Calcolo delle Probabilit

1
Calcolo delle Probabilità
2
Introduzione

• Fenomeno deterministico se lesperimento è
  condotto nelle stesse condizioni si trova lo
  stesso risultato
• Esempi
• Moto di un grave
• Traiettoria di una pallina in un biliardo

• Fenomeno non deterministico anche se gli
  esperimenti sono condotti nelle stesse condizioni
  si trovano risultati diversi
• Esempi
• Risultato del lancio di una moneta
• Traiettoria di 100 palline in un biliardo
• Vincita in una lotteria
• Numero di lanci di un dado per ottenere un 6

La probabilità si occupa di fenomeni non
deterministici
3

4

5
Spazio campione

• Insieme S di tutti i risultati dellesperimento
• Esempio
• Nel caso del lancio di una moneta STesta,
  Croce
• Nel caso dei numeri di lanci di un dado necessari
  per avere 6 SN (numeri naturali)

6

E3
E1
E5
E6
E2
E4
7

Gli eventi semplici sono costituiti da uno solo
dei possibili risultati di un esperimento
aleatorio.
Gli eventi composti sono costituiti da da più di
uno dei possibili risultati di un esperimento
aleatorio. Un evento composto può sempre essere
scomposto in eventi semplici. Se un evento non
risulta ulteriormente scomponibile è per
definizione un evento semplice.
8
Fenomeno casuale
Evento elementare
Spazio Campionario
Un qualsiasi sottoinsieme dello spazio
campionario, ovvero un insieme di eventi
elementari
Evento
Si usa dire che levento E si è realizzato se il
fenomeno si manifesta con uno degli eventi
elementari che appartengono ad E
9
Lancio di un dado
Faccia pari
Faccia dispari
10

11

Si dice infinito non numerabile uno spazio
campione i cui eventi semplici sono tali per
cui, fissati due di essi, è sempre possibile
determinarne almeno un terzo intermedio.
Esempio. Lo spazio costituito dagli eventi
esatto momento della nascita è uno spazio
infinito non numerabile. Infatti, prese due
qualunque persone nate ognuna in un certo
momento, è sempre possibile individuarne una
terza la cui nascita si colloca tra le due
precedenti.
12

Si possono distinguere tre tipi di spazio
campione - spazio campione finito - spazio
campione infinito numerabile - spazio campione
infinito non numerabile
13

14

Lancio di un dado
Spazio campionario (campione)
Durata di una lampadina
15
(No Transcript)
16

Gli eventi mutuamente esclusivi possono essere
rappresentati da insiemi disgiunti.
17

18

19
Eventi incompatibili
Eventi incompatibili
20
Partizione di uno spazio campionario
21
Partizione di uno spazio campionario
Partizione finita
Partizione infinita
22
Partizione dello Spazio Campionario
Si dice che gli eventi A1,,Ak appartenenti ad W
formano una partizione dello spazio campionario
se
(1)
(2)
cioè se sono a due a due incompatibili e
necessari.
23
Proprietà
Unione
Intersezione
Commutativa
Idempotenza
Associativa
Distributiva
Inoltre, si ha
24
Leggi di De Morgan
25
(No Transcript)
26
Probabilità

• Ogni tentativo di dare una definizione rigorosa
  dei concetti probabilistici più elementari si
  trova di fronte ad un problema infatti, non solo
  esistono differenti formalizzazioni e
  assiomatizzazioni della probabilità ma a queste
  corrispondono, in generale, molteplici nozioni
  intuitive di probabilità spesso assai diverse fra
  loro.
• Al di la delle differenze di carattere formale un
  elemento comune posseduto da tutte le forme di
  probabilità riguarda il suo significato intuitivo
  di valutazione della possibilità che un dato
  evento possa accadere o meno.

