Capitulo I

1
Matemáticas II

• Capitulo I
• Funciones
• Capitulo II
• Integrales
• Capitulo III
• Ecuaciones diferenciales
• Capitulo IV
• Método para resolver una ecuación diferencial

2
Capitulo I
Funciones 1.1 Exponenciales y Logarítmicas 1.2
Diferenciación de una Función Exponencial 1.3
Diferenciación de una Función Logarítmica
1.3.1 Diferenciación Logarítmica
3
Capitulo II
Integrales 2.1 Integral Indefinida 2.2
Integración de Funciones Trigonométricas 2.3
Teorema Fundamental del Cálculo 2.4 Método de
Sustitución 2.4.1 Sustitución para
integrales definidas 2.5 Integración por partes
4
Capitulo III
Ecuaciones Diferenciales 3.1 Introducción 3.2
Solución de una Ecuación Diferencial 3.2.1
Comprobación de la solución de una ED 3.3
Obtención de una Ecuación Diferencial a partir de
la solución general.
5
Capitulo IV
Métodos Para Resolver una ED 4.1 Introducción
4.1.1 Objetivo de los métodos para la
obtención de la solución general. 4.2
Ecuaciones de Variables Separables 4.3
Ecuaciones Homogéneas 4.4 Ecuaciones Exactas
6
Bibliografía
Cálculo con Geometría Analítica R. E. Larson y
R. P. Hostetler Mc. Graw-Hill, 2000
Cálculo con Geometría L. Leiithold Harla,
1992 Cálculo, Concepto y Contextos J.
Stewart Internacional Thompson, 1999
7
Bibliografía
Ecuaciones Diferenciales E. D. Rainville Nueva
Editorial Interamericana, 1987
Cálculo Frnakes Ayres Jr., Elliot
Mendelson Mc. Graw-Hill, 2001 Matemáticas
Superiores para Ingeniería C. Ray Wyle Mc.
Graw-Hill, 1994
8
Capítulo I Funciones
9
Funciones
Definición La función denota una regla que
asigna a cada elemento de x del conjunto A,
exactamente un elemento, denotados por f(x) del
conjunto B.
f Función A y B Conjuntos
10
Funciones

• Considerando que los conjuntos A y B son
  conjuntos de números reales
• Dominio es el conjunto A de la función, denotado
  por D(f).
• Rango es el conjunto de todos los valores
  posibles f(x) conforme varía en todo el dominio
  A.
• El número f(x) es el valor de f en x.

11
Funciones
12
Funciones

• Ejemplo
• Encuentre el dominio y rango de cada función
• f(x)2x-1
• g(x)x2

13
Funciones

• Solución
• La ecuación de la gráfica es y2x-1, la cual es
  la ecuación de una recta con pendiente y ordenada
  en el origen de -1. La expresión esta definida
  por todos los números reales, de manera que
  D(f)R y su rango es también R(f)R.

14
Funciones

• Solución
• La ecuación de la gráfica g(x)x2, la cual
  representa una parábola. La función g esta
  definida para cualquier número real, así D(g)R y
  su rango es positivo.

15
I.1 Exponencial y Logarítmica
Funciones Potencia Funciones donde la base es
una variable y la potencia es una constante,
tiene la siguiente forma Ejemplos
16
I.1 Exponencial y Logarítmica
Función Exponencial Función donde la base es una
constante y la potencia es una variable, es la
función exponencial de base a, tiene la siguiente
forma Ejemplos
17
I.1 Exponencial y Logarítmica

• Propiedades de la Función Exponencial
• Siendo
• 4.
• 5.
• 6.

