Relaciones y Funciones

1
Relaciones y Funciones
2
Trabajo Práctico Nº 3Relaciones y Funciones

• 1) Sea A 1  2 . Construya el conjunto P(A)
  x A.

Glosario
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
2) a) Dé un ejemplo de conjuntos A  B  C y D
tales que  A ? C y B ? D. Observe que A x B
? C x D. b) Suponiendo que A x B ? C
x D se sigue de esto necesariamente que A ? C
y B ? D ?. Explique.
Ejercicios para Practicar
Glosario
Ejercicio Resuelto
3) Sean A x ? N / 1 ? x ? 5 y B 3  4
5 . Se define R ? A x B mediante (x,y) ?R
? x y ? 5. i) Definir R por extensión.
ii) Representar A x B y R. iii) Determinar
R-1.
Ejercicios para Practicar
Glosario
Ejercicio Resuelto
3
4) Se consideran A 1 2 3 4 5   B 1
4 6 16   C 2 3 8 10 y las relaciones
R ? A x B  S ? B x C, definidas por  (x,y) ?
R ? y x2 y (y,z) ? S ? z
y/2Se pide  i) Determinar R y S por
extensión. ii) Definir la composición S º R ? A
x C por extensión. iii)Determinar los dominios e
imágenes de las tres relaciones.
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
Glosario
5) Analizar si las siguientes relaciones son o no
de equivalencia. R ( -1,-3) (-2,0) (0,0)
(-1,-1) en A -3, -2, -1, 0 S
(2,2)  (2,1)  (3,3)  (1,1)  (3,2)  (0,0)
en B x ? N0 / x ? 3
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
Glosario
6) Sea A un conjunto de libros. Sea R1 una
relación binaria definida en A /(a,b) ? R1 ?
el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que b.
 Es R1 reflexiva ?  simétrica ?  antisimétrica
?  transitiva ?.
Ejercicios para Practicar
Glosario
Ejercicio Resuelto
4
7) Sea R una relación binaria sobre el conjunto
de todas las sucesiones de ceros y unos,
tal que  R (a, b) / a ? b son
sucesiones que tienen el mismo número de ceros.
 Es R reflexiva ?  simétrica ?
 antisimétrica ?  transitiva ?   es
relación de equivalencia ?  es relación de orden
?
Ejercicios para Practicar
Glosario
Ejercicio Resuelto
8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto
de todos los enteros positivos , tal que  R
(a, b) / a - b es un entero positivo impar.
 Es R reflexiva ?  simétrica ?  antisimétrica
?  transitiva ?   es una relación de
equivalencia ?  es una relación de orden ?
Ejercicios para Practicar
Glosario
Ejercicio Resuelto
9) Descubrir la falla del razonamiento en la
siguiente argumentación, que pretende probar que
la reflexividad es una consecuencia de la
simetría y de la transitividad  x R y ? x R y
? y R x ? x R x
Ejercicios para Practicar
Glosario
Ejercicio Resuelto
5
10) a) Determinar si el conjunto P A1 A2
constituye una partición de Z  con
A1 x ? Z  2 ? x y A2 x ? Z  2 ? x
b) Determinar si el conjunto Q constituye
una partición de Z  Q N Z-
Glosario
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
11) Dado el conjunto de conjuntos M A, B,
C, ?, donde A 1, 2, 3, 4  B 1, 3 C
3 Clasificar en M la relación ? .
Ejercicio Resuelto
Ejercicios para Practicar
Glosario
12) Analizar si (N, ?) y (N, ? ) son láttices.
Ejercicios para Practicar
Glosario
Ejercicio Resuelto
13) Representar gráficamente las siguientes
relaciones  a)   f  R ? R /
f(x) -5 x b) g  Zpares ? Z / g(x)   c)
h  N ? N / h(x) 2 x 3
Ejercicios para Practicar
Glosario
Ejercicio Resuelto
6
14) Sean las relaciones fi  R ? R con i 1,2,
. . . . 6 dadas por las fórmulas 
f1(x) - 3 x 4 f2(x) - x2 4 x
3 f4(x) f3(x) log 2 ( 2x
- 3 ) f6(x) f5(x)

