Funciones reales de variable real

1
Funciones reales de variable real
x f(x)
x
y f(x)

• José Manuel Reyes Brito
• I.E.S. Albert Einstein
• Sevilla

2
Elementos básicos en el estudio de una función.
DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA RECORRIDO o
IMAGEN GRÁFICA o GRAFO
3
DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA
Df x ? / f(x) ?
Es el conjunto de valores que puede tomar x, de
manera que f(x) sea un número real Valores para
los que se puede calcular f(x)
4
RECORRIDO o IMAGEN
Rf y ? / y f(x), x ? Df
Es el conjunto de valores que puede tomar y, como
transformados mediante f(x) de los valores del
dominio.
5
GRÁFICA o GRAFO
(x, y) ? 2/ x ? Df, y ? Rf
Es el conjunto de puntos del plano de manera que
la segunda coordenada sea transformada de la
primera mediante f(x). Representados estos puntos
en un sistema de ejes cartesianos, nos
proporcionarán información gráfica de la función.
6
Clasificación de las funciones de variable real
F. Lineal y mx n F. Cuadrática y
ax2bxc Otras funciones polinómicas
Enteras o Polinómicas
Pn(x) Qm(x)
ALGEBRAICAS
Racionales fraccionarias
Irracionales o radicales x aparece bajo una raíz
Exponencial Logarítmica Trigonométricas

TRASCENDENTES
7
Funciones Lineales y mx n
Funciones algebraicas enteras o polinómicas
8
Todas las funciones polinómicas tienen dominio
3ª) y x - 2
1ª) y x
2ª) y x 3
9
1ª) y 2x 1
D f
2ª) y 5x 1
3ª) y (1/3)x 1
A mayor pendiente, mayor ángulo con la
horizontal Ordenada en el origen no cambia
10
D f
1ª) y -3x 1
2ª) y -3x 5
3ª) y -3x 2
Igual pendiente paralelas Obsérvese el efecto de
la ordenada en el origen
11
RESUMEN Funciones lineales y mx n
D f
Gráfica RECTA
R f
R f
D f
R f -2
Ojo! Si m0, R f n
12
Ejemplos de aplicaciones de la función lineal
A) Movimiento uniforme e e0 vt
B) 2ª Ley de Newton F ma (m constante)
C) Dilatación L L0(1 kt)
D) Potencia de un salto de agua P CaudalAltura
E) Ley de Ohm V IR
F) Cambio de escala termométrica C 5/9(F-32)
13
Funciones cuadráticas

• y ax2 bx c

Funciones algebraicas enteras o polinómicas
14
Como todas las funciones polinómicas D f
Ahora observamos la gráfica con toda su
significación
Las claves están en los siguientes elementos
Apreciamos un aspecto de la gráfica que no es
significativo y que puede llamar a confusiones
Cambiamos el rango de representación y observamos
las variaciones que se producen
Cortes con el eje OX
Vértice
15
Funciones cuadráticas
D f y ax2 bx c
Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el
estudio de una función cuadrática
1. Hallar los puntos de corte con el eje OX
ax2 bx c 0 ?? x1 y x2 ? (x1, 0) y (x2, 0)
2. Hallar las coordenadas del vértice V(xv, yv)
3. Completar, si es necesario, con una tabla
Sólo 1 ó 2 valores. (Corte con el eje OY)
16
Ejemplos de funciones cuadráticas
D f
1) y x2 -8x - 9
R f -25, ?)
Vértice (4, -25)
17
Ejemplos de funciones cuadráticas
D f
Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al
eje OX
Obsérvense los coeficientes de x2
V(2, -9) R f -9, ?)
V(2, -5) R f -5, ?)
V(2, -20) R f -20, ?)
18
Ejemplos de funciones cuadráticas
D f
y x2 - 3x 2 y 3x2 2x 1 y 20x2 - 20x 5
19
Ejemplos de funciones cuadráticas
D f
Si el coeficiente del término de mayor grado es
negativo, las ramas infinitas de la parábola se
dirigen hacia abajo
y - 3x2 x 2
Ojo! En este caso Rf (-8, yv
y - x2 7x - 10
y - 3x2 x - 2
20
Ejemplos de aplicaciones de la
función cuadrática
A) Movimiento uniformemente acelerado s s0
v0t ½at2 B) Teorema de Torricelli v2 2gh
21
Funciones polinómicas Grado gt2
D f
22
y x3
y 2x3
D f R f
y 5x3
Obsérvese el efecto y cf(x)
Funciones cúbicas y ax3 bx2 cx d
23
y x3 1
y x3
y x3 - 2
y x3 3
D f R f
Obsérvese el efecto y f(x) c
Funciones cúbicas y ax3 bx2 cx d
24
y (x 1)(x - 2)(x - 3) x3 - 4x2 x 6
D f R f
Funciones cúbicas y ax3 bx2 cx d
25
y (x 1)2(x - 2) x3 - 3x - 2
Solución doble
D f R f
Funciones cúbicas y ax3 bx2 cx d
26
y (x2 1)(x - 2) x3 - 2x2 x - 2
D f R f
Raíces complejas
Funciones cúbicas y ax3 bx2 cx d
27
D f R f
y (x -1)(x - 2)(3 - x) -x3 6x2 -11x 6
Obsérvese el efecto del coeficiente líder negativo
Funciones cúbicas y ax3 bx2 cx d
28
y (x 1)x(x - 1)(x -2) x4 - 2x3 - x2 2x
D f
Funciones cuárticas y ax4 bx3 cx2 dx e
29
Funciones fraccionarias
Pn(x) Qm(x)
y
D f - x/ Qm(x) 0
30
Funciones fraccionarias
Asíntota horizontal y 0
x 0
x 3
x -3/4
R f - 0
Asíntotas verticales
Gráfica HIPÉRBOLA
31
Funciones fraccionarias
Asíntota vertical
5x 10 0? x -2
Asíntota horizontal
D f - -2 R f - 3/5
Gráfica HIPÉRBOLA
32
Funciones fraccionarias
Asíntotas verticales x -1
x 4
Asíntota horizontal y 1
D f - -1, 4
33
Ejemplos de aplicaciones de funciones
fraccionarias
A. Principio de continuidad hidrodinámica S1V1
S2V2 G (Gasto) ? S G/V B. Ley de Boyle PV
k ? V k/P C. Ley de Gravitación Universal D.
Ley de Coulomb
34
Funciones trascendentes
Exponencial Logarítmica Trigonométricas