18
I.1 Exponencial y Logarítmica
En cálculo se decide trabajar como base el número
irracional e que tiene un valor aproximado de
2.718281828. Definición La función exponencial
para cualquier x ? R se define como Cuenta con
las mismas propiedades que cualquier función
exponencial de base a.
19
I.1 Exponencial y Logarítmica
Gráfica de la Función Exponencial base e
20
I.1 Exponencial y Logarítmica
Función Logarítmica Para agt0 y a?1 y xgt0
denotamos la función logaritmo de base a por
logax, y se define como Si xgt0 entonces
logax es el exponente al que debe elevarse la
base a para dar x.
21
I.1 Exponencial y Logarítmica
Las funciones exponenciales y logarítmicas son
funciones inversas una de otra, como se puede ver
en los siguientes ejemplos
Forma Logarítmica Forma Exponencial
log283 238
loga10 a01
log10 0.1-1 10-10.1
log10 10003 1031000
22
I.1 Exponencial y Logarítmica
Propiedades de la Función Logarítmica Siendo a,
b ? 1 y x, y gt0 se tienen las siguientes
características 1. 2. 3. 4.
5. 6. 7.
23
I.1 Exponencial y Logarítmica
Logaritmo Natural Es la función para un xgt0 se
define como la función logaritmo cuya base es el
número e y se denota por Esta función goza
de las mismas características que la función
logarítmica de base a, dados x, y gt 0.
24
I.1 Exponencial y Logarítmica
Función de Logaritmo Natural
25
I.1 Exponencial y Logarítmica

• Propiedades como Funciones Inversas
• Si a gt 0 y a ? 1 se tiene
• Si a e se tiene

26
I.1 Exponencial y Logarítmica
Ejemplo Desarrolla las siguientes expresiones
27
I.1 Exponencial y Logarítmica
Solución 1. Aplicando la propiedad 4 de
logaritmos
28
I.1 Exponencial y Logarítmica
Solución 2. Aplicando la propiedad 5 de
logaritmo natural
29
I.1 Exponencial y Logarítmica
Solución 3. Aplicando la propiedad 3 y 4 de
logaritmos
30
I.1 Exponencial y Logarítmica
Solución 4. Aplicando la propiedad 3, 4 y 5 de
logaritmo natural
31
I.1 Exponencial y Logarítmica
Ejercicios para Resolver en Clase 1. Escribir
cada ecuación logarítmica mediante exponencial y
viceversa a) ln8.4 2.128 b) 491/2 7
2. Desarrolla cada una de las siguientes
ecuaciones a) log2x2y b) ln(z-1)2
32
I.1 Exponencial y Logarítmica
Ejercicios de Tarea 1. Desarrolla la siguiente
expresión 2. Despejar x de las siguientes
expresión a) b) c)
33
I.2 Diferenciación de la Función Exponencial
Funciones de Base Arbitraria Para agt0 y a?1 y
uu(x) una función diferencial en x donde x?R
entonces la derivada de ax es y para la
derivada de au es
34
I.2 Diferenciación de la Función Exponencial

• Ejemplo
• 1. Derivar las siguientes funciones
• y2x (b) y2senx
• Solución
• (a) (b)

35
I.2 Diferenciación de la Función Exponencial
Funciones de Base e Para agt0 y a?1 y uu(x) una
función diferencial en x donde x?R entonces la
derivada de ex es y para la derivada de eu
es
36
I.2 Diferenciación de la Función Exponencial
Ejercicios para Realizar en Clase 1.Calcular
las derivadas de las siguientes expresiones
a) ye3x1 b) y(ex1)2 c) ye3x
d) yetan3x
37
I.2 Diferenciación de la Función Exponencial
Ejercicios de Tarea 1.Calcular las derivadas
de las siguientes expresiones a) ya5x-1
b) yx2ex c) ye5x
38
I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica
Derivación con Base Arbitraria Si agt0, a?1 y
uu(x), es una función diferenciable de x, donde
xgt0, entonces la derivada de logax es y la
derivada de logau es
39
I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica

• Ejemplo
• Derivar las siguientes funciones
• ylog10cosx (b) ylog5(2senx)
• Solución
• (a) (b)