• Determine en cada caso el Dominio y la Imagen
  para que la relación resulte una función
• Represente gráficamente cada una de las fi
• Clasifique cada una de las fi
• d) En los casos que sea posible, determine y
  represente gráficamente f-1

Ejercicios para Practicar
Glosario
Ejercicio Resuelto
7
Conjunto de partes
Se escribe P(A)
se lee partes de A
y está formado por todos los subconjuntos
posibles que pueden formarse con los elementos
del conjunto A, incluido el conjunto vacío
?
Sea A a, b, c
a,b
A
a
a b
a
El número de elementos que conforman P(A) es 2n
donde n ?A
a b c
a c
b
a,c
b
c
b c
c
b,c
?A se lee cardinal del conjunto A y es igual a la
cantidad de elementos que tiene el conjunto A
a, b, c
a b c
entonces el conjuntos de partes de A es
P(A) a b, c a,b a,c b,c
a,b,c ?
8
Producto Cartesiano
Dado un conjunto A a, b
y un conjunto B 1, 2
B
El producto cartesiano A x B se forma con todos
los pares ordenados posibles conformados por
elementos del conjunto A en el primer lugar del
par ordenado y elementos del conjunto B en el
segundo lugar del par ordenado
A
a
1
b
2
A x B
(a, 1),
(a, 2),
(b, 1),
(b, 2)
También podemos representar el producto
cartesiano en un par de ejes coordenados
B 2 1
En el eje de abscisas (x) el conjunto A
A x B
En el eje de ordenadas (y) el conjunto B
(b, 2)
(a, 2)
y los pares ordenados en las intersecciones de
las perpendiculares a cada uno de los ejes, que
pasan por los elementos involucrados
(b, 1)
(a, 1)
a b A
9
1) Si A 1, 2
P(A) ? 1 2 1,2
Recuerda que cada uno de los subconjuntos
posibles formados con los elementos del conjunto
A, es un elemento de P(A)
P(A) xA (?,1) (?,2) (1,1) (1,2)
(2,1) (2,2) (1,2,1) (1,2,2)
observa que en cada par ordenado, el 1er elemento
? P(A) y el 2do elemento ? A
1
2
2) a) Si A a B 2 C
a, b D 1, 2
D
C
C x D
(a,1)
(a,2)
(b,2)
(b,1)
A
a
1
ubicamos ahora A ? C y B ? D
B
b
2
A x B (a,2)
en ejes cartesianos
el único par ordenado de AxB (a,2) ? CxD
A x B
B 2 1
entonces A x B ? C x D
C x D
(a, 2)
(b, 2)
(b, 1)
(a, 1)
a b A
10
2 b) Si A x B ? C x D se sigue de esto
necesariamente que A ? C y
B ? D ?. Explique.
Si a ? A
(a, b) ? A x B,
?
?b ? B
si el elemento a pertenece al conjunto A
entonces
el par ordenado (a, b) pertenece
al producto cartesiano A x B
para todo elemento b que pertenece al conjunto B
Si a es elemento del conjunto A, entonces el
elemento a con cualquier otro elemento del
conjunto B forma un par ordenado del producto
cartesiano A x B
Por la consigna del ejercicio A x B ? C x D ,
entonces . . .
si (a, b) ? A x B entonces (a, b) ? C x D
luego a ? C, luego
A ? C
Análogamente puede hallarse que B ? D
si b ? B ? (a, b) ? A x B, ?a ? A
por la consigna del ejercicio A x B ? C x D ,
entonces . . .
si (a, b) ? A x B entonces (a, b) ? C x D
luego b ? D, luego
B ? D
11
Relaciones
Dado un producto cartesiano A x B,
si se verifica que entre los elementos de algunos
(o todos) los pares ordenados que lo conforman se
cumple una cierta propiedad,
? Y ? B
?
?(x,y)
? R
x ? A
existe una relación R
?
A x B
incluida
en el producto cartesiano A xB
si y solo si
para todo par ordenado (x, y)
que pertenece a la relación R
se verifica que el elemento x pertenece al
conjunto A
y que el elemento y pertenece al conjunto B
B
A
Sean A 1, 2 y B 2, 3
1
2
En A x B (1, 2) (1, 3) (2, 2) (2, 3)
2
3
Definimos R ? A x B (x,y) ? R ? y 2x
De analizar los pares ordenados que conforman A x
B resulta que algunos pueden verificar (otros no)
o puede suceder que todos verifiquen e incluso
también puede suceder que ningún par ordenado
verifique la condición
Analizamos
entonces (1, 2) ? R
en el par (1, 2) x 1 y 2
2 2 ? 1
Y 2 x
en el par (1, 3) x 1 y 3
3 ? 2 ? 1
entonces (1, 3) ? R
en el par (2, 2) x 2 y 2
2 ? 2 ? 2
entonces (2, 2) ? R
en el par (2, 3) x 2 y 3
3 ? 2 ? 2
entonces (2, 3) ? R
R
(1, 2)

