Calcolo delle probabilit

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Calcolo delle probabilità

• Progetto lauree scientifiche
• Università dellInsubria
• Facoltà di Matematica
• Como

Paola Bertoncello
Natalina Drappo
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Introduzione alla probabilità
definizioni
Probabilità discreta
in cui linsieme dei valori assumibili dai
risultati sia finito o numerabile
Analisi degli esiti di esperimenti aleatori
Evento elementare
Esito di un esperimento aleatorio
Variabile aleatoria
testa testa TT
Grandezza i cui valori siano i possibili esiti di
un esperimento
Spazio campionario
Insieme degli eventi elementari
TT, TC, CT, CC
Evento
Risultato del lancio Mano di poker
Sottoinsieme dello spazio campionario
di due monete
TT, TC, CT
3
Probabilità classica di un evento E
E esce almeno una testa
IEI 3
Casi favorevoli
_____________
P(E)
Casi possibili
O spazio campionario del lancio di due
I O I 4
Proprietà
P(E) ¾
monete
0P(E) 1
Ec non esce alcuna
testa
P(Ec)1-P(E)
P(Ec) 1/4
IEcI 1
E ? F ? P(E) gt P(F)
O
F esce una testa TC, CT
E
F
TC
CC
TT
IFI2
CT
P(F)1/2
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Strumenti matematici per lo studio della
probabilità
Disposizione semplice
Selezione ordinata di k elementi di un insieme
finito di dimensione n
Elenco degli studenti seduti nella prima fila
Primi tre classificati di una gara
Problema quante disposizioni si presentano
nellestrazione di due palline da un sacchetto
che ne contiene 4 diverse?
4 possibilità per la prima pallina
Soluzione
per ogni scelta della prima ci sono 3 possibilità
per la seconda
per ogni scelta delle precedenti ci sono 2
possibilità per la terza
Numero di disposizioni semplici 4 3 2 24
5
Altri esempi e relative soluzioni

• Il numero di modi in cui disporre 4 alunni in
  prima fila in una classe di 25 studenti è 25 24
  23 22 303600

• le possibili disposizioni dei numeri della prima
  cinquina della tombola sono 90 89 88 87
  86 gt 5 1010

Regola
Il numero di k-disposizioni semplici di n
elementi è n (n-1) (n-k1)
Usando il fattoriale di n, definito come n!n
(n-1) (n-2) .. 1 ottengo
n!
_____
D k,n
(n-k)!
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Disposizione con ripetizione
Elenco di k elementi ordinati di un insieme di
dimensione n per cui è prevista la ripetizione
Pin del telefono
Lancio di tre dadi
Problema quanti prefissi telefonici si possono
scrivere con tre cifre?
Soluzione
9 possibilità per la prima cifra
Per ogni scelta della prima cifra ho 9
possibilità per la seconda
Per ogni scelta delle prime due cifre ho 9
possibilità per la terza
Disposizioni con ripetizione 9 9 9 93
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Altri esempi e relative soluzioni

• Il numero di colonne possibili del totocalcio è
  313 1594323

• il numero di password di 8 cifre che si possono
  scrivere con cifre alfanumeriche maiuscole e
  minuscole senza caratteri speciali è (1026x2)8

Regola
Il numero di k-disposizioni con ripetizione di n
elementi è D k,n nk
nota

• il numero di targhe che si può ottenere con 4
  numeri e 2 cifre finali è 104 262
  6760000

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Permutazione (semplice)
Possibile ordinamento di un insieme finito di
elementi
È una n-disposizione semplice di n elementi
Ordine di arrivo ad una gara
Posizione dei libri in una libreria
Problema in quanti modi posso distribuire i 25
studenti di una classe?
Soluzione partendo dal primo banco, per il quale
ho 25 possibilità, ad ogni scelta successiva ho
uno studente in meno a disposizione, per cui ho
25 24 23 ..2 1 25!
Regola
Le permutazioni di n elementi sono Pn n!
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Combinazioni
Raggruppamenti di k elementi di un insieme di
dimensione n
possibili sottoinsiemi
Studenti interrogati
Estrazioni del lotto
Problema quante scelte ha un professore se
interroga 4 persone in una classe di 25?
Soluzione
Il numero di 4-disposizioni di 25 elementi è
25!/21!
Le disposizioni con gli stessi elementi in cui
cambia solo lordine corrispondono alla stessa
composizione
Il loro numero corrisponde al numero di
permutazioni sono 4!
Le combinazioni sono 25!
____
21!4!
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Altri esempi e relative soluzioni