27

• DEFINIZIONE DI PROBABILITA
• A priori (o matematica, o classica, o di Pascal)
• A posteriori (o statistica, o frequentistica, o
  legge empirica del caso)
• Soggettiva

Probabilità regola che a ogni evento E associa
un numero reale compreso tra 0 e 1
p E p(E)
28
Definizioni di probabilità
Classica (Pascal)
Se un evento si può verificare in N modi
mutuamente esclusivi ed ugualmente probabili, se
m di questi possiede una caratteristica E, la
probabilità di E è il rapporto tra il numero di
casi favorevoli e il totale dei casi possibili
(tutti equiprobabili)
29
Esempi

• Nel caso del lancio di una moneta STesta,
  Croce.
• p(Testa)1/2 (casi favorevoli 1, possibili 2)
• Lanciamo due dadi e calcoliamo la probabilità che
  la somma dei punti sia 4

Per semplicità scriviamo i numeri estratti come
coppie Le coppie di 6 numeri sono 6 6 36
numero di casi possibili I casi favorevoli sono
dati dalle coppie (1,3), (2,2) e (3,1) e sono
quindi 3. Pertanto p(somma 4 in 2 lanci)3/361/12
30
Discussione

• Problemi della definizione classica
• non sempre posso dire che eventi sono
  equiprobabili (asimmetrie - esempio ho un dato
  truccato)
• il numero di casi deve essere finito
• Aspetti positivi
• è una definizione operativa

Determinazione della probabilità usando il
calcolo combinatorio
Definizione assiomatica
31
Assiomi del Calcolo delle Probabilità.
Ricordando che un assioma (o postulato) è una
proposizione che è considerata vera e non viene
dimostrata nel contesto in cui è svolta la teoria
in questione, Il C.P. presenta i seguenti
assiomi
1.
2.
32
Probabilità

• Linterpretazione geometrica

Larea complessiva è uguale a 1
?1
?
Larea di un insieme di superfici che non si
sovrappongono è la somma delle aree delle singole
superfici
?3
Larea di ogni sottoinsieme è sicuramente positiva
?4
?2
33
Operazioni sugli eventi (sugli insiemi)
Se un insieme E non contiene nessun elemento
(evento elementare) viene detto insieme vuoto e
si indica con
34
Unione di insiemi (o eventi)
35
Lancio di un dado
36
Unione
Associativa
Commutativa
Ecc.
37
Intersezione
38
(No Transcript)
39
Intersezione
Associativa
Commutativa
Ecc.
40
Negazione
41
Teoremi fondamentali del C.P.
Siano A e B due eventi incompatibili
allora
Teo.1.
Teo.2.
Teo.3.
Teo.4.
42
Definizione frequentistica
(o a posteriori) Richard von Mises
Si ripete un esperimento N volte e se un evento
con una certa caratteristica E si verifica m
volte, la frequenza relativa di successo è
f(E) dà una stima per la probabilità di E
43
In base allimpostazione frequentista, per
probabilità di un evento si intende il limite a
cui tende la frequenza relativa delle prove in
cui levento si verifica, quando il numero di
prove tende allinfinito
con s numero di successi e n numero di
prove.
44

• Problemi della definizione frequentistica
• In situazioni concrete il passaggio al limite su
  cui si basa la definizione non può essere
  effettuato
• È necessario ripetere lesperimento un gran
  numero di volte

45
Definizione soggettiva
(o bayesiana) Bernoulli, De Finetti
Probabilità grado di fiducia che una persona ha
nel verificarsi dellevento. Prezzo p che si è
disposti a pagare per ricevere 1 se levento si
verifica e 0 se non si verifica.
Esempio se lancio un dado il prezzo equo per la
scommessa esce il 4 dipende dalle informazioni
di cui si dispone se il dado non è truccato si
può assumere p1/6

• Problemi della definizione soggettiva
• Non è operativa
• Una valutazione soggettiva non è necessariamente
  obiettiva

46
Definizione di probabilità.
Def. 4. Classica La probabilità di un evento A è
il rapporto tra il numero di casi favorevoli di A
e il numero di casi possibili, ammesso che questi
siano equiprobabili.
Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del
caso). In una serie di prove di un dato
esperimento, ripetuto un gran numero di volte in
circostanze più o meno simili, ciascuno degli
eventi possibili si manifesta con una frequenza
che è circa uguale alla sua probabilità.
Lapprossimazione si riduce al crescere del
numero di prove.
Def. 6. Soggettivista. La probabilità è la
valutazione che il singolo individuo può
coerentemente formulare, in base alle proprie
conoscenze, del grado di avverabilità di un
evento.
47
ESERCIZI
48
A volte puo essere difficile, o almeno noioso,
determinare per elencazione diretta gli elementi
di uno spazio campione finito. CALCOLO
COMBINATORIO