40
I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica
Derivación con Base e Si agt0, a?1 y uu(x), es
una función diferenciable de x, donde xgt0,
entonces la derivada de lnx es y la derivada
de lnu es
41
I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica

• Ejemplo
• Derivar las siguientes funciones
• (a) (b)
• Solución
• (a) (b)

42
I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica
Ejercicios para Resolver en Clase 1.Derivar
las siguientes funciones a)
b) c)
43
I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica
Ejercicios de Tarea 1.Derivar las siguientes
funciones a) b)
44
I.3.1 Diferenciación Logarítmica
El cálculo de derivadas de funciones complicadas
que comprenden productos, cocientes o potencias
se puede simplificar tomando logaritmos. Método
de la Derivación Logarítmica 1. Tome logaritmos
naturales en ambos miembros de una ecuación
yf(x) y aplique la propiedad de los logaritmos
para simplificar. 2. Derive con respecto a x. 3.
Resuelva la ecuación resultante para y.
45
I.3.1 Diferenciación Logarítmica
Ejemplo 1. Derivar las siguiente
ecuación Solución
46
I.3.1 Diferenciación Logarítmica
Ejercicios para Resolver en Clases 1.
Aplique la derivación logarítmica para hallar la
derivada de las siguientes funciones a) b)
47
I.3.1 Diferenciación Logarítmica
Ejercicios de Tarea 1. Aplique la derivación
logarítmica para hallar la derivada de las
siguientes funciones a) b)
48
Capítulo II Integrales
49
ii.1 Integral Indefinida
Definición Una función F se dice que es una
primitiva o antiderivada de f en un intervalo I
si F(x)f(x) para todo x ? I. Ejemplo Se
necesita encontrar una función F que su derivada
sea f(x)4x3, por los conocimientos en
diferenciación se diría que Por lo tanto F es
una primitiva de f.
50
ii.1 Integral Indefinida
Familia de Primitivas Si F es una primitiva de
f en un intervalo I, entonces G es una primitiva
de f en I si y solo si G es de la
forma Ejemplo Sabemos que la función F(x)x4
es una primitiva de f(x)4x3 así que las
siguientes funciones G1(x)x45 G2(x)x4-123
también son primitivas de f(x).
Es la familia de primitivas de f(x)
51
ii.1 Integral Indefinida
Para denotar la primitiva de una función f se usa
la notación Definición El proceso de calcular
las primitivas de una función f se denomina
integración, así que tenemos lo que significa
que
52
ii.1 Integral Indefinida
Partes de la Integración
53
ii.1 Integral Indefinida
Reglas de la Integración 1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8.
54
ii.1 Integral Indefinida
Reglas de la Integración 9. 10. 11. 12.
13. 14.
55
ii.1 Integral Indefinida
Ejemplo Encuentre las siguientes integrales
indefinidas 1. 2. 3. 4. 5.
56
ii.1 Integral Indefinida
Solución
1.
2.
3.
57
ii.1 Integral Indefinida
Solución
4.
5.
58
ii.1 Integral Indefinida
Ejercicios para resolver en Clase Encuentre las
siguientes integrales indefinidas 1. 2.
3.
59
ii.1 Integral Indefinida
Ejercicios de Tarea Encuentre las siguientes
integrales indefinidas 1. 2. 3.
60
ii.2 Integración de Funciones Trigonométricas
Identidades Fundamentales 1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
61
ii.2 Integración de Funciones Trigonométricas
Con las identidades mencionadas anteriormente se
extienden las fórmulas básicas de
integración 15. 16. 17.
18.
62
ii.2 Integración de Funciones Trigonométricas
Ejemplo Calcular la siguiente
integral Solución
63
ii.2 Integración de Funciones Trigonométricas
Ejercicios para Resolver en Clases 1. Resolver
las siguientes integrales a) b)
c)
64
ii.3 Teorema Fundamental del Cálculo
Entre ambas ramas existe una relación
descubierta independientemente por Isaac Newton y
Gottfried Leibniz, que se denomina Teorema
Fundamental del Cálculo, el cual afirma que la
diferenciación e integración son operaciones