• Il numero di combinazioni vincenti del
  SuperEnalotto è

90! 84!6!
______
Regola
Il numero di sottoinsiemi di k elementi di un
insieme di dimensione n è n!
______
C k,n
(n-k)!k!
Definisco coefficiente binomiale il valore
n!
n k
______
( )

(n-k)!k!
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Probabilità composta
definizioni
Dico due variabili o due eventi indipendenti se
il verificarsi del primo non influenza il
verificarsi del secondo.
A, B eventi indipendenti
?
P(A B) P(A) P(B)
n
A TT, TC
B TC, CC
CC
TT
TC
X, Y variabili indipendenti
CT
I Ox J Oy si ha
A
A
n
n
P(I J) P(I) P(J)
n
?
Ossia se tutti i possibili eventi della prima
sono indipendenti dai possibili eventi della
seconda
X esito lancio del primo dado
Y esito lancio del secondo dado
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Regole
Dati due eventi E e F
CCT
P(E F) P(E) P(F) - P(EnF)
n
TCC
CTT
E
TTC
TTT
TCT
E esattamente due teste
F
O
F la prima è testa
CTC
CCC
con E n F F ho
TTT
TCC
TTC
P(E F) P(E) P(F)
n
F
CTC
E
TCT
E esattamente due teste
CCT
CTT
O
F esattamente una testa
CCC
Nota nel caso di tre eventi
P(E F G) P(E) P(F) P(G) - P(EnF) -
P(EnG) - P(FnG)
n
n
P(EnFnG)
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Si consideri un evento costituito da eventi
elementari che siano fasi successive di un
esperimento
Diagramma ad albero
struttura di oggetti (foglie) e collegamenti
(rami) orientati
Ogni foglia può discendere da un solo predecessore
(padre)
Ad ogni foglia possono seguire diversi oggetti
(figli)
Lancio di tre dadi
T C
V
I possibili esiti si trovano percorrendo tutti i
rami dalla radice alla cima
V
T C
T C
V
V
V
V
T C
T C
T C
T C
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Principio di moltiplicazione
Sia E levento che si ottiene percorrendo un ramo
dellalbero dalla radice alla cima ed ei gli
eventi elementari corrispondenti alle foglie del
percorso di E
P(E) p P(ei)
Probabilità di un codice alfanumerico del tipo
aabc con a1 bcifra clettera
1
-1
½
½
1
1
-1
-1

