Estudio y representaci

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Estudio y representación de funciones

• Matemáticas 4 ESO

2
Introducción histórica

• Descartes y Fermat estudiaron en profundidad las
  curvas y sus ecuaciones, pero las habían tratado
  como casos individualizados. A partir de ellos,
  muchos matemáticos a lo largo del siglo XVII se
  esforzaron en el estudio de las curvas, pero
  ninguno dio con los elementos que permitían
  establecer un método general. Newton y Leibniz lo
  proporcionaron, e introdujeron un tipo de
  técnicas que permitían estudiar con las mismas
  herramientas los problemas de física y geometría.
  Sus avances en el cálculo diferencial e integral
  posibilitaron un desarrollo de las matemáticas
  espectacular, cuyo resultado se apreció
  posteriormente durante los siglos XVIII y XIX.
• Desde el punto de vista del desarrollo de las
  matemáticas, les corresponde a estos dos autores
  la elaboración de un método general y nuevo, que
  puede aplicarse a muchos tipos de problemas sobre
  el cálculo algebraico, el infinitesimal y, en
  general, a toda la geometría analítica. El
  concepto de función se hizo el eje central de la
  matemática, sobre todo en el análisis. Su estudio
  se hizo totalmente indispensable para llevar
  adelante el desarrollo científico y tecnológico.
• El nombre de función proviene del gran
  matemático Leibniz, y su estudio más profundo
  sobre funciones fue estimulado por su interés
  geométrico de analizar, matemáticamente, los
  puntos de las curvas donde éstas alcanzan su
  máximo y su mínimo valor y dar un método general
  para determinar las rectas tangentes es estos
  puntos. Estos cálculos se realizan mediante el
  cálculo de las funciones derivadas y forman parte
  importante del cálculo diferencial, que se
  estudia más adelante.

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Introducción histórica

• Newton y Leibniz, los dos grandes científicos de
  finales del siglo XVII y principios del XVIII,
  vivieron en una Europa caracterizada por la
  revolución del realismo científico y la explosión
  cultural del Barroco.
• Newton, en su obra Methodus fluxionum et
  serierum infiniturum, introduce su nueva
  concepción de fluxiones y fluentes al abordar dos
  problemas el primero consiste en encontrar la
  velocidad del movimiento en un tiempo dado
  cualquiera, dada la longitud del espacio
  descrito. El segundo problema es la inversa del
  primero.
• Disponiendo de su método general, determina los
  máximos y mínimos de relaciones, las tangentes a
  curvas, el radio de curvatura, los puntos de
  inflexión y el cambio de concavidad de las
  curvas, su área y su longitud.

Isaac Newton (1642-1727)
Gottfried Leibniz (1646-1716)
4
DesarrolloDefinición, dominio y recorrido

• Definición de función
• Una función f es una relación entre dos
  conjuntos A y B, de manera que a cada valor del
  primero, A le hace corresponder un único valor
  del segundo, B.
• f A?B
• x?f(x)
• Dominio de la función
• Es el conjunto de valores que puede tomar la
  variable independiente x.
• Recorrido
• Es el conjunto de valores que toma la función.

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DesarrolloDefinición, dominio y recorrido

• EJERCICIOS PARA CLASE
• C1. Cuál de estas gráficas son funciones?

6
DesarrolloCaracterísticas del comportamiento de
las funciones

• Raíces. Puntos de corte con los ejes.
• El eje de abscisas es la recta de ecuación y0.
• Para hallar los puntos de corte de una función
  yf(x) con el eje de abscisas, basta resolver la
  ecuación f(x)0. Estos puntos se denominan
  también raíces.
• El eje de ordenadas es la recta de ecuación x0.
• El punto de corte de una función con el eje de
  ordenadas, si existe, es (0,f(0)), ya que cada x
  puede tener, a lo sumo, una imagen f(x), el corte
  con el eje OY es, a lo sumo, uno.
• Monotonía.
• f(x) es creciente en un punto xa ?
  f(a-h)f(a)f(ah)
• f(x) es creciente en un intervalo (X1, X2) cuando
  lo es para todo x entre X1 y X2.
• f(x) es decreciente en un punto xa ? f(a-h)f(a)
  f(ah)
• f(x) es decreciente en un intervalo (X1, X2)
  cuando lo es para todo x de él.

