Title: Chapitre 3: Caract
1Chapitre 3 Caractérisation des systèmes
2Performances d un système asservi
- Comportement d un  bon système asservi
- après un changement de consigne ou une
perturbation, la mesure doit atteindre la
consigne, le plus rapidement possible et sans
oscillations intempestives - 3 notions fondamentales à caractériser
- la précision statique (la mesure doit atteindre
la consigne) - la rapidité (le plus rapidement possible)
- la stabilité (sans oscillations intempestives)
3La stabilité
- La stabilité notion complexe étudiée
ultérieurement. Dans un premier temps, on
caractérisera la  résonance .
4Nécessité d une caractérisation
- A partir de la connaissance de la FT ou d essais
expérimentaux, il s agit de déterminer certaines
grandeurs représentatives des performances du
système asservi. - 2 approches peuvent être utilisées
- temporelle
- fréquentielle
53.1 Approches temporelle, fréquentielle et
zéros-pôles
6Evaluation des performances
- 2 approches sont possibles
- on utilise des entrées standardisées et à partir
des tracés d entrée-sortie on détermine un
certain nombre de grandeurs caractéristiques - Approche temporelle ou indicielle (entrée
échelon) - Approche fréquentielle ou harmonique (entrée
sinusoïde à fréquence variable)
73.1.1 Approche temporelle
8Approche temporelle
y(t) ?
- Si le système ne comporte pas d intégration, 2
types de réponse sont possibles
Réponse oscillatoire amortie
Réponse apériodique
9Réponse temporelle
- La réponse peut être décomposée en deux parties
Régime transitoire
Régime permanent
10Le gain - détermination temporelle
- Le gain K caractérise le régime permanent
11Autres caractéristiques temporelles
- Le régime transitoire peut être caractérisé par
- le temps de montée, tm, temps nécessaire pour
passer de 10 à 90 de la valeur finale - le temps de réponse, tr, temps nécessaire pour
que la réponse se stabilise à plus ou moins 5
de la valeur finale - Lorsque la réponse est oscillatoire amortie, on
peut aussi utiliser - l amplitude du 1er dépassement, D1, (en de la
valeur finale) et le temps tD1 qui lui correspond
12Exemple
- Attention à la détermination de tr et tD1 et D1
133.1.2 Approche fréquentielle
14Approche fréquentielle
- On s intéresse
- au rapport d amplitude (le gain) r
- au déphasage j
- entre les signaux d entrée-sortie en fonction de
la pulsation w - Le gain et le déphasage sont respectivement le
module et l argument du nombre complexe H(jw)
correspondant à la FT H(p)
15Diagrammes
- Dans l approche fréquentielle, on utilise 2
types de diagramme - diagramme de Bode
- diagramme de Nyquist
- Pour mémoire, il existe aussi
- le lieu de Black-Nichols
16Diagramme de Bode
- 2 courbes
- G, le module de H, exprimé en dB en fonction de
w - j, le déphasage, exprimé en degré en fonction de
w
17Le gain - détermination fréquentielle
- Le gain statique, KdB, correspond au gain à la
fréquence minimale
18La bande passante
- Bande passante, B, domaine fréquentiel Ã
l intérieur duquel le module de H reste compris
entre 2 bornes - La pulsation correspondant à l atténuation de -
3 dB est appelée pulsation de coupure, wc - plus la bande passante est élevée, plus le
système est rapide
19Le facteur de résonance
- Le facteur de résonance MdB n est présent que
lorsque la réponse temporelle est oscillatoire
amortie, c est la variation entre le gain
statique et l amplitude maximale la pulsation
de résonance est wr
20Diagramme de Nyquist
- Ce lieu décrit en coordonnées polaires le point
d affixe H(jw) lorsque w varie de 0 à l infini
Ce diagramme est surtout utilisé pour évaluer la
 stabilité d un système
213.2 Systèmes du premier ordre
22Remarque préalable
- Mathématiquement, un système du 1er ordre est
régit par une équation différentielle du 1er
ordre - Plusieurs formes sont possibles selon la valeur
des coefficients. En Automatique, lorsque l on
parle d un système du 1er ordre, il s agit, par
défaut, d un système du 1er ordre sur la sortie.
