Scheda nove

• A una lotteria si vendono 150 biglietti.
• Gianni ne ha comperati 10 e suo fratello Luigi
  15. Nessun altro nella loro famiglia ha
  acquistato biglietti.
• Qual è la probabilità che Gianni vinca un premio?
  P(G)
• Qual è la probabilità che lo vinca Luigi?
  P(L)
• Qual è la probabilità che arrivi il primo premio
  nella loro famiglia?(Scrivi il calcolo)
  P(F)
• Verifica la seguente uguaglianza, utilizzando i
  risultati ottenuti rispondendo alle domande
  precedenti
• P(G)P(L)P(F)

29
Scheda dieci

• In un sacchetto ci sono 3 caramelle alla
  ciliegia, 4 allarancia, 5 al miele.
• 1) Qual è la probabilità di estrarre
• Una caramella alla ciliegia
• Una caramella alla arancia
• Una caramella alla frutta ( alla ciliegia o
  allarancia)?
• 2) Rappresenta la situazione completando il
  seguente grafo ad albero
  

Osserva che la somma delle probabilità dei primi
due rami è uguale al numero ottenuto rispondendo
alla domanda1 c

.... ... .....
C A M
30
Somma la probabilità di tutti i rami del grafo

• Quale numero ottieni?
• Questo numero di quale evento rappresenta la
  probabilità?
• c) Potevi prevedere il risultato ripensando alla
  definizione di probabilità? Perché?

31
scheda 10
si arriva al concetto di eventi incompatibili e
si vuole anche far riflettere sulluso di o nel
senso latino vel e dellunione fra insiemi.  Se
indichiamo con C, levento uscita di una
caramella alla ciliegia, con A, levento uscita
di una caramella alla arancia,  calcolare
levento uscita di una caramella alla frutta,
cioè alla ciliegia o alla arancia,  la
probabilità è P( C?A)P(C)P(A)7/12 Con il
gruppo di domande al punto 3 si vuole far
scoprire che la probabilità dellevento certo è 1
(cioè P(?)1).    
32
Riflettere su eventi compatibili o non
si possono richiamare, con opportune domande e
presentando esempi, le operazioni di unione e di
intersezione tra insiemi e riprendere in
considerazione i connettivi logici o e e.
33
Scheda undici
Considera il lancio di un dado e completa le
seguenti tabelle
Evento Elenco dei casi favorevoli Numero dei casi favorevoli Probabilità
Uscita di un nlt3 Uscita del n1 Uscita del n2 2 P12/61/3
Uscita di un ngt4 P2
Uscita di un nlt3 o gt4 P3
Verifica che P3 P1P2
34
Verifica che P6 ?P4 P5
Sai spiegare perché, in questo caso, non si
possono sommare P4 e P5 ?
Evento Elenco dei casi favorevoli Numero dei casi favorevoli Probabilità
Uscita di un numero primo Uscita del n2 Uscita del n3 Uscita del n5 3 P43/61/2
Uscita di un ngt3 P5
Uscita di un numero primo o gt3 P6
35
Scheda 11
Si formula la regola della probabilità
dellunione di eventi sia nel caso in cui siano
disgiunti, sia nel caso più generale.   A
uscita di un numero lt3   B uscita di un numero
gt4   A?B uscita di un numero lt3 o gt4   Gli
eventi elementari di B sono uscita del 5, uscita
del 6, quindi  P(B)2/61/3
36
P(A?B)
Gli eventi elementari di A?B sono uscita del
numero 1, uscita del 2, uscita del 5, uscita del
6, quindi si ha  P(A?B) 4/62/31/31/3
37
P6?P4P5
A uscita di un numero primo   B uscita di un
numero gt3   A?B uscita di un numero primo o
gt3   Gli eventi elementari di A sono uscita del
2, uscita del 3, uscita del 5, quindi si
ha   P(A) 3/61/2
38
P(B)
Gli eventi elementari di B sono uscita del 4,
uscita del 5, uscita del 6, quindi si ha   P(B)
3/61/2 Gli eventi elementari di uscita A?B
sono uscita del 2, uscita del 3, uscita del 5,
uscita del 4, uscita del 6, quindi si
ha P(A?B)5/6?1/21/2 levento uscita del
numero 5 compare sia nei casi di A che nei casi
di B   i casi A?B non possono essere la somma
dei rispettivi casi, levento uscita del numero
5 va contato solo una volta.  
39
Queste considerazioni hanno validità generale
se A e B sono due eventi che si intersecano per
uno o più eventi elementari, cioè sono eventi
compatibili, nel conteggio dei casi di A?B
occorre fare attenzione a contare una volta sola
gli eventi in comune.  Eventi elementari di A?B
eventi elementari di A eventi elementari di B ?
eventi elementari A?B. In termini di
Probabilità P(A?B) P(A) P(B) -
P(A?B).           
40
Scheda dodici