• Disposizioni semplici
• Disposizioni con Ripetizione
• Permutazioni semplici
• Permutazioni con oggetti identici
• Combinazioni Semplici
• Combinazioni con Ripetizione

49
Calcolo Combinatorio
Problema determinare il numero di elementi di un
insieme finito
elenco diretto (lungo!) Esempioin un menù ho 3
antipasti, 2 primi, 4 secondi. Quanti sono i
possibili pasti completi (includono tutte le 3
portate - scelte una sola volta)?
Diagramma ad albero
50
Diagramma ad albero
S1
S2
P1
S3
A1
S4
P2
. . ..
A2
P1
P2
P1
A3
P2
3 x 2 x 4
24 pasti completi
51
Contare le scelte
Se gli insiemi A1, A2, , Ak contengono n1,
n2, , nk elementi Ho N n1 n2 nk
modi di scegliere prima un elemento di A1 ,
poi un elemento di A2 ... infine un elemento
di Ak
In particolare se n1 n2 nk n allora
Nnk numero delle disposizioni con
ripetizione di n oggetti a gruppi di k
52
Disposizioni
gruppi di oggetti che si possono formare
scegliendo k oggetti tra n oggetti (I gruppi
devono differire per qualche oggetto e per
lordine)
Disposizioni con ripetizione si può ripetere lo
stesso oggetto
Esempio
Determinare e schedine del totocalcio si devono
giocare per essere sicuri di fare 13
Le possibili schedine sono 3131.594.323
53
Disposizioni semplici (senza ripetizione)
di n oggetti tra k (n) D(n,k) Non si
può ripetere lo stesso oggetto
Esempio
Ad un gran premio di formula 1 partecipano 20
piloti. I primi tre classificati vanno sul
podio.. Quante sono le possibili terne di piloti
sul podio?
Il primo classificato può essere un qualunque
pilota tra 20, Il secondo uno qualunque tra i
restanti 19, il terzo uno tra 18 Quindi
D(20,3)201918
In generale D(n,k)n(n-1)(n-k1)
54
Permutazioni
numero dei modi in cui si possono ordinare n
oggetti P(n) D(n,n)n(n-1) 21n!
Esempio
Quanti anagrammi (non necessariamente di senso
compiuto) si possono formare della parola FOGLI
Ho 5 possibili scelte per la prima lettera, 4 per
la seconda, 1 per la quinta, quindi gli
anagrammi sono P(5)543215!120
55
Combinazioni
disposizioni a meno dellordine gruppi di
oggetti che si possono formare scegliendo k
oggetti tra n oggetti (I gruppi devono differire
per qualche oggetto ma non per lordine)
Esempio
Quante squadre di pallacanestro si possono
formare con 8 giocatori
Sono le combinazioni di 5 persone scelte tra 8
56
Esercizi

• In quanti modi 10 persone possono sedersi su una
  panchina che ha solo 4 posti? (Si risolva
  l'esercizio due volte, una volta considerando
  importante l'ordine in cui si siedono e una no).
• In quanti modi diversi si possono sedere 7
  persone in un tavolo rotondo?
• Supponiamo di estrarre per 40 volte una pallina
  da un'urna contenente palline numerate da 1 a
  365 ( dopo ciascuna estrazione la pallina
  estratta viene nuovamente messa nell'urna).
  Quanti sono i possibili risultati
• diversi? Quanti sono i possibili risultati in
  cui i 40 numeri estratti risultano tutti diversi
  tra loro?
• Si deve costituire un comitato di 3 membri,
  rappresentanti ciascuno gli studenti, i docenti e
  il personale amministrativo. Se ci sono 4
  candidati per gli studenti, 3 per i docenti e 2
  per il personale amministrativo, si determini
  quanti comitati differenti si possono formare.

57
Esercizi

• Dovete preparare un dolce, disponete di una
  cesta con 10 uova di cui ve ne serviranno solo 2
  per l'impasto. Ma vi ricordate che il giorno
  prima avete posto in quel cesto 4 uova vecchie di
  due settimane. Qual è la probabilità di aver
  utilizzato almeno un uovo non fresco?
• Intorno ad un tavolo rotondo si dispongono a
  caso 5 uomini e 5 donne. Qual è la probabilità
  che ogni donna sia seduta tra due uomini?
• Qual è la probabilità di fare tre volte 6
  lanciando tre volte un dado non truccato?