35
Función exponencial
y ax agt0
36
Función exponencial
y 2x
y ex
y 10x
D f R f (0, ?)
Asíntota horizontal y 0
e ? 2718281828459045235360...
Función monótona creciente
37
Función exponencial
y 05x
y 01x
y (1/e)x
D f R f (0, ?)
Asíntota horizontal y 0
Función monótona decreciente
38
Función exponencial
y ax agt0
D f R f (0, ?) f(0) 1 Monótona creciente
si agt 1 Monótona decreciente si 0 lt a lt 1
RESUMEN
39
Ejemplos de aplicaciones de la función exponencial
A. Crecimiento malthusiano P(t) P0akt B.
Crecimiento logístico C. Presión atmosférica
a 8 Km p(0) presión a nivel del mar h en
Km
40
Función logarítmica
y loga(x) a gt 0
41
Función logarítmica como función inversa de la
función exponencial
Función exponencial y ax
D f
R f (0, ?)
a0 1
Loga(1) 0
Función logarítmica y loga(x)
D f (0, ?)
Bisectriz y x
R f
42
Función logarítmica
y log2(x)
y ln(x)
y log(x)
43
Función logarítmica
y log01(x)
y log1/e(x)
y log05(x)
44
Ejemplos de aplicación de la función logarítmica
A. Ley de Fechner logI2 - logI1 2(logP2 -
logP1) Unidad de medida BEL (divisor
DECIBEL) Pi Potencia sonora Ii
Intensidad de sonido (unidad de medida FON) B.
Escala de Richter M LogA C A Amplitud de
las ondas superficiales C 33 166LogD -
LogT T Período de las ondas registradas en el
sismógrafo D Distancia (en grados) desde el
sismógrafo al epicentro
45
Funciones trigonométricas
46
y cos(x)
y sen(x)
D f
R f -1, 1
D f
R f -1, 1
47
La función y sen(x) es periódica
Período 2? ? sen(x 2?) sen(x)
48
La función y cos(x) es periódica
Período 2? ? cos(x 2?) cos(x)
49
y tg(x) función periódica
D f - (2k1)?/2 k?Z
Asíntotas verticales
Período ? ? tg(x ?) tg(x)
R f
50
Algunas correspondencias inversas de las
funciones trigonométricas
RAMA PRINCIPAL
RAMA PRINCIPAL
RAMA PRINCIPAL
y arc sen(x)
y arc cos(x)
y arc tg (x)
51
Ejemplos de aplicaciones de funciones
trigonométricas
A. Intensidad de corriente alterna i
imsen(?t f) B. Movimiento vibratorio armónico
simple x asen(?t f) C. Desarrollos de
Fourier
52
FIN DEL ESTUDIO GENERAL SOBRE FUNCIONES REALES