7
DesarrolloCaracterísticas del comportamiento de
las funciones

• Máximos y mínimos.
• f(x) tiene un máximo en un punto xa ? f(a-h)
  f(a) f(ah)
• f(x) tiene un mínimo en un punto xa ? f(a-h)
  f(a)f(ah)
• Continuidad. Discontinuidad.
• Una función f es continua cuando puede dibujarse
  sin levantar el lápiz del papel.
• Cada vez que sea necesario levantarlo para seguir
  dibujando se produce una
• discontinuidad.
• En todos los puntos en los que f no está definida
  se produce una discontinuidad, un
• salto de su gráfica.

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DesarrolloCaracterísticas del comportamiento de
las funciones

• Funciones escalonadas.
• Son funciones definidas a trozos, constantes en
  cada trozo y discontinuas en los puntos de
  división de los intervalos.
• Simetrías pares e impares.
• Una función es par si f(x)f(-x) para todo x de
  su dominio.
• Las funciones pares son simétricas respecto del
  eje OY.
• Una función es impar si f(x)-f(-x) para todo x
  de su dominio.
• Las funciones impares son simétricas respecto
  del origen de coordenadas.

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DesarrolloCaracterísticas del comportamiento de
las funciones

• Periodicidad.
• Una función es periódica si hay algún número k
  tal que f(xk)f(x) para todo x. Esto significa
  que su gráfica se repite cada k unidades. El
  menor de los valores de k que cumpla esa
  condición es el periodo de la función.
• Asíntotas.
• Las asíntotas son rectas hacia las cuales tiende
  a pegarse la gráfica de la función esto es, la
  curva correspondiente a la función se acerca cada
  vez más a una recta. Pueden ser verticales,
  horizontales y oblicuas.
• Las funciones de la forma P(x)/Q(x), pueden
  tener asíntotas verticales en aquellos puntos que
  anulen el denominador (Q(x)0).

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DesarrolloFunciones polinómicas

• Funciones polinómicas
• Constantes f(x)a
• Se representa mediante una recta horizontal.
• Lineales f(x)mxn
• Se representan mediante una recta de pendiente m
  que pasa por el punto (0,n).
• A la función lineal también se le llama función
  afín.
• Cuadráticas f(x)ax²bxc, a?0
• Se representan mediante parábolas.
• Sus ejes son paralelos al eje Y.
• Su vértice es X0-b/2a.
• Su forma depende del valor de a Si agt0, las
  ramas van hacia arriba.
• Si alt0, las ramas van hacia abajo.
• De proporcionalidad directa f(x)kx
• k indica la razón de proporcionalidad.
• Su gráfica es la de una recta que pasa por el
  origen.
• Otras f(x)
• El dominio de existencia de las funciones
  polinómicas es ?.

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DesarrolloFunciones polinómicas

• Representa gráficamente la función y-x²3,
  estudia su dominio y
• comportamiento.

Dominio ? (por ser un polinomio) Vértice
0 y03 (0,3) Corte con los ejes Si x0 y3
(0,3) Si y0 (v6,0),(-v6,0) Monotonía -
Creciente (-8,0) - Decreciente (0, 8) Extremos
relativos -Máximo (0,3) -No tiene mínimo. Es
una función continua. Tiene simetría par
f(x)f(-x)
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DesarrolloFunciones polinómicas

• EJERCICIOS PARA CLASE
• C2. Representa gráficamente las siguientes
  funciones y estudia su comportamiento
• a) y-2x7, x ? (1,4
• b) yx²-6x5
• c) yx²-4, x ? (-8,2) U (2,8)
• C3. Una persona duda entre comprarse un coche de
  gasolina o uno de gasóleo. El primero consume,
  cada 100 km. 12 l. de gasolina a 0,69 /l. El
  segundo consume, cada 100 km. 7 l. de gasóleo a
  0,42 /l. y cuesta 3005 más que el otro modelo.
• Haz un estudio del gasto total según los
  kilómetros recorridos y averigua a partir de qué
  kilometraje resulta más rentable uno que el otro.