• Riprendi la situazione della scheda 9 in cui
  abbiamo trovato P(F) cioè la probabilità
  delleventovincita della famiglia 1/60.
• Calcola ora la probabilità che il premio non
  arrivi in quella famiglia cioè la probabilità
  dellevento contrario.
• Osserva che questo risultato si può ottenere
  calcolando la differenza
• 1-P(F)
• In unurna ci sono 20 palline, alcune sono
  bianche, altre rosse e 4 nere.
• La probabilità di estrarre una pallina bianca è
  0,35.
• Rappresenta la situazione con un grafo scrivendo
  accanto ad ogni ramo la probabilità di ciascun
  evento
• Calcola la probabilità di estrarre una pallina
  bianca o nera.

41
Scheda 12
Si giunge al concetto della probabilità
dellevento complementare.       Se si prendono
in considerazione due eventi che sono uno il
contrario dellaltro cioè due eventi che sono
uno complementare dellaltro,     le loro
probabilità hanno somma 1.  
42
Probabilità dellevento complementare
Se indichiamo con A un evento e con CA il suo
complementare si scrive allora
      P(A)P(CA)1 da cui
P(CA) 1 - P(A)
43
Esercizi

• Supponi di avere un mazzo di carte da 40. Calcola
  la probabilità di estrarre
• una carta di fiori
• una figura
• una carta di fiori o una figura
• una carta di fiori o di cuori.
• 2) E stato accertato che in una confezione di
  1.500 viti, 4 sono difettose. Qual é la
  probabilità che prendendone una a caso questa non
  sia difettosa?

44
Esercizi

• 3) Si decide di giocare a Tombola (90 numeri in
  un sacchetto). Calcola la probabilità che alla
  prima estrazione venga estratto
• il n12 b) un ndispari c ) un n primo o un n
  pari e) un nmultiplo contemporaneamente di 2 e
  di 7
• 3) Hai a disposizione due urne nella prima sono
  contenute 12 palline bianche e 8 nere, nella
  seconda 15 palline bianche. Quante palline nere
  devi aggiungere come minimo nella seconda urna
  perché sia più probabile estrarre una pallina
  nera dalla seconda urna piuttosto che dalla
  prima?

45
Probabilità eventi casuali composti
Eventi casuali sono composti da due o più eventi
elementari che possono verificarsi
contemporaneamente.      due eventi A e B si
dicono indipendenti se P(A?B)P(A)?P(B)
P(A?B) P(A/B)_______P(A)
P(B)      
46
Lancio di due dadi
Consideriamo il lancio di due dadi, le cui facce
sono numerate, da 1 a 6 e chiediamoci quanti sono
i casi possibili? Utilizzando delle coppie
ordinate, in cui il primo nsi riferisce
allesito del primo dado e il secondo n si
riferisce allesito del secondo si possono
elencare tutti i casi possibili (come nella
tabella seguente a doppia entrata)
47
Casi possibili
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2dado
1dado
48
Somme
gli esiti possibili nel gioco sono 36 la
simmetria della situazione ci suggerisce che si
tratta di eventi con la stessa possibilità di
verificarsi, quindi ciascuno di essi ha la
probabilità di 1/36.  Supponiamo di sommare , ad
ogni lancio, i punteggi dei due dadi
utilizziamo una tabella a doppia entrata in
ogni casella scriviamo la somma dei punteggi
rispettivi  
49
Tabella
7 8 9 10 11 12
6 7 8 9 10 11
5 6 7 8 9 10
4 5 6 7 8 9
3 4 5 6 7 8
2 3 4 5 6 7
2 dado
1 dado
50
Commento
E chiaro che gli esiti non sono
equiprobabili Dalla tabella si nota la simmetria
tra eventi equidistanti dalla diagonale
disegnata P(2) P(12)1/36 P(3) P(11)
2/361/18 Infine P(7) )6/361/6
51
Scheda sedici prima estrazione
In unurna ci sono 5 palline rosse e 3 nere. Si
estrae a caso una pallina e poi, senza rimetterla
dentro, se ne estrae una seconda. Rappresentiamo
con un grafo la prima estrazione
..... ....... R
N
52
Seconda estrazione
Nella seconda estrazione bisogna distinguere due
casi, a seconda che nella prima sia uscita una
pallina rossa o nera, in quanto nellurna cè una
pallina in meno. Possiamo proseguire il grafo nel
seguente modo
5/8 3/8 R
N
4/7 3/7 R N RR
RN
... ... R
N NR NN