mutuamente inversas.
65
ii.3 Teorema Fundamental del Cálculo
Teorema Fundamental de Cálculo Si f(x) es una
función continua en a, b y F es una primitiva
de f en a, b entonces Para aplicarlo se va
a utilizar la siguiente notación
66
ii.3 Teorema Fundamental del Cálculo
Propiedades de la Integral Definida Sea f(x) una
función integrable en a, b, entonces 1. Si k
es cualquier constante entonces 2. Si g(x) es
una función integrable en a, b, entonces
67
ii.3 Teorema Fundamental del Cálculo
Propiedades de la Integral Definida 3. Sea c ?
a, b, es decir, altcltb. Entonces f es integrable
en a, b, si solo si f es integrable en a, c y
en c, b 4. La integral definida sobre un
punto es cero, esto es
68
ii.3 Teorema Fundamental del Cálculo
Propiedades de la Integral Definida 5. La
integral definida de a a b de f es igual a menos
la integral definida de b a a de f, es decir
69
ii.3 Teorema Fundamental del Cálculo
Ejemplo Resuelva las siguientes
integrales 1. 2.
70
ii.3 Teorema Fundamental del Cálculo
Solución 1. Geométricamente la integración de la
función (1) en el intervalos 1, 2 es el área de
la región sombreada
71
ii.3 Teorema Fundamental del Cálculo
Solución 2. Geométricamente la integración de la
función (2) en el intervalos 1, 4 es el área de
la región sombreada
72
ii.3 Teorema Fundamental del Cálculo
Ejercicios para Resolver en Clase Resolver las
siguientes integrales 1. 2. 3.
73
ii.3 Teorema Fundamental del Cálculo
Ejercicios de Tarea Resolver las siguientes
integrales 1. 2. 3.
74
ii.4 Método de Sustitución
Método de Sustitución Sea g una función cuyo
rango es un intervalo I, y sea f una función
continua en I. Si g es diferenciable en su
dominio y F es una primitiva de f en I,
entonces Si hacemos el cambio de variable
ug(x) entonces dug(x)dx y Este método es
comparable a la regla de la cadena en la
diferenciación.
75
ii.4 Método de Sustitución
Ejemplo 1. Resolver la integral Solución
76
ii.4 Método de Sustitución
Ejercicios para Resolver en Clases 1. Resuelva
las siguientes ecuaciones a) b)
c)
77
ii.4.1 Sustitución para Integrales Definidas
Existen dos métodos para evaluar una integral
definida por sustitución. Uno de ellos es
evaluar primero la integral indefinida y en
seguida aplicar el TFC, por ejemplo
78
ii.4.1 Sustitución para Integrales Definidas
El otro método suele ser el mas adecuado, en este
se cambian los límites de integración cuando se
cambie la variable, como se explica a
continuación Si g es continua sobre el
intervalo a, b y f lo es sobre el rango de
ug(x) entonces
79
ii.4.1 Sustitución para Integrales Definidas
Ejemplo Solución Tomando la sustitución u2x1
tenemos que Hallamos los nuevos límites de
integración
80
ii.4.1 Sustitución para Integrales Definidas
81
ii.4.1 Sustitución para Integrales Definidas
82
ii.4.1 Sustitución para Integrales Definidas
Ejercicios para Resolver en Clase Evaluar las
siguientes integrales 1. 2. 3.
83
ii.4 Método de Sustitución
Ejercicios de Tarea Calcular las siguientes
integrales 1. 2. 3.
84
ii.5 Integración por Partes
Sea f y g funciones diferenciables en un
intervalo I, entonces Se puede utilizar otra
notación, que es más fácil de recordar, la cual
se muestra a continuación
85
ii.5 Integración por Partes
Ejemplo Solución De manera que
86
ii.5 Integración por Partes
87
ii.5 Integración por Partes
Ejemplo Solución De manera que La
integral obtenida es mas sencilla que la inicial
pero aun no es obvia, por lo cual hay que volver
a aplicar la integración por partes.
88
ii.5 Integración por Partes
89
ii.5 Integración por Partes
Ejercicios para Resolver en Clase Resuelva las
siguientes integrales 1. 2. 3. 4.
90
ii.5 Integración por Partes
91
ii.5 Integración por Partes
92
ii.5 Integración por Partes
Ejercicios de Tarea Resuelva las siguientes
integrales 1. 5. 2. 6. 3. 7. 4.

