Chapitre 3: Caract

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Chapitre 3 Caractérisation des systèmes
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Performances d un système asservi

• Comportement d un  bon  système asservi
• après un changement de consigne ou une
  perturbation, la mesure doit atteindre la
  consigne, le plus rapidement possible et sans
  oscillations intempestives
• 3 notions fondamentales à caractériser
• la précision statique (la mesure doit atteindre
  la consigne)
• la rapidité (le plus rapidement possible)
• la stabilité (sans oscillations intempestives)

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La stabilité

• La stabilité notion complexe étudiée
  ultérieurement. Dans un premier temps, on
  caractérisera la  résonance .

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Nécessité d une caractérisation

• A partir de la connaissance de la FT ou d essais
  expérimentaux, il s agit de déterminer certaines
  grandeurs représentatives des performances du
  système asservi.
• 2 approches peuvent être utilisées
• temporelle
• fréquentielle

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3.1 Approches temporelle, fréquentielle et
zéros-pôles
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Evaluation des performances

• 2 approches sont possibles
• on utilise des entrées standardisées et à partir
  des tracés d entrée-sortie on détermine un
  certain nombre de grandeurs caractéristiques
• Approche temporelle ou indicielle (entrée
  échelon)
• Approche fréquentielle ou harmonique (entrée
  sinusoïde à fréquence variable)

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3.1.1 Approche temporelle
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Approche temporelle
y(t) ?

• Si le système ne comporte pas d intégration, 2
  types de réponse sont possibles

Réponse oscillatoire amortie
Réponse apériodique
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Réponse temporelle

• La réponse peut être décomposée en deux parties

Régime transitoire
Régime permanent
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Le gain - détermination temporelle

• Le gain K caractérise le régime permanent

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Autres caractéristiques temporelles

• Le régime transitoire peut être caractérisé par
• le temps de montée, tm, temps nécessaire pour
  passer de 10 à 90 de la valeur finale
• le temps de réponse, tr, temps nécessaire pour
  que la réponse se stabilise à plus ou moins 5
  de la valeur finale
• Lorsque la réponse est oscillatoire amortie, on
  peut aussi utiliser
• l amplitude du 1er dépassement, D1, (en de la
  valeur finale) et le temps tD1 qui lui correspond

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Exemple

• Attention à la détermination de tr et tD1 et D1

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3.1.2 Approche fréquentielle
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Approche fréquentielle

• On s intéresse
• au rapport d amplitude (le gain) r
• au déphasage j
• entre les signaux d entrée-sortie en fonction de
  la pulsation w
• Le gain et le déphasage sont respectivement le
  module et l argument du nombre complexe H(jw)
  correspondant à la FT H(p)

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Diagrammes

• Dans l approche fréquentielle, on utilise 2
  types de diagramme
• diagramme de Bode
• diagramme de Nyquist
• Pour mémoire, il existe aussi
• le lieu de Black-Nichols

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Diagramme de Bode

• 2 courbes
• G, le module de H, exprimé en dB en fonction de
  w
• j, le déphasage, exprimé en degré en fonction de
  w

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Le gain - détermination fréquentielle

• Le gain statique, KdB, correspond au gain à la
  fréquence minimale

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La bande passante

• Bande passante, B, domaine fréquentiel à
  l intérieur duquel le module de H reste compris
  entre 2 bornes
• La pulsation correspondant à l atténuation de -
  3 dB est appelée pulsation de coupure, wc
• plus la bande passante est élevée, plus le
  système est rapide

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Le facteur de résonance

• Le facteur de résonance MdB n est présent que
  lorsque la réponse temporelle est oscillatoire
  amortie, c est la variation entre le gain
  statique et l amplitude maximale la pulsation
  de résonance est wr

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Diagramme de Nyquist

• Ce lieu décrit en coordonnées polaires le point
  d affixe H(jw) lorsque w varie de 0 à l infini

Ce diagramme est surtout utilisé pour évaluer la
 stabilité  d un système
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3.2 Systèmes du premier ordre
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Remarque préalable

• Mathématiquement, un système du 1er ordre est
  régit par une équation différentielle du 1er
  ordre
• Plusieurs formes sont possibles selon la valeur
  des coefficients. En Automatique, lorsque l on
  parle d un système du 1er ordre, il s agit, par
  défaut, d un système du 1er ordre sur la sortie.