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DesarrolloFunciones polinómicas

• EJERCICIOS PARA CASA
• K1. Representa las siguientes funciones y estudia
  su comportamiento
• a) y x4
• b) yx²-5x4
• c) y-2x²10x-8
• K2. La altura de un objeto que es lanzado hacia
  arriba viene dada por la función h(t)vt- gt²,
  donde v es la velocidad con la que es lanzado, t
  el tiempo transcurrido y g la aceleración de la
  gravedad. Si lanzamos hacia arriba una pelota de
  tenis a 24,5 m/s
• a) Qué altura tiene a los 2 segundos?
• b) Cuándo vuelve a pasar por la misma altura
  que en el apartado anterior?
• c) Cuál es la altura máxima que alcanza?
• d) Cuántos segundos tarda en regresar al suelo?
• e) Representa su gráfica y, a partir de ella,
  indica su dominio y recorrido.

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DesarrolloFunciones racionales

• Funciones racionales
• Son de la forma P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son
  polinomios. La gráfica es una línea continua en
  los intervalos determinados por los puntos que
  anulan el denominador.
• Su dominio de existencia es ? excepto en los
  puntos que anulan al
• denominador Q(x).
• Si el polinomio del numerador P(x) es de grado n,
  tiene a lo sumo n raíces, que
• son los cortes con el eje de abscisas.
• La gráfica es una línea continua en los
  intervalos determinados por los puntos
• que anulan al denominador.
• Si los polinomios P(x) y Q(x) tienen el mismo
  grado, al dar valores muy grandes
• a x la función f(x) se acerca la recta ya/b,
  donde a es el coeficiente principal
• de P(x) y b el de Q(x).

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DesarrolloFunciones racionales

• Representa gráficamente la función y3x²/(x²-1),
  estudia su dominio y
• comportamiento.

Dominio ?-1,-1, ya que x²-10 x²1 xv1
x1 y x-1 Cortes con los ejes x0, y0
(0,0) y0, x0 Monotonía Creciente (-8,0)
Decreciente (0, 8) Extremos
relativos Máximo (0,0) No tiene
mínimo. Es una función discontinua. Tiene una
asíntota vertical en los puntos donde se anula el
denominador, es decir, en x1 y en x-1, ya que
la función tiende hacia infinito en esos puntos.
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DesarrolloFunciones racionales

• EJERCICIOS PARA CLASE
• C4. Representa gráficamente y estudia su
  comportamiento
• a) f(x)1/(2x1)
• b) g(x)2x/(3x1)
• c) h(x)x/(x²-1)
• EJERCICIO PARA CASA (INVESTIGACIÓN)
• K3. Busca información sobre las gráficas de la
  Bruja de Agnesi, invéntate una, represéntala y
  estudia su comportamiento.

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DesarrolloFunciones radicales

• Funciones radicales
• Son de la forma ynvf(x) (raíz n-ésima)
• Su dominio depende del índice de la raíz. Si el
  índice es impar, el dominio será todo
• ?, y si el índice es par, el dominio será
  aquellos valores de x para los cuales, el
• radicando sea positivo.
• Si el índice de la raíz es n, tiene a lo sumo n
  raíces, que son los cortes con el eje de
• abscisas.
• Se representan mediante un línea continua.

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DesarrolloFunciones radicales

• Representa gráficamente la función y3v(x-4),
  estudia su dominio y comportamiento.

Dominio 4,8), ya que x - 4gt0 xgt4 Puntos de
corte con los ejes x0, no existe solución
real. y0, x13 (13,0) Monotonía Creciente
4,8) No tiene extremos relativos. Es una
función continua.
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DesarrolloFunciones radicales

• EJERCICIOS PARA CLASE
• C5. Representa las siguientes funciones y estudia
  su comportamiento.
• a) y ³v(-x)
• b) yv(2-x)
• EJERCICIOS PARA CASA
• K4. Asocia a cada una de estas gráficas una de
  estas ecuaciones
• a) y ³v(x1) b) y-v(4-x) c) y ³v(-x1) d) y
  ³vx 1

20
DesarrolloFunciones a trozos

• Definidas a trozos
• Aquellas definidas por expresiones distintas en
  intervalos distintos.
• Se representan, tramo a tramo, prestando
  atención a su comportamiento en los puntos de
  empalme.