12
La relación antes vista R (1, 2)
definida por comprensión será
R (x, y) / x ? A ? y ? B ? y 2x
Observe que la definición por comprensión
considera
los elementos que componen la relación
pares ordenados (x, y)
a qué conjunto pertenecen cada uno de los
elementos
x ? A y ? B
cómo se vinculan los elementos de cada par
ordenado
y 2x
La relación se representa en ejes cartesianos,
en diagrama de Venn
y en tablas
R ? A x B
R
A
B
B 3 2
2 3
1 x -
2 - -
B
A
A x B
(1, 3)
2
(2, 3)
1
(2, 2)
(1, 2)
2
3
1 2 A
Ejes cartesianos
Diagramas de Venn
Tabla de R
13
3) Si A x ? N / 1 ? x ? 5 B
3, 4, 5
por extensión
A 1, 2, 3, 4, 5
R
A
B
Se define R ? A x B mediante (x,y) ? R ? x
y ? 5.
1
3
2
1 3 4 ? 5 ? (1, 3) ? R
4 3 7 ? 5 ? (4, 3) ? R
4
3
1 4 5 5 ? (1, 4) ? R
4 4 8 ? 5 ? (4, 4) ? R
5
4
4 5 9 ? 5 ? (4, 5) ? R
1 5 6 ? 5 ? (1, 5) ? R
2 3 5 5 ? (2, 3) ? R
5 3 8 ? 5 ? (5, 3) ? R
5
2 4 6 ? 5 ? (2, 4) ? R
5 4 9 ? 5 ? (5, 4) ? R
en Diagrama de Venn
2 5 7 ? 5 ? (2, 4) ? R
5 5 10 ? 5 ? (5, 5) ? R
3 3 6 ? 5 ? (3, 3) ? R
R
(1, 3),
(1, 4),
(2, 3)