58
(No Transcript)
59
Probabilità condizionata e indipendenza
stocastica
Esempio unurna contiene 15 palline rosse e 5
nere. Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2
estrazioni consecutive senza reimbussolamento una
pallina rossa e poi una nera Aestraggo una
rossa Bestraggo una nera p(A)15/203/4 La
probabilità di estrarre una nera dopo aver
estratto una rossa è 5/19. La conoscenza
dellevento A ha ridotto lo spazio dei campioni
Dati due eventi A e B si dice probabilità di B
condizionata ad A p(BA) la probabilità di B
calcolata sapendo che si è verificato A. (E
ovvio che si può definire una probabilità
condizionata al verificarsi di A soltanto se A è
possibile.)
60
p(BA)
5/19
La probabilità di estrarre prima una rossa e poi
una nera è p(A?B)p(A)p(BA)3/45/1915/76
Regola di moltiplicazione
61
p(BA) in funzione di p(A) e p(A?B)
se p(A)?0
Esempio trovare la probabilità che con un lancio
di un dado si ottenga un numero lt 5, sapendo che
il risultato del lancio è dispari
Bottengo un numero lt 5 Aottengo un
dispari p(B)2/3, p(A)1/2, A ?B1,3, p(A
?B)1/3 p(BA)p(A ?B)/p(A)(1/3)/(1/2)2/3
62
Esercizio
La seguente tabella rappresenta la frequenza
mensile in cui dei ragazzi vedono il telefilm
Friends Numero di volte al mese  Maschi  Femmin
e  Totale  0  4  5 9  1 -
5  7  9  16  6 - 10  21  23  44  11 -
15  11  9  20  gt15  3  5  8  Totale 
46  51  97

• Scelgo una persona a caso.
• Qual è la probabilità che non veda mai il
  telefilm?

p(0)9/97

• Se è un maschio, qual è la probabilità che non
  veda mai il telefilm?

p(0M)4/46
63
Indipendenza stocastica
Se per due eventi A e B p(AB)p(A) si dice
levento A è stocasticamente indipendente da B

• Esempi
• Nellesercizio precedente non vedere mai il
  telefilm Friends ed essere maschio non sono
  stocasticamente indipendenti
• Siano Auna persona è alta più di 1 metro e
  75
• Buna persona non mangia Nutella
• Supponiamo che p(A)0.5, p(B)0.3, p(A?B)0.15
• Allora p(AB)p(A?B)/p(B)0.15/0.30.5p(A)
• Dunque A è stocasticamente indipendente da B.

64
Indipendenza stocastica
Nota p(BA)p(A?B)/p(A)0.15/0.50.3p(B) anche
B è stocasticamente indipendente da A. Questo non
è casuale A è stoc. indipendente da B B è
stoc. indipendente da A e diciamo A e B sono
indipendenti
65
Esempio in unurna ci sono 10 palline rosse e 12
nere. Estraiamo dallurna una pallina poi la
rimettiamo nellurna (estrazione con
reimbussolamento). Siano A1estraggo una pallina
rossa alla prima estrazione A2estraggo una
pallina rossa alla seconda estrazione Laver
estratto una rossa alla prima estrazione non
influenza la probabilità che la seconda sia
rossa A1 e A2 sono indipendenti
66
Regola di moltiplicazione per eventi indipendenti
Esempio Nel caso dellestrazione con
reimbussolamento dellesempio precedente la
probabilità di estrarre entrambe le volte una
pallina rossa è p(A1?A2)p(A1)p(A2)(10/22)2
Vale la seguente regola di moltiplicazione per
eventi indipendenti A e B p(A?B)p(A)p(B)
Nota non confondere i concetti di eventi
disgiunti ed eventi indipendenti. Due eventi
disgiunti non sono mai indipendenti (se cosi
fosse avrei p(A?B)p(ø)0p(A)p(B), quindi p(A) o
p(B) sarebbe nulla). In realtà due eventi
disgiunti sono fortemente dipendenti se un
evento è realizzato non può esserlo laltro.
67
Esercizio
Si hanno tre urne. U1 ha 2 palline bianche e 2
nere U2 ha 1 pallina bianca e 3 nere U3 ha 4
palline bianche e 2 nere Si sceglie unurna a
caso e si estrae una pallina. Qual è la
probabilità di estrarre una pallina bianca?
U1 bianca U2 bianca U3 bianca
1/2
1/3
1/3
1/4
1/3
2/3
P(bianca)1/2 1/3 1/4 1/3 2/3 1/317/36
68
Teorema delle probabilità totali
Dr. Daniela Morale
Se B è un evento che si verifica insieme ad n
eventi incompatibili A1,,An
effetto
cause
Lutilità del teorema sta nel fatto che talvolta
P(A) è difficile da calcolare direttamente,
mentre è più facile calcolare le probabilità
P(A/Bi) e poi ricostruire P(A) dalla formula
69
Esercizio