21
DesarrolloFunciones a trozos

• Representa gráficamente la función y 1 si
  x2
• x si xlt2
• estudia su dominio y comportamiento.

Dominio ? Puntos de corte con los ejes x0
y0 y0 x0 Monotonía Creciente
(-8,2 No tiene extremos relativos Discontinua en
x2.
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DesarrolloFunciones a trozos

• EJERCICIOS PARA CLASE
• C6. Representa gráficamente la siguiente función
  y estudia su comportamiento
• a) f(x) 4-x si xlt1
• x4 si xgt5
• b) f(x) x1 si x?-3,0)
• x²-2x1 si x?0,3
• 4 si x?(3,7)
• C7.Una agencia de viajes organiza un crucero por
  el Mediterráneo. El precio del viajes es de 1000
  si reúne entre 30 y 60 pasajeros para un menor
  número de pasajeros el crucero se suspende. Pero
  si supera los 60, hace una rebaja de 10 a cada
  participante por cada nuevo pasajero.
• a) Halla la función que da el precio del crucero
  dependiendo del número de viajeros. Represéntala
  gráficamente.
• b) Calcula la función que da el ingreso total que
  obtiene la agencia organizadora en función del
  número de viajeros. Represéntala gráficamente.

23
DesarrolloFunciones a trozos

• EJERCICIOS PARA CASA
• K5. Representa gráficamente la siguiente función
  y estudia su comportamiento
• f(x) 2x1 si xlt1
• x²-1 si x1
• K6. En esta gráfica se describe la Tª del agua
  que, siendo hielo, se echa en una cazuela y se
  pone al fuego hasta que lleva un rato hirviendo.
• Escribe la expresión analítica de T en función
  del tiempo, t.

24
Desarrollo Algunas transformaciones de funciones

• Simetrías -f(x) y f(-x)
• La función f(x) cambia de signo todos los
  resultados de f(x).
• Las gráficas de f(x) y f(x) son simétricas
  respecto del eje OX.
• La función f(-x) se obtiene sustituyendo x por x
  en la fórmula de f(x).
• Esta función es la simétrica respecto del eje
  OY, de la función f(x).
• f(x) x²-3x1
• - f(x) -x²3x-1
• f(-x) x²-3x1

25
DesarrolloAlgunas transformaciones de funciones

• Valor absoluto f(x)
• La función f(x) cambia de signo los resultados
  negativos de f(x) y deja iguales los resultados
  positivos.
• Su gráfica no puede aparecer por debajo del eje
  OX.
• Si la definimos a trozos, sería
• f(x)x²-3x2
• f(x) x²-3x2 si xlt1 ó xgt2
• -x²3x-2 si 1x2

26
Desarrollo Algunas transformaciones de funciones

• Traslaciones kf(x) y f(xk)
• La función kf(x) suma el número k a los
  resultados de f(x).
• Si k es positivo, la gráfica se desplaza k
  unidades hacia arriba
• si k es negativo, se desplazará k unidades hacia
  abajo.
• La función f(xk) es la misma que f(x), pero
  trasladada k unidades a la izquierda si k es
  positivo y a la derecha si k es negativo.
• f(x)x²-3x1
• 2f(x)x²-3x3
• f(2x)(2x)²-3(2x)1

27
Desarrollo Algunas transformaciones de funciones

• Dilataciones y contracciones f(kx) y kf(x)
• La función f(kx) contrae o dilata la función
  f(x).
• Si kgt1, se contrae si 0ltklt1, se dilata.
• La función kf(x) multiplica por k todos los
  resultados de f(x).
• f(x)x²-3x1 f(x) x²-3x1
• g(x)2f(x)2x²-6x2 g(x)(1/2)x²-(3/2)x1/2
• h(x)f(2x)4x²-6x1 h(x)x²/4-(3/2)x1

28
DesarrolloAlgunas transformaciones de funciones

• EJERCICIO PARA CLASE
• C8. Para la función dada por la gráfica adjunta,
  representa las gráficas de las funciones
• a) f(-x)
• b) f(x)
• c) 2f(x)
• d) f(2x)
• EJERCICIO PARA CASA
• K7. Ésta es la gráfica de la función x²-2x-3.
• Representa, a partir de ella, las funciones
• a) g(x)f(x)3 b) h(x)f(x2)
• c) i(x)-f(x) d) j(x)f(x)