• Completa il grafo 2)Calcola la probabilità
  di RNNRNN.
• 3) Calcola la probabilità che sia estratta almeno
  una pallina rossa

53
scheda 16. Prima estrazione 
Utilizzando il grafo ad albero si vede che per la
prima estrazione si hanno due possibilità
  uscita di una pallina rossa con probabilità
5/8   uscita di una pallina nera con probabilità
3/8.  
54
Seconda estrazione
Alla seconda estrazione occorre distinguere due
casi   perché la situazione è diversa in
relazione al fatto che si sia pescata una pallina
rossa o nera (nella prima estrazione).   I
quattro eventi elementari possibili sono RR, RN,
NR, NN.  
55
Se si vuole calcolare la probabilità dellevento
elementare RR

• si può ragionare così
• se la prima pallina estratta è rossa con
  probabilità 5/8, cioè nei 5/8 dei casi, e si
  pesca una seconda pallina rossa con probabilità
  4/7, quindi avere due palline rosse significa
  averle pescate in 4/7 dei 5/8 dei casi ,con
  probabilità
• 4 5
• ? ?
• 8
• Si utilizza il concetto di frazione di frazione,
  che si traduce nella moltiplicazione delle due
  frazioni.
• Si procede analogamente anche per calcolare la
  probabilità degli altri eventi elementari
  P(RN),P(NR),P(N,N)
•  

56
Reimbussolamento ?
Nellesempio appena visto si parla di estrazione
senza reimbussolamento perché la pallina una
volta estratta non viene messa nellurna. Si può
pensare di rimettere la pallina estratta
nellurna e in questo caso lestrazione si dice
con reimbussolamento.
57
La soluzione di un problema
viene eseguita utilizzando un grafo ad albero a
diversi piani,   le probabilità di ciascun evento
sono scritte accanto a ciascun ramo del grafo
  si insiste particolarmente sul significato di
ogni cammino sul grafo in termini di eventi,
così che nelle varie situazioni, i ragazzi si
rendono conto quale percorso o quali percorsi
devono considerare per calcolare la probabilità
di un evento richiesto. Con una rappresentazione
precisa e completa si pensa che si possa meglio
evidenziare che la probabilità che si ottiene
alla fine di ogni percorso è il prodotto della
probabilità degli eventi di ogni ramo.    

58
La strategia di soluzione
La strategia di soluzione che si è individuata,
che si può dire di moltiplicazione lungo i
rami, è molto efficace perché consente di
affrontare situazioni anche abbastanza
complicate   è chiaro che il momento più
importante della soluzione di un problema diventa
la schematizzazione della situazione con un
corretto grafo ad albero e questo non è sempre
così immediato. .
59
Esercizi

• Sto giocando a tombola nella mia cartella manca
  solo il numero 75 e i numeri ancora da estrarre
  sono 24. Con che probabilità faccio tombola entro
  le prossime due estrazioni?
• Nel gioco della tombola qual è la probabilità
  che il primo numero estratto sia 15 e il secondo
  43?

60
Esercizi

• a) Come nel gioco del lotto da unurna contenente
  90 palline numerate da 1 a 90 se ne estraggono
  cinque senza reimbussolamento.
• Qual è la probabilità che i cinque numeri
  estratti siano tutti dispari?
• b) Calcola ora la probabilità di ottenere 5 teste
  in 5 lanci successivi di una moneta
• c) Senza svolgere i calcoli avresti potuto
  prevedere quale dei due eventi è più probabile?
• 2) Due ragazzi giocano a pari o dispari con le
  dita di una mano( nel gioco è escluso lo zero)
• Conviene puntare sul pari o sul dispari?
• 3) In un sacchetto ci sono 7 penne biro uguali di
  cui 3 sono scariche.
• a) Se prendo a caso una penna qual è la
  probabilità che scriva? E quale che non scriva?
• b) Se la prima che scelgo è scarica qual è la
  probabilità che la seconda scriva?

