Statistique et probabilit

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Statistique et probabilités au collège

• Versailles
• Mercredi 14 Janvier 2009

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Des séries statistiques aux probabilités la
progression dans les programmes du collège
6ème Organisation et représentation de données
(tableaux, repérage sur un axe,
diagrammes, graphiques) 5ème Représentation et
traitement de données (classes,
effectifs, fréquences, tableau de données,
représentations graphiques de
données) 4ème Traitement de données
(moyennes pondérées) 3ème Statistique
(caractéristiques de position) Notion
de probabilité
programmes
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I. Statistique descriptive
A. Histogramme

• Le graphique
• Histogramme avec les TICE
• Histogramme et paramètre statistiques

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Représentation graphique dune série statistique

• Variable quantitative discrète diagramme en
  bâtons Chaque modalité est représentée par une
  barre dont la hauteur est proportionnelle à
  leffectif.
• Série statistique continue histogramme
• Suite de rectangles contigus chaque classe
  est représentée par un rectangle dont laire est
  proportionnelle à leffectif.

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Histogramme 1. Classes de même amplitude

• Repère orthogonal et modalités du caractère
  placées sur laxe des abscisses
• Chaque classe est représentée par un rectangle
  dont laire est proportionnelle à leffectif de
  la classe concernée .
• Toutes les bases ont la même dimension donc
  les  hauteurs  des rectangles sont
  proportionnelles aux effectifs.

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Graphique Exemple dureté de pièces et Indice
de Rockwell.xls
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Histogramme 2. Classes damplitudes différentes

• Les bases des rectangles nont pas toutes la même
  longueur.
• Les aires des rectangles sont proportionnelles
  aux effectifs des classes.
• Lhistogramme se construit dans un repère
  orthogonal en portant sur laxe des abscisses les
  bornes des classes et en ordonnée des nombres
   hauteurs  des rectangles proportionnels aux
  densités deffectifs (effectif/amplitude).
• le coefficient de proportionnalité choisi est
  souvent min(Li) qui est alors lunité damplitude
  de classe.

Histogramme classes damplitudes différentes
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Ancienneté du personnel cadre dune entreprise
Histogramme réalisé avec sine qua non
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B. Des paramètres pour caractériser une série
statistique

• Mode
• Moyenne(s)
• Étendue
• Quantiles
• Médiane
• Quartiles
• Déciles

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1. Caractéristiques de tendance centrale ou de
position
Moyenne Médiane
Définition Soit S une série statistique
quantitative discrète à une variable, de taille
n, n ? N, définie par S si1 ? i ? n,
ordonnée dans lordre croissant. On appelle
médiane de S tout réel m tel que au moins 50
des valeurs de la série sont supérieures ou
égales à m et au moins 50 des valeurs de la
série sont inférieures ou égales à m.
Par exemple Soit S une série statistique
quantitative discrète à une variable, de taille
n, n ? N, définie par S si1 ? i ? n,
ordonnée dans lordre croissant. Si n est impair,
avec n 2p 1, p ? N, alors sp 1 est une
médiane de S Si n est pair, avec n 2p, p ?
N, alors (sp sp 1)/2 est une médiane de S.
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Quartiles
Définition Soit S une série statistique
quantitative discrète à une variable, de taille
n, n ? N, définie par S si 1 ? i ? n,
ordonnée dans lordre croissant. Le premier
quartile Q1 de S est le plus petit élément a de S
tel quau moins 25 des valeurs de S soient
inférieures ou égales à a. Le troisième quartile
Q3 de S est le plus petit élément a de S tel
quau moins 75 des valeurs de S soient
inférieures ou égales à a.
Les quartiles ne sont pas sensibles aux valeurs
extrêmes.

• Remarques
• Un quartile est une valeur de la série.
• Le deuxième quartile Q2 de S est le plus petit
  élément a de S tel quau moins 50 des valeurs
  de la série soient inférieures ou égales à a.
• Q2 ne coïncide toujours pas avec la médiane !

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1. Caractéristiques de tendance centrale ou de
position

• Leur choix dépend du contexte de létude.
• La moyenne est généralement pertinente si la
  série est longue et relativement homogène.
• La médiane est très facile à obtenir mais
  sensible aux fluctuations déchantillonnage. Elle
  décrit bien la série et élimine leffet des
  valeurs aberrantes.
• Le mode indique la valeur la plus typique et
  intéressant dans le cas de séries asymétriques.

Il est pertinent de faire apparaître tous ces
paramètres sur les représentations graphiques,
cela permet une visualisation synthétique de la
série.
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2. Caractéristiques de dispersion
Létendue max ? min Lécart interquartile Q3
? Q1 Lintervalle interquartile Q1 , Q3
Létendue est sensible aux valeurs extrêmes. Les
quartiles ne sont pas sensibles aux valeurs
extrêmes.
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3. Histogramme et paramètres statistiques

• Médiane Une valeur médiane partage la
  population observée en deux groupes de même
  effectif.
• La surface totale  sous lhistogramme 
  représente la population complète donc la droite
  déquation x Me partage lhistogramme en deux
  parties de même aire comme la médiane dun
  triangle partage un triangle en deux triangles de
  même aire.

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3. Histogramme et paramètres statistiques
Ancienneté du personnel cadre dune entreprise
Histogramme réalisé avec sine qua non
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Classe modale, mode

• Mode modalité deffectif maximal, donc
  représentée par une barre de hauteur maximale.
• Classe modale classe représentée par un
  rectangle de hauteur maximale.
• Une classe modale est donc une classe pour
  laquelle cest le quotient (effectif/amplitude)
  qui est maximal alors que pour des classes
  damplitudes égales ou pour les variables
  discrètes, les classes modales ou les modes
  correspondent aux effectifs maxima.
• Remarque le quotient effectif/amplitude
  sappelle la densité deffectif de la classe.
• Il peut exister plusieurs modes ou plusieurs
  classes modales.