29
Desarrollo Funciones exponenciales

• Funciones exponenciales
• Para comprenderlas mejor, resolvamos la
  siguiente actividad
• Un laboratorio quiere saber en cualquier
  instante el número de bacterias presentes en su
  estudio en función de las horas transcurridas.
  Para ello, en el laboratorio saben que en el
  instante inicial solo tienen una bacteria y que
  ésta se duplica por mitosis en una hora.
  Determina
• a) Cuántas bacterias habrán al cabo de una
  hora?
• b) Y al cabo de 3 horas? Y al cabo de 5
  horas?
• c) Podrías dar la función que expresa el
  número de bacterias que habrán en el laboratorio
  al cabo de x horas?

30
Desarrollo Funciones exponenciales

• La función que expresa el número de bacterias
  presentes en el laboratorio en función de las
  horas transcurridas es f(x) 2x y su
  representación es la siguiente
• Las funciones exponenciales son de la
  forma y ax, siendo agt0 y a?1.
• El dominio de las funciones
  exponenciales es ?.
• Son funciones continuas, y todas pasan
  por el punto (0,1) y el (1,a).
• Si agt1, son funciones crecientes.
• Si 0ltalt1, son decrecientes.
• El eje OX, la recta y0,
• es asíntota horizontal ,
• hacia - 8 si agt1 o
• hacia 8 si 0ltalt1.

31
Desarrollo Funciones exponenciales

• EJERCICIOS PARA CLASE
• C9. Representa la función y(1/2) x . Qué
  relación existe entre dicha función y la función
  y2x?
• C10.Dada la función yax, contesta razonadamente
• a) Puede ser negativa la variable x? Y la
  variable y?
• b) Para qué valores de a es la función
  creciente?
• c) Cuál es el punto por el que pasan todas las
  funciones yax?
• d) Son también exponenciales las funciones de
  la forma yakx? En caso afirmativo, cuál es la
  base de dichas funciones?
• EJERCICIOS PARA CASA
• K8. Representa, en los mismos ejes de
  coordenadas, las funciones y 3x, y3x1 y la
  función y3x-3. Qué observas a partir del
  dibujo?
• K9. De la función exponencial f(x)kax conocemos
  que f(0)5 y f(3)40.
• a) Es la función creciente o decreciente?
• b) Cuánto valen k y a?

32
DesarrolloFunciones logarítmicas

• Funciones logarítmicas
• Son las funciones inversas de las funciones
  exponenciales. Si tenemos la función exponencial
  ya x su función inversa es ylog a x, siendo agt0
  y a?1.
• Su representación es la siguiente
• El dominio de las funciones
  logarítmicas es aquel en el que su
  argumento es gt0.
• Son continuas en su dominio y pasan por
  (1,0) y (a,1).
• Si agt1 son crecientes.
• Si 0ltalt1 son decrecientes.
• El eje OY, la recta x0, es asíntota
  vertical de su curva.

33
Desarrollo Funciones logarítmicas

• EJERCICIOS PARA CLASE
• C11.Cuál es el dominio de la función ylog2
  (2-x)? Representa dicha función.
• C12.En el contrato de trabajo de un empleado
  figura que su sueldo subirá un 6 anual.
• a) Si empieza ganando 10000 euros anuales,
  cuánto ganará dentro de 10 años?
• b) Calcula cuánto tiempo tardará en duplicarse
  su sueldo.
• EJERCICIOS PARA CASA
• K10.Calcula el dominio y representa, en los
  mismos ejes de coordenadas, la función f(x)log 2
  x, y, partir de ella, representa, calculando
  también su dominio, las funciones
• a) g(x)1log 2 x b) h(x)log 2(x-1)
• K11.Dibuja la gráfica de la función ylog 3 x.
  Dibuja después, en los mismos ejes de
  coordenadas, la gráfica de la función ylog 1/3
  x. Qué relación existe entre ambas funciones?

34
Ejercicio de investigación

• V1. Representa la gráfica que indica la hora del
  amanecer para tu ciudad en función del mes del
  año en curso. Para obtener datos entra en
• http//www.tutiempo.net/silvia_larocca/Programas
  /astronomia.htm
• Las coordenadas geográficas de tu ciudad has de
  buscarlas para poder realizar la actividad.

