Probabilit

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Probabilités et variables aléatoires

• Adapté de Yannis Korilis, Christian St-Jean, Dave
  DeBarr, Bob Carpenter, Jennifer Chu-Carroll et
  plusieurs autres

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Expérience aléatoire et probabilité

• Suite dévènements dont les variables varient
  dans des intervalles de valeurs connus, sans que
  les valeurs précises le soient avec une certitude
  absolue
• La fréquence doccurrence de chaque valeur est
  utilisée comme mesure relative de sa certitude,
  ou probabilité doccurrence

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Approche évènementielle

• Expérience aléatoire Suite dévènements pris
  dans un espace ? sur lequel est définie une
  probabilité P.
• Un événement est une partie de ? notée A.
• Chaque événement possède une probabilité P(A)
  telle que, dans lespace probabilisé (?, A, P),
  on a
• P(?)1 (il est certain quun évènement se
  produise, sans savoir lequel)
• P(A) P(Ac)1 (Si un évènement ne se produit
  pas, un des autres se produira)
• La loi de probabilité triviale est
• Cas discret Cas continu

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Approche par variable aléatoire

• Variable numérique dont les valeurs dépendent des
  résultats dune expérience aléatoire
• Représente une projection de (?, A, P) dans un
  espace numérique
• Permet le calcul des probabilités par des
  méthodes de lanalyse mathématique au lieu de
  raisonner sur des ensembles
• Variable aléatoire discrète  ses valeurs sont
  dénombrables
• Espérance  la valeur moyenne
• Variance  lécart quadratique moyen par rapport
  à la valeur moyenne

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Variable aléatoire continue

• Ses valeurs sont des nombres réels
• Utilise une fonction de densité de probabilité
  
• positive, intégrable , ,
• Fonction de probabilité cumulative
• Espérance 
• Variance

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Variables aléatoires indépendantes et
conditionnelles

• Probabilité conditionnelle
• Évènements indépendants 
• Variables aléatoires indépendantes 
• Théorème de Bayes

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Lois de probabilité discrètes
(Comme quoi, les hasards ne sont pas tous
pareils !)

• Loi uniforme
• X1,2,,n

• Loi de bernoulli
• X0,1

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• Loi binomiale
• Lévènement de probabilité p apparaît k fois en n
  essais gt n épreuves de
  bernoulli, avec les combinaisons de k dans n
• X0,1,2, , n)

• Loi géométrique
•   Lévènement de probabilité p apparaît au kième
  essais gt k
  épreuves de bernoulli, avec X1 à la kième et 0
  avant  
• Loi sans mémoire La probabilité de lévénement
  au kième essai ne dépend pas de lhistorique des
  évènements
• Propriété ignorée par les joueurs !

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• Loi de Poisson
• Le nombre moyen doccurrence dun événement X
  dans un temps T est k
• X0,1,
• ? nombre moyen dévénement par unité de temps.

• Relation avec la loi binomiale
• Si plt0.1 et ngt50 B(n,p)?P(np)

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Lois de probabilité continues

• Loi uniforme

• Loi exponentielle
• Utilisée en fiabilité pour représenter une
  espérance de vie

• E(x) 1/? est souvent appelé MTBF ( mean time
  between failures ) et ? est le taux de
  défaillance
• P(X gt x)probabilité dattendre plus de x avant
  lapparition dun phénomène lorsque 1/? est le
  temps moyen dattente.
• Loi sans mémoire le passé ne permet pas de
  prédire lavenir.

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• Loi Gamma
• Généralisation de la loi exponentielle utilisée
  dans les files dattentes. P(X gt x) probabilité
  dattendre plus de x minutes avant la kième
  apparition du phénomène étudié, avec 1/? comme
  temps moyen dattente entre deux apparitions du
  phénomène.

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• Loi de Gauss ( normale )
• Loi fondamentale en statistique. Très souvent
  utilisée en modélisation.

• Loi limite de caractéristiques issues dun
  échantillon de grande taille.
• On a les convergences suivantes (souvent abusées
  dans les sondages !)