61
Esercizi

• In un gioco di fortuna un concorrente deve
  scegliere una casella da un tabellone di 12
  caselle così composto
• 1 casella copre il primo premio di un viaggio a
  Venezia, 4 caselle coprono il premio di un
  televisore, 7 caselle non coprono nessun premio.
• Con una sola possibilità di scelta calcola la
  probabilità
• di vincere un viaggio a Venezia
• di vincere un premio
• 2) Con due possibilità di scelta calcola la
  probabilità
• di non vincere
• di vincere sia il viaggio a Venezia sia il
  televisore
• di vincere almeno il viaggio a Venezia

62
Esercizi

• Due amici, Alfredo e Bruno, insieme ad altri 8
  ragazzi decidono di giocare a guardia e ladrie
  per decidere chi sarà guardiae chi sarà
  ladrosi affidano alla sorte. Sapendo che ci
  devono essere 3 guardie e 7 ladriqual è la
  probabilità che
• Alfredo sia una guardia
• Alfredo e Bruno siano entrambi guardie
• Alfredo e Bruno giochino insieme, cioè siano
  entrambi guardie o entrambi ladri
• Almeno uno, tra Alfredo e Bruno, sia una
  guardia

63
Esercizi
a) Sparando ad un bersaglio ho probabilità 20
di colpirlo. Se sparo due volte qual è la
probabilità di colpirlo almeno una
volta?  Indichiamo con C colpito nC non
colpito   P(colpire almeno una
volta)P(colpire entrambe le volte o colpire
la prima volta e non la seconda o colpire la
seconda e non la primaP(CC)P(CnC)P(nCC)
0,2?0,20,2?0,80,8?0,20,36  
64
Osservazioni
1)Osserviamo che levento colpire almeno una
volta è complementare di non colpire né la
prima né la seconda volta, quindi la sua
probabilità si può più rapidamente trovare come
segue P(colpire almeno una volta)1-P(nCnC)1-0,
640,36 2) Unaltra osservazione che si può fare
è la seguente nellevento Aver ottenuto
successo al primo sparo è compreso il risultato
che si vuole ottenere con avere successo in
entrambe le volte oppure colpire la prima
volta e non la seconda.    
65
Osservazioni
nellevento Aver ottenuto successo al primo
sparo è compreso il risultato che si vuole
ottenere con avere successo in entrambe le volte
oppure colpire la prima volta e non la
seconda. Si può quindi limitare a disegnare
solo una parte del grafo.   P(colpire almeno una
volta)P(C)P(nCC)0,20,2? 0,80,36  
66
Osservazioni
  3)Unaltra osservazione che si può fare è che,
in questo esercizio e in altri in cui viene data
la frequenza di un evento,   non è più
applicabile la definizione di probabilità data
come rapporto tra il numero dei casi favorevoli e
quello dei casi possibili,   ma la probabilità
di tali eventi può essere valutata piuttosto in
una visione soggettivista oppure frequentista.
 Per i ragazzi potrebbe sorgere dunque il
problema di una generalizzazione della
definizione di probabilità allora si può far
notare che per probabilità si intende una
qualunque funzione che soddisfi le proprietà che
si sono viste allinizio.  
67
Al ristorante
a) In un ristorante la probabilità che un cuoco
bruci larrosto è 0,02, la probabilità che
dimentichi di salare la pasta è 0,1 e quella che
sali troppo è anchessa 0,1. Qual è la
probabilità che il pranzo preparato dal cuoco
riesca bene ( supponendo che non possa fare
altri errori)?  
68
Schematizzazione
La schematizzazione di tale problema può
risultare più difficile in quanto mentre per
larrosto ci sono solo due possibilità, cioè che
bruci (B) oppure che riesca (R),   per lacqua
della pasta ci sono tre possibilità   e cioè che
sia giusta (G), non salata (NS), e troppo salata
(TS).   La probabilità che lacqua non sia salata
è 0,1 e che sia troppo salata è 0,1, quindi che
sia giusta è 0,8.   Si può schematizzare la
situazione con un grafo in cui sono disegnati
solo i rami che interessano.
69
Un giudice
c) Un giudice consegna a un condannato 2 palline
bianche e 2 nere che egli dovrà collocare in due
urne scegliendo tra queste quattro
possibilità      1) una bianca da sola e tutte
le altre nellaltra urna   2) una nera da sola
e tutte le altre nellaltra urna 3) le due
bianche in unurna e le due nere nellaltra  
4) una bianca e una nera in ciascun urna.   Il
giudice sceglierà poi a caso una delle urne ed
estrarrà da essa una pallina. Se questa risulterà
bianca il condannato sarà graziato. Qual è
la disposizione più favorevole per ottenere la
grazia?
1/2
1/2
1urna 2 urna
70
Generalizzare 1
Se le palline sono 50 bianche e 50 nere le
disposizioni sono molte di più. Qual è la più
favorevole per ottenere la grazia?   Risolvendo
il problema, si vede che la strategia più
conveniente è   mettere una biglia bianca in
unurna e tutte le nere con le rimanenti bianche
nellaltra.   
71
Generalizzare 2
Questo problema può essere stimolante in quanto
non è un problema di routine da incasellare in
una regola e può essere considerato un problema
di strategia. In casi di questo tipo davanti a
una situazione problematica di incertezza si
cerca un comportamento che almeno ottimizzi la
probabilità di successo.  Si possono, se è il
caso, calcolare la probabilità dellevento
favorevole al variare di n. Si ottiene per n3,
cioè 3 palline bianche e altrettante palline
nere, la situazione più favorevole è salvezza
con Probabilità ½ 1/5 7/10 Per n4 è
Salvezza con Probabilità ½3/1410/145/7      
72
Generalizzare 3
Nel caso generale (n qualsiasi) questa strategia
conduce alla probabilità di avere salva la
vita ½1/2?(n-1)/)(2n-1)1/2 ?(3n-2)/(2n-1)   Se
si vogliono riportare i calcoli su una tabella
si vede che al crescere di n, la probabilità p
tende al limite ¾0,75  
 