233.2.1 Systèmes du premier ordrede type K/(1Tp)
24Fonction de transfert
- Système régit par une équation différentielle du
1er ordre sur la sortie - Exemple filtre RC
- K gain statique
- T constante de temps
25Réponse indicielle
26Réponse à une rampe
Entrée
Sortie
Pour le dessin K 1
27Diagramme de Bode
2 asymptotes qui se coupent pour w 1/T wc
Le déphasage évolue entre 0 et - 90 f(wc) - 45
28Diagramme de Nyquist
- CÂ est un demi-cercle de rayon 1
293.2.2 Autres systèmes du premier ordre
30Système de type K(1Tp)
- Les systèmes de ce type ne représentent pas des
systèmes physiques ils correspondent à des
filtres ou des correcteurs. Dans ce contexte, ils
ne sont pas utilisés seuls. - Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de
changer les signes du gain et du déphasage des
résultats obtenus pour K/(1Tp)
31Système intégrateur
- Equation différentielle
- Exemple
- Système  instableÂ
- Système de type 1 (une intégrale)
32Système intégrateur
- Diagramme de Bode
- pente -20 dB/décade
- déphasage -90
Gain statique K
Gain statique en dB
33Système intégrateur
Demi-droite sur l axe imaginaire négatif
34Système dérivateur
- Equation différentielle
- Exemple Génératrice tachymétrique
- Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de
changer les signes du gain et du déphasage des
résultats obtenus pour K/p. De même pour Nyquist
demi-droite sur l axe imaginaire positif.
353.3 Systèmes du deuxième ordre
36Forme générale
- Système régit par une équation différentielle du
2ème ordre sur la sortie - Exemple partie mécanique d un galvanomètre
- q angle de déviation
- J moment d inertie
- k coefficient de raideur du ressort
- f coefficient de frottement
- g couple exercé sur le galvanomètre
37Fonction de Transfert
- K gain statique
- wn pulsation propre non amortie
- Z facteur d amortissement
- Selon Z, le dénominateur admet
- 2 racines réelles, c est un système apériodique
- 2 racines complexes conjuguées, c est un système
résonant
383.3.1 Réponse temporelle
39Réponse indicielle
Mode non oscillatoire
Mode oscillatoire amorti
40Système apériodique
- Produit de 2 systèmes du 1er ordre
- Réponse à un échelon d amplitude A
- Temps de réponse
41Système oscillatoire amorti
- Echelon d amplitude A
- Temps de réponse
- Amplitude et temps du 1er dépassement
42Réponse indicielle en fonction de Z
Z 0.1
Z 5
Il n existe pas de relation simple pour exprimer
le temps de réponse tr. Il est minimum pour Z
0.7
43Réponse indicielle en fonction de wn
wn 3
wn 1
wn 0.3
Plus la pulsation est grande, plus le système est
rapide
44La tangente à l origine
1er ordre tangente verticale 2ème
ordre tangente horizontale
453.3.2 Réponse fréquentielle
46Grandeurs caractéristiques
- Pulsation de coupure
- Pulsation de résonance
- Facteur de résonance
47Diagramme de Bode
2 asymptotes qui se coupent pour w wn les
asymptotes sont toujours  sur la courbe
Le déphasage évolue entre 0 et - 180 f(wn) -
90
48Diagramme de Bode
- Système oscillatoire amorti
- 40 dB/décade
2 asymptotes qui se coupent pour w wn
Le déphasage évolue entre 0 et - 180 f(wn) -
90
49Diagramme de Bode fonction de Z
Z 0.1
Z 5
Z 0.1
Z 5
50Diagramme de Bode fonction de wn
wn 0.3
wn 1
wn 3
wn 3
wn 0.3
wn 1
51Diagramme de Nyquist
Apériodique
Oscillatoire amorti
52Diagr. de Nyquist fonct. de Z et wn
À Z et K constants, le tracé ne change en
fonction de wn
Z 0.3
Z 0.1