35
DesarrolloFunciones trigonométricas

• Función seno
• La función seno es la función que asigna a cada
  número el valor de su seno, donde la variable
  independiente x es un número real. ƒ(x)sen x
• La representación gráfica de la función seno es
• Las características fundamentales de esta función
  son
• Está definida para todo número real, Dom ?.
• Su recorrido es el intervalo -1, 1.
• Es periódica para p2p, es decir, sen (x)sen
  (x2p).
• Máximos relativos p/2 2kp.
• Mínimos relativos 3p/2 2kp.
• Puntos de corte con el eje OX (y0) p kp.

36
DesarrolloFunciones trigonométricas

• Transformaciones de la función seno.
• Veamos la representación gráfica de algunas de
  las transformaciones de
• ƒ(x)sen x (nos aparece siempre en rojo).
• ƒ (x) sen (-x)
• La función seno es impar porque
• ƒ (-x) -ƒ(x) ? sen (-x) -sen x,
• es simétrica respecto al origen.
• ƒ (x) sen (x-2)
• Traslación del tipo ƒ(xk), es horizontal
• donde k -2, como k es negativo,
• se desplaza ƒ(x), 2 unidades a la
  derecha para tener ƒ(xk).
• ƒ (x) sen 2x
• Contracción del tipo ƒ(kx), en horizontal
  donde k2, como kgt1 hay que contraer ƒ(x)
  para tener ƒ(kx).

37
DesarrolloFunciones trigonométricas

• Función coseno
• La función coseno es la función que asigna a cada
  número el valor de su coseno, donde la variable
  independiente x es un número real.
• Dado que para cualquier número x sabemos que cos
  x sen (x p/2).
• La función ƒ(x)cosx será idéntica a la del seno
  pero desplazada horizontalmente p/2 a la
  izquierda, así la representación gráfica es
• Las características fundamentales de esta
  función se deducen de la del seno
• Está definida para todo número real, Dom ?.
• Su recorrido es el intervalo -1, 1.
• Es periódica para p2p, es decir, cos (x)cos
  (x2p).
• Máximos relativos 2kp.
• Mínimos relativos p 2kp.
• Puntos de corte con el eje OX (y0) p/2 kp.

38
DesarrolloFunciones trigonométricas

• Transformaciones de la función coseno.
• Veamos la representación gráfica de algunas de
  las transformaciones de
• ƒ(x)cos x (nos aparece siempre en azul).
• ƒ (x) cos (-x)
• La función coseno es par
  porque
• ƒ (-x) ƒ(x) ? cos (-x)
  cos x,
• es simétrica respecto al
  eje OY.
• ƒ (x) 1/2 cos (x)
• Contracción del tipo kƒ(x), en
  vertical donde k1/2, como klt1 hay que
  contraer ƒ(x) para tener kƒ(x).

39
DesarrolloFunciones trigonométricas

• Función tangente
• Como ya sabemos
• Como conocemos las funciones de seno y coseno
  podemos sacar la función de la tangente a través
  de su tabla de valores.
• Una vez representada gráficamente, veamos sus
  características fundamentales
• Está definida para todo número real, excepto para
  los que el cos x 0 (denominador de la
  fracción), Dom ? - ?p/2 kp?.
• Su recorrido es el intervalo (-8, 8 ).
• Es periódica para pp, es decir, tg (x)tg(xp).
• Tiene asíntotas verticales para las rectas xp/2
  kp.
• Puntos de corte con el eje OX (y0) p kp y en
  x0.

40
DesarrolloFunciones trigonométricas

• EJERCICIOS PARA CLASE
• C13.Representa gráficamente las siguientes
  funciones y expresa por escrito qué
  transformaciones han sufrido con respecto a las
  funciones originales ysen x e ycos x.
• y -sen (x)
• y cos (x)-2
• EJERCICIOS PARA CASA
• K12.Representa gráficamente las siguientes
  funciones y expresa por escrito qué
  transformaciones han sufrido con respecto a las
  funciones originales ysen x, ycos x e ytg x.
• a) y sen (x-2) b) y sen (3x)
• c) y cos (1/4)x d) y cos (x/2)
• e) y 1 tg x f) y tg (x)-1
• Indica además el dominio, el recorrido y dibuja
  su periodo en la gráfica.