• In un Gran Premio di Formula 1 la probabilità di
  pioggia è del 30.
• La probabilità che il pilota Mazzacane vinca se
  piove è dello 0.4 e dello 0.01, se non piove.
• Qual è la probabilità che vinca Mazzacane?

Sia Ppiove Mvince Mazzacane 0.3
P 0.004 M 0.7 Pc 0.0001 M p(M)0.30.00
40.70.00010.00127
70
(No Transcript)
71
Teorema di Bayes
Se B è un evento che si verifica insieme ad n
eventi incompatibili A1,,An se sappiamo che B si
è verificato, ci si può porre il problema di
calcolare la probabilità che B venga da uno di
tali eventi, un generico Ai
effetto
cause
72
Esercizio (continuazione)

• In un Gran Premio di Formula 1 la probabilità di
  pioggia è del 30.
• La probabilità che il pilota Mazzacane vinca se
  piove è dello 0.4 e dello 0.01, se non piove.
• Se vince Mazzacane qual è la probabilità che
  piova?

Sia Ppiove Mvince Mazzacane 0.3
P 0.004 M 0.7 Pc 0.0001 M p(PM)0.30.
004/0.001270,94488
73
Esercizio
Sia C levento la nuova sede di scienze sarà
pronta nel 2009 e sia E limpresa a cui è dato
lappalto fallirà prima del 2008. Se la
probabilità che la ditta fallisca prima del 2008
è del 60 e la probabilità che la sede sia pronta
è del 0.15 o del 0.75 a seconda se la ditta
fallisce o no prima del 2008, calcolare la
probabilità che se la sede è pronta in tempo, la
ditta sia non fallita prima del 2008
p(CE)0.15
E
C
p(E)0.60
C
p(C Ec)0.75
Ec
p(Ec)0.40
74
Da trovare p(Ec C)
Nella formula del teorema di Bayes A
numeratore moltiplicare i numeri del ramo
relativo a S-E (quello in basso) p(Ec) p(C
 Ec)0.40 0.75 0.30 A denominatore somma
dei prodotti delle probabilità di entrambi i
rami p(E)p(C E)p(Ec) p(C   Ec) 0.60
0.15 0.40 0.75 0.39
Si trova allora p(Ec C)0.30/0.390.77
75
Esercizio di riepilogo
La seguente tabella mostra 1000 candidati ad una
scuola per infermieri classificati secondo il
punteggio riportato allesame di ingresso
alluniversità e la qualità della scuola
superiore da cui provenivano
Dire qual è la probabilità che un candidato 1.
Abbia avuto un punteggio basso allesame. 2. Si
sia diplomato in una scuola ottima 3. Abbia avuto
un punteggio basso e si sia diplomato in una
scuola ottima. 4. Ammesso che si sia diplomato in
una scuola ottima, abbia avuto un punteggio basso
76
(No Transcript)
77
(No Transcript)
78
(No Transcript)
79
Dunque, una v.c. è una regola (una funzione) che
permette di assegnare un valore numerico ad ogni
risultato dellesperimento. Dalla definizione è
evidente che dato uno spazio campionario W è
possibile costruire infinite v.c. (si osserva che
tale funzione non deve essere necessariamente
biunivoca).
80
COME SI ASSOCIANO LE PROBABILITA ALLE VARIABILI
ALEATORIE?
81
(No Transcript)
82
(No Transcript)
83
(No Transcript)
84
(No Transcript)
85
(No Transcript)
86
(No Transcript)
87
(No Transcript)
88
In questo modo la distribuzione di probabilità di
Y diventa
89
(No Transcript)
90
(No Transcript)
91
(No Transcript)
92
(No Transcript)
93
(No Transcript)
94
(No Transcript)
95
(No Transcript)
96
Costruiamo una v.c. e le corrispondenti
probabilità in due fasi
1. Ad ogni evento di W si associa uno ed un solo
numero reale X(e). Questa operazione definisce
una v.c. X.
2. Ad ogni possibile valore di X(.) si associa
una probabilità PrX. Questa operazione
definisce la distribuzione di probabilità della
v.c. X.
Si osserva che mentre la regola da adottare è
arbitraria in quanto dipende da ciò che vogliamo
che la v.c. interpreti, lo stesso non è vero per