0
1
2
3
9
1/10
P(-1,1,9,y)
½
½



1/10
1/26
1
y
w
z
a
b

1/26
__

1040
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Probabilità condizionata
e inversa
P(FE)
Probabilità che levento F si realizzi
nellipotesi che levento E si sia già realizzato
F due esiti su tre sono testa
E il primo esito è testa
P(F)3/8
P(FE)2/4
CCT
F
TCC
TCC
CTT
TTC
TTC
TTT
F
TCT
TCT
TTT
O
E
CTC
O
E
CCC
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Regola
P(FnE)
_______
P(FE)
P(E)
Riferendosi allesercizio precedente
P(FnE)2
P(E) 4
P(FE) 2/4
Nota
F è indipendente da E se (def.) P(FE) P(F)
e se sostituisco trovo P(E) P(F) P(EnF)
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Problema della probabilità inversa
Problema
Lurna I contiene 3 palline rosse e 2 blu, lurna
II contiene 1 pallina rossa e 1 blu. Pesco ad
occhi chiusi una pallina rossa Quale è la
probabilità che provenga dallurna 1?
Soluzione
Uso il diagramma ad albero
r
3/10
3/5
I
P(b)9/20
b
½
1/5
2/5
r
½
1/4
P(r)11/20
II
½
b
1/4
½
P(e1)
P(e2)
P(Ei) i14
Evento elem.
Costruisco il diagramma inverso
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x 4/9
I
P(Ib) 4/9
1/5
9/20
b
II
P(IIb) 5/9
1/4
5/9
6/11
I
P(Ir) 6/11
3/10
r
11/20
II
P(IIr) 5/11
5/11
1/4
Come trovare x la probabilità dei rami
equivalenti dei due alberi è uguale, quindi
9/20 x P(E2) 1/5
P(bnI)
P(b)
P(Ib)
Il problema corrisponde alla ricerca della
probabilità dellurna I condizionata allaver
pescato b

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Formula di Bayes
Problema
Si consideri un esperimento in due fasi e si
voglia calcolare la probabilità di un evento
elementare Hi al primo stadio nota la probabilità
dellevento E al secondo stadio
Regola
P(EHi) P(Hi)
P(EHi) P(Hi)
________________
__________
P(HiE)

S P(EHk) P(Hk)
P(E)
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Probabilità discreta e continua
definizioni

Dato uno spazio campionario discreto O
def. probabilità su O una qualsiasi funzione
P O 0,1
che soddisfi
P(O) 1
1)
2)
P( Ak) P(Ak)

Finito o numerabile
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Probabilità classica
O finito o numerabile con O wi
IOI dimensione (o la cardinalità) di O
IEI
___
E O
?
A
P(E)
IOI
definizione equivalente alla probabilità classica
Sia m(x) una funzione
m O 0,1
con
m(x) 1
detta funzione di distribuzione di O
Sia E un sottoinsieme di O
definisco P(E) m(x)
P(O) 1
P O 0,1
con
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Le proprietà sono quelle già viste .
le trasmettiamo dagli insiemi agli
elementi per il caso numerabile le somme
diventano serie studio della convergenza
(esistenza di una somma finita)
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Caso continuo
X lunghezza della corda di una circonferenza
unitaria
O ( 0,2
Si voglia P(E) con E ( ,2
Scelgo un sistema di coordinate per il punto
medio rettangolari del con origine nel centro
della circonferenza
M (x,y)
(x,y) -1,1 x -1,1 con x2 y2 1
LHp corrisponde a X lato del triangolo
equilatero .
M è interno alla circonferenza di raggio ½
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Nota
Se ho uno spazio campionario sottoinsieme di IR2
e ipotizzo che tutti i suoi punti siano
equiprobabili posso associare ad una superficie
una probabilità equivalente alla sua area
p(½)2
______
P(E) 1/4
p(1)2
Paradosso di Bertrand
M(xy)
1/4 1/2 1/3
P(E)
M(??)
A(1a)
B(1ß)
Nota Area e integrale
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definizione F(x) funzione di distribuzione
cumulativa di X se
Proprietà
è monotona non decrescente
è continua da destra
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definizione f(x) funzione di densità di X se
f IR IR e vale

P(a x b)
IR
Proprietà
Scelta la variabile X non è detto che esista f(x)
P(X E)
purché lintegrale esista
f(x) non è una probabilità.
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Teorema
Sia X una variabile aleatoria con funzione di
densità f(x)
Rappresenta la funzione di distribuzione
cumulativa di X,
e si ha
Da ciò potremmo introdurre un diversa
definizione di funzione densità

f IR IR
t.c.
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Esempi significativi di distribuzioni e densità
Distribuzione uniforme discreta
Sia X una variabile aleatoria con spazio
campionario O di dimensione n
La distribuzione è rappresentata dalla funzione
m(x) 1/n costante
Attenzione!
Sia O numerabile e m(x) costante
diverge
continua
Distribuzione uniforme
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Funzione di densità gaussiana
1
______
fx
30
FINE