THEORIE DES PROBABILITES

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THEORIE DES PROBABILITES

• par
• Professeur Paul MULUMBA M

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THEORIE DES PROBABILITES

• La probabilité est définie comme la limite vers
  laquelle tend la fréquence relative de
  réalisation dun événement lorsque le nombre des
  observations croît indéfiniment

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THEORIE DES PROBABILITES

• Supposons quun événement E consiste en N
  expériences également probable, et que, parmi ces
  N cas, il y ait R qui se soient réalisés

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THEORIE DES PROBABILITES

• On définit la probabilité de réalisation de
  lévénement E par
• p Prob(E) R/N

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THEORIE DES PROBABILITES

• La probabilité de non-réalisation de lévénement
  E par
• q Prob(Non E) 1 p

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THEORIE DES PROBABILITES

• Le théorème de Bernouilli vérifie que
• p q 1

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DEMONSTRATION

• Déterminer expérimentalement la probabilité
  dobtenir  face  ou  pile  en fonction du
  nombre de jets dune pièce de monnaie présumée
  équilibrée

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(No Transcript)
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Fréquence relative de succès en fonction du
nombre de jets
N de jets
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THEORIE DES PROBABILITES

• Exemple 1
• Calculer la probabilité pour que les nombres 3 ou
  4 apparaissent lors dun seul jet de dé
• p 2/6 q 4/6
• Vérifions que p q 2/6 4/6 1

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THEORIE DES PROBABILITES

• Exemple 2
• Quelle est la probabilité pour quun couple
  dhétérozygotes AS donne naissance à un enfant
  ayant respectivement le génotype AA, AS et SS ?

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THEORIE DES PROBABILITES
PERE
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THEORIE DES PROBABILITES
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PROBABILITE CONDITIONNELLE

• La probabilité pour que deux événements E1 et E2
  se produisent simultanément est le produit de la
  probabilité de la réalisation de lévénement E1
  par la probabilité de réalisation de lévénement
  E2 étant donné que E1 sest réalisé

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PROBABILITE CONDITIONNELLE

• P(E1?E2) P(E1)P(E2?E1)
• La quantité P(E2?E1) représente la probabilité
  conditionnelle de réalisation de lévénement E2
  sachant que lévénement E1 sest réalisé

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EVENEMENTS INDEPENDANTS

• Si E1 et E2 sont deux événements indépendants
  alors
• P(E2?E1) P(E2) doù
• P(E1?E2) P(E1)P(E2)

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EVENEMENTS INDEPENDANTS

• Pour 3 événements, on aura
• P(E1?E2?E3) P(E1)P(E2)P(E3)

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EVENEMENTS INDEPENDANTS

• Exemple 1
• Quelle est la probabilité de mettre au monde un
  garçon au premier accouchement et un second au
  deuxième accouchement ?

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EVENEMENTS INDEPENDANTS

• P(E1?E2) P(E1)P(E2)
• 0,50,5 0,25

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EVENEMENTS INDEPENDANTS

• Soit une urne qui contient 10 boules rouges et 4
  boules bleues
• Quelle est la probabilité pour que la première
  boule extraite soit rouge ?
• P(E1) 10/(10 4) 0,71

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EVENEMENTS INDEPENDANTS

• Quelle est la probabilité pour que la deuxième
  boule tirée soit bleue ?
• P(E2?E1) 4/(9 4) 0,308

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EVENEMENTS INCOMPATIBLES

• Deux ou plusieurs événements sont dits
  compatibles (ou incompatibles) lorsque
  lapparition de lun dentre eux nexclut pas (ou
  exclut) lapparition des autres

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EVENEMENTS INCOMPATIBLES

• La probabilité de réalisation de lévénement E1
  ou E2, que nous noterons E1?E2, sera égale à la
  somme de probabilité de réalisation respective de
  ces événements moins la probabilité de leur
  réalisation simultanée

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EVENEMENTS INCOMPATIBLES

• Pour les événements compatibles
• P(E1?E2) P(E1) P(E2) P(E1?E2)
• Et pour les événements incompatibles
• P(E1?E2) P(E1) P(E2)

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EVENEMENTS INCOMPATIBLES

• Exemple
• Soit une classe comportant 100 garçons et 24
  filles. Quelle est la probabilité de choisir au
  hasard un seul individu pour quil soit un garçon
  (E1), une fille (E2), un garçon ou une fille
  (E1?E2) ?