la determinazione della distribuzione di
probabilità PrX in quanto questultima è legata
alle probabilità degli eventi elementari Pre.
97
Anziché specificare le singole PX si cercherà,
ove possibile, di determinare la relazione
funzionale che lega queste probabilità,
sintetizzata in una funzione f(x). Ciò sarà
necessario quando la v.c. X è di tipo continuo o
discreto con un numero molto elevato di valori.
In alcuni casi, sarà necessario calcolare la
probabilità che X assuma un valore minore o
uguale a xk, cioè
Questa funzione è detta funzione di ripartizione
(f.r.) ed è uguale a
98
(No Transcript)
99
Proprietà della f.r. F(.)
1.
2.
3.
La rappresentazione di F(x) è una funzione a
gradini.
100
Valore atteso e varianza
Per le variabili discrete è possibile definire un
valore atteso Ex ed una varianza Varx che
sono analoghe alle misure di posizione e
dispersione valore medio e scarto quadratico
medio
101
Valore atteso e varianzanon coincidono con media
e scarto quadratico medio
Per un numero di tentativi molto elevato è
ragionevole che si identifichino le fi e le pi.
102
(No Transcript)
103
(No Transcript)
104
(No Transcript)
105
Distribuzioni di probabilità continue
y
y
x
x
a b
Sono descritte da funzioni. Larea sottesa
dalla curva tra due valori (es. a-b) è la
probabilità che la variabile casuale assuma
valori compresi tra a e b
106
Si presuppone lesistenza di una funzione f(x)
t.c.
Si definisce poi la probabilità che X sia
compresa fra a e b nel modo seguente
Questa definizione soddisfa gli assiomi della
teoria della probabilità. La funzione f(x) è
detta densità di probabilità
107
f(y), non è la probabilità, ma è proporzionale
(a meno di un infinitesimo) alla probabilità di
un intervallo ltltsufficientemente piccologtgt
108
La probabilità che X prenda un valore
nellintervallo a,b è l area sotto la pdf fra
a e b.   La funzione di distribuzione (o
ripartizione) F(x), di una variabile aleatoria X,
ed è definita per x da
109
f(x)
Lintegrale è la probabilità che la variabile
casuale assuma un valore in un intervallo e
dipende dalla densità di probabilità f(x)
x
XB
XA
110
(No Transcript)
111
(No Transcript)
112
(No Transcript)
113
(No Transcript)
114
(No Transcript)
115
La funzione f(x) non è una probabilità, è solo il
suo integrale su un intervallo (che ha il
significato di probabilità).
Nel caso discreto invece, la distribuzione di
probabilità f(xk) è per definizione la
probabilità P(Xxk)
116
Distribuzioni discrete e densità continue sono
oggetti matematici di tipo diverso, non
confrontabili fra loro. Lo strumento che
consente di confrontare variabili aleatorie
continue e discrete sono invece le rispettive
funzioni di distribuzione.
117
Variabili continue limite del caso discreto
f(x)
118
Valore atteso per variabili continue
Variabili continue
prob di avere x
Somma
Variabili discrete
119
Varianza per variabili continue
Variabili continue
probabilità di x
Scarto quadratico
Somma
Variabili discrete
120
(No Transcript)
121
Def. 11. Momenti semplici di ordine r. Se X è
una v.c. il momento di ordine r, con r naturale,
è definito dalla seguente
Nel caso continuo.
Nel caso discreto
Si osserva che per r1 si ottiene il valore
atteso (aspettativa) di X.
122
Def. 12. Momenti centrali di ordine r. Se X è
una v.c. il momento centrale di ordine r, con r
naturale, è definito dalla seguente
Nel caso continuo
Nel caso discreto
Si osserva che per r2 si ottiene la varianza di
X.
123
(No Transcript)