93
Capítulo III Ecuaciones Diferenciales
94
iii.1 Introducción
Definición Una ecuación diferencial (ED) es una
ecuación que involucra derivadas de una función
desconocida de una o varias variables.
Ejemplo Las siguientes expresiones son ejemplos
de EDs
95
iii.1 Introducción
En basa a la definición anterior se tiene
que a) Si la función desconocida depende de
solo una variable la ecuación se llama Ecuación
Diferencial Ordinaria. b) Si la función
desconocida depende de más de una variable la
ecuación se llama Ecuación Diferencial Parcial.
96
iii.1 Introducción
Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse
por su orden y grado. Orden El orden de una
ecuación diferencial es el orden de la derivada
mas alta que aparece en la ecuación. Ejemplo Dete
rminar el orden de las ecuaciones diferenciales
97
iii.1 Introducción
Solución La ecuación diferencial Es de primer
orden dado que la derivada mas alta que figura en
la ecuación diferencial es la primera
derivada. La ecuación diferencial Es de
segundo orden dado que la derivada más alta que
figura en la ecuación diferencial es la de la
segunda derivada.
98
iii.1 Introducción
Ejercicios para resolver en clase Determinar el
orden de las siguientes ecuaciones a) b)
99
iii.1 Introducción
Grado El grado de una ecuación diferencial es el
grado algebraico de su derivada de mayor orden,
es decir, el grado de una ecuación diferencial es
la potencia a la que esta elevada la deriva que
nos dio el orden de la ecuación
diferencial. Ejemplo El grado de la ecuación
diferencial es de tercer grado, dado que la
primera derivada está elevada cubo.
100
iii.1 Introducción
Ejercicios para resolver en clase Determinar el
grado de las siguientes ecuaciones a) b)
101
iii.1 Introducción
Nota cuando alguna derivada este dentro de un
radical o en polinomio, el cual este elevado a
una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar
dicho radical para después determinar el grado de
la ecuación diferencial.
102
iii.1 Introducción
Ejercicios para resolver en clases Determinar el
orden y grado de las siguientes ecuaciones
diferenciales a) b)
103
iii.1 Introducción
Ejercicios para resolver en clases Determinar el
orden y grado de las siguientes ecuaciones
diferenciales a) b)
104
iii.1 Introducción
Ejercicios de Tarea Determinar el orden y grado
de las siguientes ecuaciones diferenciales a)
b) c) d)
105
iii.2 Solución de una ED
Una solución de una ED es cualquier función que
satisface la ED, este es, la reduce a una
identidad. Ejemplo La función definida por
es una solución de la ecuación
diferencial puesto que y al sustituir
en la ED se obtiene una identidad
106
iii.2 Solución de una ED
Una solución particular de una ED es toda
solución obtenida asignando valores específicos a
las constantes que intervienen en la solución
general. Ejemplo Verificar que yCx3 es solución
de la ecuación diferencial Hallar la solución
particular sujeta a la condición inicial
107
iii.2 Solución de una ED
Solución Derivando yCx3 tenemos que y3Cx2,
luego, sustituyendo en la ED de esta manera
yCx3 es solución de la ED. Para obtener la
solución particular, apliquemos la condición
inicial y(-3)2 en la solución general esto
es La solución particular es
108
iii.2.1 Comprobación de la Solución de una ED