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3.2.1 Systèmes du premier ordrede type K/(1Tp)
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Fonction de transfert

• Système régit par une équation différentielle du
  1er ordre sur la sortie
• Exemple filtre RC
• K gain statique
• T constante de temps

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Réponse indicielle

• Echelon d amplitude A

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Réponse à une rampe

• Rampe de pente A

Entrée
Sortie
Pour le dessin K 1
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Diagramme de Bode
2 asymptotes qui se coupent pour w 1/T wc
Le déphasage évolue entre 0 et - 90 f(wc) - 45
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Diagramme de Nyquist

• C est un demi-cercle de rayon 1

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3.2.2 Autres systèmes du premier ordre
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Système de type K(1Tp)

• Les systèmes de ce type ne représentent pas des
  systèmes physiques ils correspondent à des
  filtres ou des correcteurs. Dans ce contexte, ils
  ne sont pas utilisés seuls.
• Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de
  changer les signes du gain et du déphasage des
  résultats obtenus pour K/(1Tp)

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Système intégrateur

• Equation différentielle
• Exemple
• Système  instable 
• Système de type 1 (une intégrale)

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Système intégrateur

• Diagramme de Bode
• pente -20 dB/décade
• déphasage -90

Gain statique K
Gain statique en dB
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Système intégrateur

• Diagramme de Nyquist

Demi-droite sur l axe imaginaire négatif
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Système dérivateur

• Equation différentielle
• Exemple Génératrice tachymétrique
• Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de
  changer les signes du gain et du déphasage des
  résultats obtenus pour K/p. De même pour Nyquist
  demi-droite sur l axe imaginaire positif.

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3.3 Systèmes du deuxième ordre
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Forme générale

• Système régit par une équation différentielle du
  2ème ordre sur la sortie
• Exemple partie mécanique d un galvanomètre
• q angle de déviation
• J moment d inertie
• k coefficient de raideur du ressort
• f coefficient de frottement
• g couple exercé sur le galvanomètre

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Fonction de Transfert

• K gain statique
• wn pulsation propre non amortie
• Z facteur d amortissement

• Selon Z, le dénominateur admet
• 2 racines réelles, c est un système apériodique
• 2 racines complexes conjuguées, c est un système
  résonant

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3.3.1 Réponse temporelle
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Réponse indicielle
Mode non oscillatoire
Mode oscillatoire amorti
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Système apériodique

• Produit de 2 systèmes du 1er ordre
• Réponse à un échelon d amplitude A
• Temps de réponse

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Système oscillatoire amorti

• Echelon d amplitude A
• Temps de réponse
• Amplitude et temps du 1er dépassement

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Réponse indicielle en fonction de Z
Z 0.1
Z 5
Il n existe pas de relation simple pour exprimer
le temps de réponse tr. Il est minimum pour Z
0.7
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Réponse indicielle en fonction de wn
wn 3
wn 1
wn 0.3
Plus la pulsation est grande, plus le système est
rapide
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La tangente à l origine
1er ordre tangente verticale 2ème
ordre tangente horizontale
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3.3.2 Réponse fréquentielle
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Grandeurs caractéristiques

• Pulsation de coupure
• Pulsation de résonance
• Facteur de résonance

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Diagramme de Bode

• Système apériodique

2 asymptotes qui se coupent pour w wn les
asymptotes sont toujours  sur  la courbe
Le déphasage évolue entre 0 et - 180 f(wn) -
90
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Diagramme de Bode

• Système oscillatoire amorti

- 40 dB/décade
2 asymptotes qui se coupent pour w wn
Le déphasage évolue entre 0 et - 180 f(wn) -
90
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Diagramme de Bode fonction de Z
Z 0.1
Z 5
Z 0.1
Z 5
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Diagramme de Bode fonction de wn
wn 0.3
wn 1
wn 3
wn 3
wn 0.3
wn 1
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Diagramme de Nyquist
Apériodique
Oscillatoire amorti
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Diagr. de Nyquist fonct. de Z et wn
À Z et K constants, le tracé ne change en
fonction de wn
Z 0.3
Z 0.1