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EVENEMENTS INCOMPATIBLES

• P(E1) 100/(100 24) 0,81
• P(E2) 24/(100 24) 0,19
• P(E1?E2) P(E1) P(E2) P(E1 ? E2) 0,81
  0,19 0 1

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EVENEMENTS INCOMPATIBLES
P(E1 ? E2)
P(E2)
P(E1)
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THEOREME DE BAYES

• Selon la théorie des probabilités
  conditionnelles, la probabilité dobserver
  simultanément un test de laboratoire positif chez
  un patient souffrant dune maladie donnée peut
  être déterminée par la relation suivante

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THEOREME DE BAYES

• P(M) P(M)P(?M)
• ou
• P(M) P()P(M?)

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THEOREME DE BAYES

• Desquelles on peut tirer les relations suivantes
  
• P(?M) P(M)/P(M)
• ou
• P(M?) P(M)/P()
• qui représente la valeur prédictive positive
  (VPP)

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THEOREME DE BAYES

• P() P(M) P(M )
• P(M)P(?M) P(M)P(?M)
• Doù
• P(M?) P(M)P(?M)/ P(M)P(?M) P(M)P(?M)

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THEOREME DE BAYES

• Sous une forme généralisée pour le diagnostic
  différentiel de plusieurs maladies (Mi)
  présentant le même symptôme
• VPP P(Mi)P(?M)/? P(Mi)P(?Mi)

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THEOREME DE BAYES

• P(?M) définit le sensibilité du test, c-à-d, la
  probabilité dobtenir un résultat du test positif
  chez les sujets malades
• P(M?) définit la valeur prédictive positive
  (VPP), c-à-d, la probabilité dêtre réellement
  malade lorsque le test est positif

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THEOREME DE BAYES

• La spécificité est définie comme la probabilité
  dobserver un test négatif chez les sujets non
  malades P(-?M)

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THEOREME DE BAYES

• La prévalence de la maladie P(M) dans la
  population et celle des sujets non atteint par
  cette maladie P(M) doivent être connues pour
  calculer la probabilité a posteriori (VPP ou VPN)

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THEOREME DE BAYES

• La sensibilité et la spécificité dun test
  diagnostic permettent de déterminer la
  probabilité des faux positifs
• P(?M)
• Ainsi que celle des faux négatifs
• P(-?M)

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THEOREME DE BAYES

• Exemple Considérons la situation
  épidémiologique fictive suivante

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THEOREME DE BAYES

• La prévalence du cancer dans la population est
• P(M) 50/10.000 0,005
• La prévalence dêtre non cancéreux est
• P(M) 9.950/10.000 0,995

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THEOREME DE BAYES

• La sensibilité du test de dépistage du cancer est
  
• P(?M) 48/50 0,96
• Sa spécificité est
• P(-?M) 9.452/9.950 0,95

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THEOREME DE BAYES

• La probabilité des faux positifs est
• P(?M) 498/9.950 0,050
• La probabilité des faux négatifs est
• P(-?M) 2/50 0,04

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THEOREME DE BAYES

• La valeur prédictive positive est
• VPP 48/546 0,0879
• Ou à partir de la formule générale
• VPP (0,0050,96)/ (0,0050,96 0,9950,05)
  0,0879

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THEOREME DE BAYES

• La valeur prédictive négative (VPN) peut
  également être déterminée
• VPN 9.452/9.950 0,9499

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THEOREME DE BAYES

• Connaissant lincidence annuelle respective des
  affections fébriles (malaria, fièvre typhoïde,
  autres infections) dans la population, dune
  part, et, la sensibilité de la fièvre pour
  chacune de ces pathologies, calculer la VPP pour
  ces pathologies

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THEOREME DE BAYES
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THEOREME DE BAYES

• VPP(malaria) 0,330,93/(0,330,93 0,040,98
  0,200,60) 0,658
• VPP(F.typhoïde) 0,040,98 /(0,330,93
  0,040,98 0,200,60) 0,084
• VPP(AutresInf) 0,200,60 /(0,330,93 0,040,98
  0,200,60) 0,257