41
Ejercicios propuestos

• P1. Halla el dominio de las siguientes funciones
• v(x²-9) c) -1/(x³-x²)
• 1/v(4-x) d) 2x/(x4 -1)
• P2. Asocia a cada una de estas parábolas una de
  estas ecuaciones
• yx²-2
• y-0,25x²
• y(x3)²
• y-2x²

42
Ejercicios propuestos

• P3. Representa las siguientes funciones y estudia
  su comportamiento.
• y0,5x² c) y2x²-4
• y-x²3 d) y-3x²/2
• P4. Observando las gráficas de estas funciones,
  indica cuál es su dominio de definición y su
  recorrido.
• P5. Representa gráficamente las siguientes
  funciones
• y -2 si xlt0
• x-2 si 0xlt4
• 2 si x4
• y -2x-1 si xlt1
• (3x-15)/2 si x 1

43
Ejercicios propuestos

• P6. Asocia a cada una de las gráficas una de las
  siguientes expresiones analíticas
• y1/x 2
• y1/(x3)
• y1/x -3
• y1/(x-4)
• P7. Esta es la gráfica de la función yf(x)
• Representa a partir de ella las funciones
• yf(x)
• yf(x-1)
• yf(x)2
• y3f(x)

44
Ejercicios propuestos

• P8. Representa y estudia el comportamiento de las
  siguientes funciones
• y -x-1 si x1
• x²-2 si -1ltxlt1
• x-1 si x 1
• y -x²/2 2 si xlt1
• x-3 si x 1
• P9. La factura del gas de una familia, en
  septiembre, ha sido 24,82 euros por 12 m³, y en
  octubre, 43,81 por 42 m³.
• Escribe la función que da el importe de la
  factura según los m³ consumidos y represéntala.
• Cuánto pagarán si consumen 28 m³?
• P10.Los gastos fijos mensuales de una empresa por
  la fabricación de x televisores son G 3000
  25x, en miles de euros, y los ingresos mensuales
  son
• I 50x 0,02x², también en miles de euros.
• Cuántos televisores deben fabricarse para que
  el beneficio (ingresos menos gastos) sea máximo?

45
Ejercicios propuestos

• P11.Una pelota es lanzada verticalmente hacia
  arriba desde lo alto de un edificio. La altura
  que alcanza viene dada por la fórmula h 80
  64t 16t² (t en segundos y h en metros).
• Dibuja la gráfica en el intervalo 0, 5.
• Halla la altura del edificio.
• En qué instante alcanza su máxima altura?
• P12.Representa y estudia el comportamiento de las
  siguientes funciones
• y1/(x1)
• y1/(x-1)
• y-1/x
• y11/x
• P13.Representa y estudia el comportamiento de las
  siguientes funciones
• yv(x-1)
• y-v(x3)
• y2vx
• y1-vx

46
Ejercicios propuestos

• P14.Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 20
  minutos en llegar a su casa, que está a 1 km de
  distancia. Está allí media hora y en el camino de
  vuelta emplea el mismo tiempo que en el de ida.
• Representa la función tiempo-distancia.
• Busca su expresión analítica.
• P15.Representa y define como funciones a
  trozos
• y(x-3)/2
• y3x6
• y(2x-1)/3
• y-x-1
• P16. Calcula el dominio y los puntos de corte con
  los ejes de las siguientes funciones
• a) f(x)log(x3) b) g(x)log(x²3) c)
  h(x)log(-x²x2)
• P17. Halla el dominio de definición de las
  siguientes funciones
• a) f(x)10 x-2 b) g(x)10 1/(x-2 ) c) h(x)10 v
  (x-2)

47
Ejercicios propuestos

• P18.El valor de la motocicleta Honda CBF 600S que
  costaba 7200 deprecia su valor en un 15
  anual.
• Cuánto valdrá al cabo de 6 años?
• Cuántos años han de transcurrir para que su
  valor sea inferior a 3500 ?
• P19.Un fabricante aumenta el precio de sus
  productos según el IPC, que en los diez últimos
  años ha sufrido un crecimiento anual medio del
  6.
• Cuál es el precio actual de un producto que hace
  diez años costaba 120 ?
• Cuánto tiempo tardó el producto en costar el
  doble de lo que valía hace diez años?
• P20.Se dice que en 1626 Peter Minuit compró la
  isla de Manhattan a los indios por 24 . Imagina
  que Minuit hubiera puesto en el banco los 24 al
  6 de interés compuesto. Cuánto dinero tendría
  en 2011? Compara este resultado con el precio
  actual de la isla de Manhattan.

