TRANSFORMACIONES LINEALES

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UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS
TÓPICOS DE
MATEMÁTICA (E.S.C.)
Ciclo 2007-1
Tema
FUNCIONES BÁSICAS
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• Logros de esta unidad
• Explica el significado de función
• Identifica el dominio de una función
• Grafica funciones básicas (Lineal, Cuadrático,
  Cúbico, Logaritmo, Exponencial)
• Define una función trigonométrica.
• Identifica el periodo, amplitud y desplazamiento
  de la función seno y coseno
• Resuelve ecuaciones de 2do grado, ecuaciones
  eponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

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FUNCIÓN
Una función es una regla o correspondencia que
asigna a cada número de entrada un único número
de salida. Al conjunto de número de entrada se
llama dominio de f y se denota por dom(f). Al
conjunto de números de salida se llama rango de f
y se denota por ran(f)
f
X ?
? f(x)
Entrada Proceso Salida
Ej. f(x)x3 Si x2 tenemos f(2)5
x4 tenemos f(4)7
4
Una variable que representa los números de
entrada para una función se llama variable
independiente. La que representa los números de
salida es una variable dependiente.
Ejemplo
Variable independiente
A(r) ? r2
Variable dependiente
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Dominio no especificado
Considere una función y f(x) x se denomina
variable independiente (toma cualquier valor
del dominio) y se denomina variable dependiente
(porque su valor depende de x)
Si dom(f) no se especifica, entonces, el dom(f)
es el conjunto más grande de valores de x para
los que f(x) existe.
6
Ejemplo
Determine el dominio de
7
Función Lineal Afín
f(x) ax b
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Función Cuadrática
f(x) x2
9
La función exponecial yex y la función
logaritmo natural y ln x
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Definición Si x es cualquier número
real,entonces ln y x si y sólo si
e x y
Teorema Si p y q son números reales y r es un
número racional,entonces i) epeqe pq ii)
iii) (ep)repr
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• ECUACIÓN CUADRÁTICA
• ax2bxc0
• X
• Resolver
• 5x2-2x-70
• (x-2)2(x1)2(x3)2

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Ecuación exponencial, logarítmica
Resolver
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Tópicos de Matemáticas

• Función Seno
• Ecuaciones trigonométricas

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Conceptos previos
Determina la altura de la torre Eiffel, si los
elementos que se conocen son el ángulo de
elevación ? y la longitud de la sombra proyectada
sobre el piso.
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Conceptos previos
Razones trigonométricas  
Hipotenusa
Cateto opuesto
?
Cateto adyacente
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Conceptos previos
Triángulos rectángulos notables
L
L
Ejercicio1 Si ? es un ángulo agudo y cos ? 3/4 ,
calcular los valores de las seis funciones
trigonométricas de ?. Ejercicio 2 Calcular los
valores de las funciones trigonométricas de 30,
45 y 60.
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Conceptos
Circunferencia trigonométrica
La circunferencia trigonométrica es la
circunferencia radio 1 centrado en el origen del
plano XY. Su ecuación es x2y21
1
Observar que se tiene
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De manera general se tiene las funciones
trigonométricas para cualquier segmento OP donde
P(x,y)
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Conceptos
Definición de función Periódica. Una función f
es periódica si existe un número T real positivo,
tal que f(xT)f(x), para todo x del dominio de
f. El mínimo número real positivo T, si existe
se llama periodo de f. 2p es el periodo de las
funciones seno y coseno
20
La gráfica de la función y sen(x), se puede
obtener dándole valores a x desde 0 hasta 2p Su
periodo es 2 p Además sen(-x)-sen(x)
21
La gráfica de la función y cos(x), se puede
obtener dándole valores a x desde 0 hasta 2p Su
periodo es 2 p Además cos(-x)cos(x)
22
La función coseno puede interpretarse como un
desplazamiento de la función seno
sen(x)cos(x-p/2)
23
Cómo varía la gráfica de la función sen x, al
cambiar los valores de los parámetros A , ?gt0
, f?
Donde
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Gráfica de las funciones
Sen(x) 3sen(x) -3sen(x)
25
Gráfica de las funciones sen(x) sen(3x)
26
Gráfica de las funciones sen(x)
sen(x-p/3) sen(x p/3)
27
Gráfica de las funciones sen(x)
3sen(2x-2p/3)
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• A partir de la grafica de la función
  trigonométrica, trace la grafica de la función,
  sin localizar puntos.
• a) y2sen(tp/6)
• b) ycos(t p/3)
• 2. Determine la amplitud y el período de la
  función f(x) 2sen (x/2).
• 3. Determine la amplitud, el período y trazar la
  gráfica de f(x) 2sen (-3xp).

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• Ecuaciones trigonométricas
• Son aquellas ecuaciones que contienen funciones
  trigonométricas.
• Solución
• Son los valores que puede tomar x para la cual la
  ecuación se convierte en una identidad.
• Nota tener en cuenta el signo de las funciones
  trigonométricas en los diferentes cuadrantes.
• Halle las soluciones de la ecuación en el
  intervalo 0, 2 p.
• Cos(x)1/2
• sen(2xp/3)-1
• Sen(t) tan(t)sen(t)

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Combinación lineal de las funciones sen(x) y
cos(x)
Para a y b números reales, agto la función
f(x) a.sen (Bx)b.cos(Bx) Puede escribir en
términos de la forma f(x)
A.cos(Bx-C)
Donde
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Empleando la fórmula desarrollada anteriormente
graficar las funciones