• B(np)?N(npnp(1-p)) (np et n(1-p) supérieurs à
  5)
• P(?)?N(? ?) (avec ?gt18)

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• Loi du Chi 2 (Khi-deux de Pearson)

Dite  chi2 à k degrés de liberté 

• Loi de Student

Dite  Student à k degrés de liberté 

• Loi de Fisher-Snédécor

Dite  Fisher à k, l degrés de liberté 
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Exemple 1

• Un système de prise de décision binaire comprend
  trois modules indépendants et pend une décision
  positive sil y unanimité chez les trois modules.
  Sachant que la probabilité dune décision
  négative par un module est 0.02, 0.05 et 0.10,
  respectivement, quelle est la probabilité que le
  système prenne une décision positive?

P(A) P(décision négative par module A) 0.02
P(B) P(décision négative par module B) 0.05
P(C) P(décision négative par module C) 0.10
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Exemple 2
Une machine utilise quatre dispositifs D1, D2,
D3, D4 dont la défaillance peut intervenir de
manière indépendante. La machine tombe en panne
si D1 est défaillant ou que deux de D2, D3, D4
les sont. Si Ai dénote le fait que Di fonctionne
sans défaillance pendant un intervalle T, quelle
est la probabilité de fonctionnement correct de
la machine durant lintervalle si P(A1)0.80,
P(A2)0.85, P(A3)0.90 P(A4)0.90 ?
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Exemple 3
Un système S se présente de manière aléatoire
sous deux états, 0 et 1, avec P(S0) 0.4 et
P(S1)0.6. Une station T1 fournit des
informations potentiellement erronées sur létat
de S. La probabilité que T1 soit juste pour
létat 0 est 0.98 la probabilité quelle le
soit pour létat 1 est 0.95. A un instant donné,
T1 reporte S dans létat 0. Quelle est la
probabilité que S soit vraiment dans létat 0 ?
Posons E1 S est dans létat 0, O1 S est
observé dans létat 0 par T1 P(E1 )0.4
P(O1 E1 )0.98 P(O1 cE1 )0.05
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Exemple 4
Un système S se présente de manière aléatoire
sous deux états, 0 et 1, avec P(S0) 0.4 et
P(S1)0.6. Deux stations T1 et T2 fournissent
des informations sur létat de S. La probabilité
derreur de T1 est 0.02 et celle de T2 est 0.06
A un instant donné, T1 donne S dans létat 0 et
T2 donne S dans létat 1. Quelle est la
probabilité que S soit dans létat 0 ?
Posons E0 S est dans létat 0 et E1 S est dans
létat 1 OS est observé dans létat 0 par T1
et dans létat 1 par T2 P(E0 )0.4 P(E1
)0.6 P(O E0 )0.980.06 ( prob. que T1 soit
vraie et T2 soit fausse sachant que S est
dans létat 0) P(O E1 )0.020.94
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Exemple 5

• Une machine tombe en panne selon la loi
  exponentielle avec un facteur ??0.5/heure.
  Quelle est la probabilité que la machine tombe en
  panne entre la première et deuxième heure après
  le démarrage.

• La durée de vie d'un composant d'un système est
  supposée suivre une loi exponentielle de
  paramètre ?. Un grand nombre de ces composants
  sont testés et on a observé que 5 ne durent pas
  plus de 100 heures.
• Estimer la probabilité qu'un composant pris au
  hasard dure plus de 200 heures, ou T est la durée
  de la vie en heures

La probabilité de survie est Pour T gt 200,
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Exemple 6
Le taux global de défaillance dun processus est
la somme des taux de chaque composant et ceux-ci
suivent une loi de mortalité exponentielle. Les
taux élémentaires sont donnés par des documents
fournis par le designer. Pour un taux de
défaillance ?? 12 10-6 h-1 et pour un
fonctionnement continu pendant 208 jours par an,
donnez la probabilité théorique que le processus
fonctionne encore au bout de ces 208 jours.
t 24 x 208 5000 heures la probabilité
théorique que le processus est fonctionnel encore
est alors de R(5000) e-0.000012.x5000 0,9418.
Ceci signifie que la probabilité d'avoir une
défaillance pendant la durée de fonctionnement de
5000 heures est de f 1 - 0,9418
0,0582 soit 5,8 .