73
tabella
N P
6 0,727
7 0,731
8 0,733
9 0,735
10 0,737
N P
1 0,5
2 0,66...
3 0,7
4 0,714
5 0,722
74
tabella
N P
50 0,747
100 0,748
1000 0,749
75
Quadrato
Si consideri il quadrato di lato 1 Qual è la
probabilità che scegliendo un punto a caso,
questo sia nella zona colorata ?
76
Considerazioni
Fin a questo momento ci si è di solito ( non nel
caso dello sparo o del cuoco) riferiti alla
definizione di probabilità come rapporto tra il
numero dei casi favorevoli e il numero dei casi
possibili, la quale richiede che il numero di
casi possibili sia finito e che gli eventi
elementari siano tutti ugualmente possibili. In
questo esempio gli eventi possibili sono
rappresentati da tutti i punti del quadrato
quelli favorevoli da tutti i punti della zona
colorata   si tratta in entrambi i casi di un
numero infinito di punti e venendo a mancare la
prima richiesta non è più possibile utilizzare la
stessa definizione.     .
77
Definizione
Si può rimediare ricorrendo in questo caso ad un
rapporto tra aree, quella della zona
favorevole e quella della zona
possibile. Larea del quarto di
cerchio?/4 Larea del quadrato è 1 La
probabilità richiesta?/4/1 cioè ?/4 Inoltre in
questo esempio si fa osservare che mentre sino ad
ora la probabilità di un evento era un numero
dellinsieme dei numeri razionali, nellesempio
presentato si ottiene ?/4, un numero irrazionale.
   
78
Definizione generale
Questo esempio permette di dedurre che in
generale   la probabilità di un evento è un
numero reale compreso fra zero e uno.  
79
Applicazione della Probabilità alla Genetica
80
Scheda 20
Ogni carattere ereditario è determinato da una
coppia di geni trasmessi da ciascun genitore.
Nei casi più comuni ciascun gene può presentarsi
in due forme diverse che si indicano con una
stessa lettera maiuscola e minuscola, ad esempio,
A, a. Per esempio prendiamo il caratterecolore
degli occhi e indichiamo con A il gene
responsabile del colore scuro e con a il gene
responsabile del colore chiaro. Ciascun genitore
trasmette un gene con probabilità 1/2. Essendo
frequente il fenomeno per cui il gene recessivo
a non manifesti il proprio carattere in
presenza di A,coloro che possiedono i due geni
AA e Aa hanno occhi scuri, quelli con la coppia
aa hanno occhi chiari.     .  
81
Tabelle
Completa le due tabelle e indica i caratteri che
possono avere i figli
Aa
Aa
A a
A
a
A a
a Aa aa
a Aa aa
Aa
aa
AA
A A
a
a
aa
82
Grafo ad albero
½ 1/2
padre
A a
½ 1/2
½ 1/2
madre
a a Aa Aa
a a aa
aa
Il grafo si riferisce al primo esempio della
scheda precedente la trasmissione colore degli
occhipuò essere rappresentata anche così. Gli
eventi elementari possibili sono Aa, Aa, aa,
aa,  la probabilità per ciascun evento elementare
di 1/2?1/21/4 probabilità 1/2 che un figlio
abbia occhi scuri probabilità 1/2 occhi chiari.
83
Domanda
Riferendoti al terzo esempio della scheda
precedente ( genitori Aa, Aa), in una famiglia
di 4 figli, 3 saranno sicuramente con occhi scuri
e 1 con occhi chiari? Lultima domanda della
scheda ha lobbiettivo di far riflettere ancora
sul fatto, che il verificarsi di ciascun evento è
incerto, ma è possibile misurarne lincertezza.
84
Scheda 22
In una popolazione si conosce la frequenza del
gene A che è dell80 e del gene a, che è del
20. Gli individui AA, Aa, aa si presentano in
percentuali diverse, che possono essere
rappresentate con il seguente grafo
0.8 0,2 1gene

