Funciones

1
Funciones
2
Definición de función
3
El rango de una función
4
Funciones reales de una variable real
Una función real de una variable real es una
función cuyo dominio es un subconjunto de los
números reales y su contradominio son los números
reales. Su rango es también un subconjunto de los
reales.
5
Operaciones con funciones Suma y diferencia
6
Operaciones con funciones Producto
7
Operaciones con funciones El cociente
8
Operaciones con funciones La composición
9
La gráfica de una función
10
Límites
11
El concepto de límite
El concepto de límite describe el
comportamiento de una función cuando su argumento
se acerca a algún punto o se vuelve
extremadamente grande
12
El concepto de límite
13
El concepto de límite
14
Límite. Ejemplo1
15
Límite. Ejemplo1
16
Límite. Ejemplo1
17
Límite. Ejemplo1
13
18
Límite. Ejemplo1
19
Límite. Ejemplo 1
20
Límite. Ejemplo 2
21
Límite. Ejemplo 2
22
Límite. Ejemplo 2
23
Límite. Ejemplo 2
24
Límite. Ejemplo 3
25
Límite. Ejemplo 3
26
Límite. Ejemplo 3
27
Límite. Ejemplo 4
28
Límite. Ejemplo 4
29
Límite. Ejemplo 4
30
Límite. Ejemplo 5
31
Límite. Ejemplo 5
32
Límite. Ejemplo 5
33
Límite. Ejemplo 5
34
El límite por la izquierda
35
El límite por la derecha
36
El límite por la derecha y por la izquierda
Ejemplo
37
El límite por la derecha y por la izquierda
Ejemplo
38
El límite por la derecha y por la izquierda
Ejemplo
39
El límite por la derecha y por la izquierda
40
Límite. Ejemplo1
En todo el dominio, el límite por la derecha y el
límite por la izquierda son iguales
41
Límite. Ejemplo 2
En todo el dominio, el límite por la derecha y el
límite por la izquierda son iguales
42
Límite. Ejemplo 3
En todo el dominio, excepto en 5, el límite por
la derecha y el límite por la izquierda son
iguales. En 5 son 25 y 11 respectivamente
43
Límite. Ejemplo 4
En todo el dominio, excepto en 0, el límite por
la derecha y el límite por la izquierda son
iguales. En 0 son 8 y -8 respectivamente
44
Propiedades de los límites
45
Propiedades de los límites
46
Propiedades de los límites
47
Funciones continuas
48
Funciones continuas
De manera intuitiva podemos decir que una función
es continua cuando pequeños cambios en la
variable independiente generan pequeños cambios
en la variable dependiente. De manera imprecisa
podemos decir que son aquellas funciones que se
dibujan sin separar el lápiz del papel
49
Funciones continuas
50
Funciones continuas. Ejemplo 1
Esta función es continua
51
Funciones continuas. Ejemplo 2

• Es discontinua en x-2
• Es continua en todos los otros puntos del dominio

52
Funciones continuas
53
La derivada
54
El cambio, motor fundamental del Universo

• La velocidad Como cambia la posición con el
  tiempo
• La potencia Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza Cómo cambia la energía potencial con
  la posición
• La inflación Como cambian los precios con el
  tiempo
• El cancer Cómo crecen los tumores con el tiempo
• Ecología Cómo evoluciona un ecosistema con el
  tiempo
• Las revoluciones Son sistemas dinámicos
  ultracomplejos?

55
El cambio, motor fundamental del Universo
Las funciones describen la evolución de las
variables dinámicas de los sistemas
56
Cómo cambian las funciones?
x f(x)
0 20
1 24
-1 22
2 34
-2 30
3 50
-3 44
57
Cómo cambian las funciones?
58
Cómo cambian las funciones?

• Cómo cambia la función?
• Cuando va de 0 a 1 crece en 4
• Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)
• Cuando va de 1 a 2 crece en 10
• Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece)

59
Cómo cambian las funciones?
60
Cómo cambian las funciones?

• Cómo cambia la función?
• Cuando va de 0 a 2 crece en 14
• Cuando va de -2 a 0 crece en -10 (decrece)

61
Cómo cambian las funciones?
62
Cómo cambian las funciones?
63
Cómo cambian las funciones?
64
Cómo cambian las funciones?
La recta azul es la secante a la curva
65
Cómo cambian las funciones?
La recta azul es la tangente a la curva
66
Cómo cambian las funciones?
La recta azul es la tangente a la curva

• La pendiente de la tangente nos dice
• La rapidez con que la función está
• cambiando en ese punto

67
Cómo cambian las funciones?
68
Cómo cambian las funciones?
La recta azul es la tangente a la curva
69
Definición de la derivada
70
Concepto de derivada
71
Concepto de derivada
72
Concepto de derivada
73
Concepto de derivada
74
La derivada. Ejemplo 1
75
La derivada. Ejemplo 1
76
La derivada. Ejemplo 1
La derivada es cero, La función no cambia
77
La derivada. Ejemplo 1
78
La derivada. Ejemplo 2
79
La derivada. Ejemplo 2
80
La derivada. Ejemplo 2
81
La derivada. Ejemplo 2
82
La derivada. Ejemplo 2
83
La derivada. Ejemplo 3
Una parábola
84
La derivada. Ejemplo 3
85
La derivada. Ejemplo 3
86
La derivada Diversas formas de escribirla
87
Algunas derivadas
88
Tabla de derivadas
http//en.wikipedia.org/wiki/Table_of_derivatives
89
Notación
90
Cálculo integral
91
La integral indefinida
92
La integral indefinida
93
La integral indefinida de una función
identicamente cero
94
La integral indefinida de una constante
95
La integral indefinida de la función identidad
96
La integral indefinida de una potencia de x
97
La integral indefinida de 1/x
98
La integral indefinida de las funciones
trigonométricas
99
La integral indefinida de la función exponencial
100
La integral de una combinación lineal es la
combinación lineal de las integrales
101
Integrales indefinidas
102
Integrales indefinidas
103
Integrales indefinidas Cambio de variable
104
La integral definida
105
Gráfica de una función de R en R
106
La integral definida
107
La integral definida
108
La integral definida
109
La integral definida
Esta área
110
La integral definida
Esta área
La integral de a a b de la función f, es el área
bajo la curva de la gráfica de la función entre a
y b
111
La integral definida
112
La integral definida
113
La integral definida
114
La integral definida
115
La integral definida
116
La integral definida
117
La integral definida
118
La integral definida
119
La integral definida
120
La integral definida
121
La integral definida
122
La integral definida
123
La integral definida
124
La integral definida
125
La integral definida
126
La integral definida Propiedades
127
La integral definida Propiedades
128
La integral definida Propiedades
129
La integral definida Propiedades
130
La integral definida. Ejemplo 1
131
La integral definida. Ejemplo 2
132
La integral definida. Ejemplo 2
133
La integral definida. Ejemplo 3
134
La integral definida. Ejemplo 3
135
El teorema fundamental del cálculo
136
El teorema fundamental del cálculo
137
El teorema fundamental del cálculo
138
El teorema fundamental del cálculo
139
El teorema fundamental del cálculo