• Para comprobar que una ecuación es o no la
  solución de una ecuación dada, se aplica el
  siguiente método
• Método
• Observemos que derivada o derivadas aparecen en
  la ecuación diferencial.
• Estas derivas las encontramos al derivar la
  ecuación que se supone solución.
• La ecuación será solución cuando al sustituir el
  valor de las derivadas encontradas (paso 2)
  dentro de la ecuación diferencial, aparezca una
  identidad aa (donde a?R) al reducir la ecuación
  ya sustituida.

109
iii.2.1 Comprobación de la Solución de una ED

• Ejemplo
• Comprobar que la yx2C no es solución de la
  ecuación diferencial
• Solución
• Observando la ecuación diferencial vemos que
  aparece una derivada por lo tanto, encontramos su
  valor derivando la supuesta solución.
• Derivando yx2C tenemos

110
iii.2.1 Comprobación de la Solución de una ED

• Solución
• Sustituyendo el valor de la derivada encontrada
  en la ecuación diferencial tenemos
• Por lo tanto yx2C si es solución de la
  ecuación diferencial

111
iii.2.1 Comprobación de la Solución de una ED
Ejercicios para resolver en clase Determine si
cada ecuación es solución o no de la ecuación
diferencial dada 1. 2. 3.
112
iii.2.1 Comprobación de la Solución de una ED
Ejercicios de tarea Determine si cada ecuación es
solución o no de la ecuación diferencial
dada 1. 2. 3.
113
iii.3 Obtención de la ED a partir de la Solución
general

• Para obtener la ED a partir de su solución
  general, aplicaremos el siguiente método
• Observemos el número de constantes de integración
  que aparecen en la solución general dada.
• Derivemos la solución general tantas veces como
  el número de constantes de integración aparezcan
  en ella. En otras palabra, si la solución general
  tienen n constantes de integración diferentes,
  entonces derivaremos n veces tal solución.

114
iii.3 Obtención de la ED a partir de la Solución
general

• Tomando en cuenta el resultado de la última
  derivada obtenida, se nos pueden presentar los
  siguientes casos
• Si en la última derivada ya no aparecen
  constantes de integración, esta será la ED que de
  la solución general dada.
• Si la última derivada contiene constantes de
  integración, habrá que eliminarlas, pudiendo
  utilizar para esto, las ecuaciones de las
  derivadas encontradas, asó como también la
  solución general dada. En la ED NO deben aparecer
  constantes de integración.

115
iii.3 Obtención de la ED a partir de la Solución
general
Ejemplo Encuentre la ED cuya solución general es
yx2C Solución Observemos que sólo aparece una
constante de integración, de manera que derivamos
una sola vez la solución general yx2C.
Así Como en esta derivada no aparecen
constantes de integración, quiere decir que esta
es la ED de la solución general presentada al
inicio.
116
iii.3 Obtención de la ED a partir de la Solución
general
Ejemplo Encuentre la ED cuya solución general es
yCx2 Solución Observemos que sólo aparece una
constante de integración, de manera que derivamos
una sola vez la solución general yCx2. Así Se
va a despejar C de la solución general y se
sustituye el valor encontrado en la ED.
117
iii.3 Obtención de la ED a partir de la Solución
general
Solución Por lo tanto Es la ED de la solución
general puesto que ya no aparecen constantes de
integración.
118
iii.3 Obtención de la ED a partir de la Solución
general
Ejercicios para resolver en clase Encuentre la ED
de las siguientes soluciones generales 1. 2.
119
iii.3 Obtención de la ED a partir de la Solución
general
Ejercicios de tarea Encuentre la ED de las
siguientes soluciones generales 1. 2.