A
a
O,8 0,2
0,8 0,2 2 gene
A a
A a AA
Aa
Aa aa
Quali sono le percentuali dei tre diversi tipi
nella popolazione?
85
Percentuali dei tre diversi tipi
. gli eventi elementari possibili sono AA, Aa,
Aa, aa   probabilità di ciascuno degli eventi
elementari P(AA)P(A)?P(A)0,8?0,80,6464
  P(Aa) P(aA) 0,2?0,80,16 16 P(aa)
0,2?0,20,044.  
86
Rappresentazione in tabella
La situazione presentata con il grafo può essere
illustrata anche nel seguente modo
0,8 0,2
Aa aa
AA Aa
0,2 0,8
0,2 0,8
0,8 0,2
Che cosa rappresentano le aree delle quattro
regioni in cui è suddiviso il quadrato?
87
 Riflessioni
Le frequenze dei geni si possono interpretare
come misure di aree di opportune regioni, si ha
un quadrato di lato 0,80,2 suddiviso in cinque
parti ciascuna superficie rappresenta ciascun
evento elementare possibile q la frequenza del
gene A p quella del gene a AAq2
Aa2pq aap2 (qp)2 q2 2pq
p21 (qp)21
88
Scheda 23
Lassenza del fattore Rh nel sangue è dovuta ad
un gene recessivo a, la cui frequenza, nella
nostra popolazione, è circa del 40. Gli
individui con i due geni recessivi aa si dicono
Rh-, gli altri Rh. 1) Calcola la percentuale
degli individui Rhe Rh- aiutandoti con un
grafo. 2) Supponiamo che in una particolare
popolazione la percentuale degli individui
Rh-(aa) sia del 9. Calcola la frequenza del gene
recessivo a utilizzando il seguente disegno
0,09aa

3) Aiutandoti con il quadrato calcola la
frequenza del gene A e le percentuali degli
individui AA e Aa
89
Riflessioni
la frequenza degli individui (aa) è del 9.
quale è la frequenza del gene a (recessivo)
?   Se 0,09 è area di un quadrato,?0,09 è la
misura del suo lato e corrisponde alla frequenza
del gene a.   la frequenza di A1-a
90
Esercizi

• Alcuni individui non sentono lamaro di una
  sostanza chimica che si chiama feniltiocarbammide.
  Questo è dovuto ad un gene recessivo la cui
  frequenza, nelle nostra popolazione, è 0,6.
• Calcola la percentuale di individui che hanno
  questo carattere e di individui che ne sono
  portatori.
• 2) Un particolare modo di arrotolare la lingua è
  dovuto a un gene recessivo a. Sapendo che in una
  popolazione gli individui che non hanno questa
  caratteristica sono il 49, calcola, per quella
  popolazione, la frequenza del gene a, del gene A
  e degli individui Aa, AA.

91
Scheda 24

• Nella scheda 23 hai trovato che gli individui Rh
  sono l84 della nostra popolazione e gli
  individui AA sono il 36.
• Tra gli Rh qual è la percentuale degli individui
  AA?
• Il risultato ottenuto è la probabilità che
  scegliendo a caso un individuo, tra gli Rh della
  nostra popolazione, questi risulti AA.
• 2) Trova la probabilità che scegliendo a caso un
  individuo tra gli Rh questo risulti Aa.