48
Ejercicios propuestos

• P21.Un pueblo creció en forma exponencial de
  10000 habitantes a 28900 habitantes en 2011.
  Suponiendo que continúa este tipo de crecimiento,
  cuál sería la población en 2030?
• P22.Representa con ayuda de la calculadora las
  siguientes funciones
• f(x)e 2x-1
• g(x)log(x²1)
• P23. A partir de la gráfica de ƒ (x) cos x,
  dibuja la gráfica de
• ƒ (x) -2cosx
• ƒ (x) 1cos2x
• ƒ (x) cos(x-p)
• P24.El consumo de energía eléctrica de una
  familia, en kilovatios hora (kWh), viene
• dado por la siguiente función,
  ,
• donde x indica los meses del año (enero1)
• Cuál es el consumo en enero, en julio y en
  octubre?
• En qué mes consume más?Y en cuál menos?

49
Ejercicios propuestos

• P25. Empareja las siguientes funciones con su
  correspondiente gráfica
• a) ƒ (x) 2senx b) g (x) sen2x c) h (x) sen
  (x2)

50
Ejercicios de refuerzo

• R1. Indica cuál de las siguientes gráficas son
  funciones o no
• R2. Define f(x)17-5x una función?, Qué valor
  le asocia a x6?

51
Ejercicios de refuerzo

• R3. Calcula el dominio y el recorrido de las
  funciones
• R4. Indica los intervalos de crecimiento y
  decrecimiento de las siguientes funciones
• R5. Indica los máximos y los mínimos relativos de
  las funciones del ejercicio anterior.

52
Ejercicios de refuerzo

• R6. Representa las rectas
• y6-2x
• 2x-3y12
• x/4y/51
• R7. Encuentra los puntos de corte de las rectas
  del ejercicio anterior con los ejes de
  coordenadas.
• R8. Calcula las coordenadas del punto donde se
  cortan las funciones lineales
• y2x-5 e y1-x.
• R9. Encuentra las coordenadas del vértice de las
  parábolas siguientes
• yx²2x-8 d) y6x²-7x-5
• y-x²7x-10 e) y3x-2x²
• y4x²-4x1 f) yx²2x3
• R10.Indica los puntos de corte con los ejes del
  ejercicio anterior.

53
Examen

• E1.Dos compañías de teléfono, C1 y C2 ofrecen las
  siguientes tarifas
• C1 cobra 24 fijos al mes y 0,6 por minuto
  desde el primer minuto.
• C2 cobra 57 fijos al mes, que le dan derecho a
  40 minutos gratis al mes y, a partir de los
  primeros 40 minutos, cada minuto más lo cobra un
  5 más barato que la otra compañía.
• a) Escribe las expresiones de T 1(t) y T 2(t)
  que dan el precio a pagar en cada una de las
  compañías cuando se usa el teléfono t minutos al
  mes.
• b) Determina cuál es la compañía más ventajosa
  para el usuario, en función de los minutos que se
  use el teléfono al mes.
• E2.Asocia a cada una de las gráficas una de las
  siguientes expresiones analíticas
• y2 g) y 1-x si xlt1
• y-1x/2 x-1 si x1
• yx²-2x-3 h) yx1
• y1/(4x-8) i) y(1/2) x
• yv(x1) j) ysen(p/2x)
• y(x1) 1/3 k) ylog(2x)

54
Examen
55
Examen

• E3.Representa gráficamente la siguiente función y
  estudia su comportamiento
• f(x) 2x1 si xlt1
• x²-1 si x1
• E4. El valor de un coche que costo 25000 euros,
  disminuye cada año el 20 de su valor.a) Dibuja
  la función que representa la evolución del precio
  en relación a los años pasados.b) Cuánto tiempo
  tiene que pasar para que el coche valga la mitad?