92
Padre Rh madre Rh-
Consideriamo il caso che da un padre Rh e da una
madre Rh- nasca un figlio. Dato che il gene
trasmesso dalla madre, che è Rh- , è sicuramente
a, la situazione del figlio è determinata solo
dal gene del padre, ed è diversa a seconda che il
padre sia AA oppure Aa.
Il padre è AA
il padre è Aa
Trasmette trasmette
trasmette A
A
a Calcola la probabilità che il figlio sia Rh
completando il grafo
93
Esercizi
3) Lalbinismo è dovuto a un gene recessivo a.
Sapendo che in una popolazione gli individui
albini sono 1 su 10.000, calcola, per quella
popolazione, la frequenza del gene a e degli
individui portatori di albinismo. 4)
Consideriamo il caso che da un padre albino e da
una madre non albina nasca un figlio. Utilizzando
i risultati dellesercizio 3 e procedendo come
suggerito dalla scheda precedente, calcola la
probabilità che il figlio sia albino
94
Esercizi

• 5) In una popolazione la frequenza del gene
  recessivo a è del 30. Calcola
• la frequenza del gene dominante A
• la percentuale degli omozigoti AA
• la percentuale degli omozigoti aa
• la percentuale degli eterozigoti Aa
• 6) Un gene recessivo a responsabile di una
  malattia ha, in una determinata popolazione, la
  frequenza del 30.
• Calcola aiutandoti con un grafo, la percentuale
  degli individui sani e quella degli individui
  malati.
• Supponiamo che in unaltra popolazione la
  percentuale degli individui malati, e quindi
  omozigoti per il carattere aa, sia del 4.
  Calcola
• la frequenza del gene recessivo a
• la frequenza del gene dominante A
• la percentuale degli omozigoti AA
• la percentuale degli eterozigoti.

95
Esercizi

• 7)Lanemia mediterranea è una malattia ereditaria
  portata da un gene recessivo a, che non si
  manifesta quando il gene recessivo a è
  accompagnato dal gene dominante A ( si parla in
  questo caso di portatore sano).
• Nella popolazione di un paese, costituita da
  5.000 persone, il 4 è ammalato quante sono le
  persone ammalate?
• Da due genitoridi tipo (AA),(Aa) può nascere un
  figlio ammalato? Perché?
• Con quale probabilità può nascere un portatore
  sano?
• b) Scrivi le varie combinazioni genetiche
  derivate da due genitori (Aa), e calcola la
  probabilità che nasca
• Un figlio ammalato
• Un figlio portatore sano
• Un figlio sano

96
Esercizi
8) Considera le famiglie che hanno due figli, dì
se è più probabile che i due figli siano entrambi
femmine, oppure che siano di sessi diversi. 9)
Immagina che in una certa popolazione, la
probabilità di avere un figlio maschio sia più
piccola di quella di avere una figlia femmina, e
cioè che esse siano 0,40 per il maschio e 0,60
per la femmina. Calcola ora, con questi dati, la
probabilità che una famiglia con due figli li
abbia di sesso diverso. a) Pensa di far variare
la probabilità di avere un figlio maschio, e
disegna un grafico riportando sullasse x alcuni
valori di questa probabilità, e sullasse y i
corrispondenti valori della probabilità di avere
due figli di sesso diverso.
97
Commento
b) Prova a scoprire per quale valore di x si
ottiene il massimo valore di y, e rifletti sul
valore trovato. E questa la situazione che si
verifica in natura? c) Osserva, che per un dato
valore di x, il corrispondente valore di y è
uguale al doppio dellarea di un rettangolo di
lati x e (1-x). In base alle considerazioni che
hai svolto prima, sai dire quale, fra i
rettangoli che hanno un perimetro fissato ha area
massima?
98
Legge dei grandi numeri
Bibliografia

• Angela Pesci- Maria Reggiani- Linsegnamento
  della matematica e delle scienze
  integrate.-Statistica e Probabilità .
• Collana di formazione professionale n4.
  Pag.85-90
• Nucleo di Ricerca didattica di Pavia. Schede di
  Calcolo delle Probabilità per la scuola media
  inferiore

99
Prove ripetute
Se ripetiamo il lancio di una moneta equilibrata
molte volte, ad esempio,10.000 volte, quante
volte ci aspettiamo di avere testa? Lintuizione
ci suggerisce di aspettarci che la frequenza
relativa dellevento considerato (cioè il
rapporto tra il numero di uscita testa e il
numero dei lanci) si avvicini alla probabilità,
cioè un mezzo. E corretto attendersi questo? E
corretto attendersi che la frequenza, dopo un
numero elevato di prove sia esattamente un mezzo?
Cosa significa dire che la frequenza si
avvicina ad un mezzo?
100
Scheda 26
Un amico ti propone di lanciare 100 volte una
moneta e di scommettere su uno dei due seguenti
eventi A Escono 50 Teste e 50 Croci B Il
numero di Teste è diverso dal numero di
Croci. Su quale scommetteresti? Questa domanda
è stata posta per avviare il lavoro che
segue arriveremo ad enunciare uno dei risultati
fondamentali del calcolo della probabilità, noto
col nome legge dei grandi numeri.
101
Scheda 27

• Disegna il grafo relativo a 2 lanci di una moneta
  e calcola la probabilità di ottenere
• nessuna Testa
• una volta Testa
• due volte Testa
• 2) In ciascuna casella scrivi, in forma decimale,
  le probabilità calcolate in precedenza

Nessuna 1 Testa 2
Testa Testa

102
Scheda 28

• Considera ora 3 lanci di una moneta e traccia il
  grafico relativo.
• 2) Calcola la probabilità che esca
• a) TTT
• b)TCT
• c) 2 volte T
• 3) Come hai fatto precedentemente scrivi la
  probabilità in forma decimale

0 T 1 T 2 T
3 T
103
Scheda 29
In quattro lanci... Traccia il grafo relativo e
otterrai nel completamento delle caselle
0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625
0 T 1 T 2 T
3 T 4 T

1. Per calcolare la probabilità di ottenere 4 T
   quanti percorsi del grafo hai considerato?
2. Sai spiegare perché le probabilità scritte nelle
   diverse caselle aumentano dagli estremi verso il
   centro?

104
Grafico
P(1/3?fr(T)?2/3)
105
Se n diventa più grande
Lancio di 50 e di 100 monete
n50 0,007673 (da 0 a 16T) 0,984653 (da 17 a 33T) 0,007673 (da 34 a 50T)
N100 0,000437 (da 0 a 33T) 0,999126 (da 34a 66T) 0,000437 (da 67a 100T)
P(fr(T)lt1/3) P(1/3?fr(T)?2/3)
P(fr(Tgt2/3)
Quando n diventa molto grande, cosa ti aspetti
che succeda della probabilità che la frequenza
delluscita di Testa sia compresa tra 1/3 e 2/3?
E della probabilità che escano ugual numero di T
e di C?
106
Lanciando molte volte una moneta......
Gli eventi centrali sono quelli in cui la
frequenza delluscita di testa è abbastanza
vicina alla probabilità un mezzo, perciò
possiamo (per il caso particolare del lancio di
una moneta),formulare la cosiddetta legge debole
dei grandi numeri
Lanciando molte volte una moneta diventa sempre
più grande e si avvicina a 1 la probabilità che
la frequenza delluscita di Testa differisca
dalla sua probabilità ½ meno di un qualunque
numero positivo scelto da noi (nei nostri esempi
1/6,1/12......)
107
Commento

• Osservando le caselle attraversate dallasse di
  simmetria della tabella dobbiamo notare che la
  probabilità che la frequenza delluscita di Testa
  sia esattamente ½ diventa sempre più piccola,
  anzi, per n molto grande si avvicina a zero
• Se lanci 10.000 volte una moneta e devi
  scommettere su uno dei seguenti risultati, quale
  sceglieresti?
• 5.000 T e 5.000 C
• 4825 T e 5175 C
• un numero di T compreso tra 4.500 e 5.500
• un numero di T compreso tra 4.250 e 5.750

108
Scheda 38
Abbiamo enunciato la legge dei grandi numeri a
proposito delluscita di Testa nel lancio
ripetuto di una moneta. La stessa legge vale in
una qualsiasi altra situazione di prove
ripetute. Considerando ad esempio il lancio di un
dado la legge dei grandi numeri ci dice che in un
gran numero di lanci sarà molto probabile che la
frequenza delluscita di un numero prefissato (ad
esempio il 2) sia vicina a 1/6. Anche qui
possiamo osservare che sarà assai poco probabile
che la frequenza delluscita del 2 sia
esattamente 1/6.
109
Esercizi

• Un urna contiene 5 palline, 4 bianche e 1 nera.
• Supponi di estrarre 5.000 volte una pallina (
  rimettendola ogni volta nellurna)
• Quale dei seguenti risultatiti sembra più
  probabile?
• La pallina nera esce 1.000 volte
• La pallina nera esce un numero di volte compreso
  tra 950 e 1.050
• La pallina nera esce un numero di volte compreso
  tra 800 e 1.200
• Supponi di lanciare un dado molte volte (1.000,
  10.000 o anche di più) che cosa puoi dire della
  frequenza delluscita del numero 2?