3 4 7 ? 5 ? (3, 4) ? R
3 5 8 ? 5 ? (3, 5) ? R
A x B
R-1 se conforma con los pares ordenados de R,
pero cambiando el orden de los elementos en cada
par Si (x,y) ? R entonces
(y,x) ?R-1
B 5 4 3
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
R-1 (3, 1) (4, 1) (3, 2)
R
R-1 (y, x) ? BxA ? y x ? 5
1 2 3 4 5 A
En Gráfico cartesiano
14
Composición de Relaciones
A
B
R
C
Sean los conjuntos A B y C
S
?a
?1
?v
Y entre ellos se establecen relaciones
?w
?b
?2
R A ? B
y S B ? C
Definimos la composición de R y S, que se escribe
S ? R
Como una relación que va de A en C
(a, w) ? S ? R ? (a, 2) ? R y (2, w)
? S
S ? R (a, w)
S ? R
Puede suceder
A
C
B
R
S
?a
?1
?v
Entonces
?w
?b
?2
(b, v)
S ? R
(b, w)
15
4) Se consideran A 1 2 3 4 5   B 1
4 6 16
C 2 3 8 10
y la relación R ? A x B 
S ? B x C, definidas por 
A x B (1,1) (1,4) (1,6) (1,16) (2,1)
(2,4) (2,6) (2,16) (3,1) (3,4)
(3,6) (3,16) (4,1) (4,4) (4,6) (4,16)
(5,1) (5,4) (5,6) (5,16)
de analizar cuales son los pares ordenados que
verifican la condición y x2 surge que
(x,y) ? R ? y x2 R ? A x B
R (1,1)
(2,4)
(4,16)
C
B
? 2
A
B
? 4
? 1
? 1
? 1
? 3
? 6
? 10
? 2
? 6
? 3
? 4
? 8
?16
? 4
? 16
? 5
B x C (1,2) (1,3) (1,8) (1,10) (4,2)
(4,3) (4,8) (4,10) (6,2) (6,3)
(6,8) (6,10) (16,2) (16,3) (16,8) (16,10)
analizando los pares ordenados que verifican la
condición z y / 2 surge que
S (4,2)
(6,3)
(16,8)
(y,z) ? S ? z y/2 S ? B x C
16
Si R (x,y) ? A x B / y x2
El dominio de la relación R es un conjunto
formado por todos los elementos del primer
conjunto (A), que intervienen en la relación
R
A
B
? 1
? 1
La imagen de la relación R es un conjunto formado
por todos los elementos del segundo conjunto (B)
que intervienen en la relación
? 2
? 3
? 4
? 4
? 6
? 5
? 16
Dm R 1, 2, 4
Im R 1, 4, 16
El dominio de la relación S es un conjunto
formado por todos los elementos del primer
conjunto (A), que intervienen en la relación
S (y,z) ? B x C / z y/2
C
S
B
? 2
? 1
La imagen de la relación R es un conjunto formado
por todos los elementos del segundo conjunto (B)
que intervienen en la relación
? 3
? 4
? 10
? 6
? 8
? 16
Dm S 4, 6, 16
Im R 2, 3, 8
17
S ? R es la composición de dos relaciones
Sean R A ? B
y S B ? C
S ? R SR
A
B
C
B
R
S
? 1
? 1
? 1
? 2
? 4
? 2
? 3
? 4
? 6
? 3
? 6
? 4
? 5
? 10
? 16
? 16
? 8
Que se lee
S cerito R ó R compuesta con S
Se conforma con los elementos de A y de C
De manera que (x,z) ? S ? R ? (x,y) ? R ? (y,z) ?
S
pero 1 ? B no se relaciona con ningún elemento
de C
(1, 1) ? R
(2,4) ? R
y (4,2) ? S
entonces (2,2) ? S ? R
S ? R
(2,2)
(4,8)

3 ? A no se relaciona con ningún elemento de B
Dm S ? R 2, 4
(4,16) ? R
y (16,8) ? S
entonces (4,8) ? S ? R
Im S ? R 2, 8
5 ? A no se relaciona con ningún elemento de B
C
S
A
B
R
? 1
? 1
? 2
? 2
? 3
? 4
? 3
? 10
? 6
? 8
? 4
? 5
? 16
18
Propiedades de las Relaciones
Cuando decimos que una Relación R está definida
en A2 , decimos que
Los pares ordenados (x, y) de la relación están
conformados por elementos x ? A y elementos y ? A
si consideramos los elementos de A relacionándose
consigo mismo, (o no)
puede suceder que
5
6
7
8
9
11
Si algún(os) elemento(s) de A se relaciona(n)
consigo mismo.
Cada elemento del conjunto A se relaciona consigo
mismo
Si ningún elemento de A se relaciona consigo mismo
A
A
A
a
a
b
b
a
b
Es Reflexiva
Es No reflexiva
Es Arreflexiva
?x
? x
?x
x ? A

?
(x, x) ? R
/
x ? A
? (x, x) ? R

x ?A
?
(x, x) ? R
para todo elemento x
se verifica que
existe(n) x
tal que
para todo elemento x
se verifica que
si x pertenece al conjunto A
x pertenece al conjunto A
si x pertenece al conjunto A
entonces
y el par ordenado (x, x) no pertenece a la
Relación R
entonces
el par ordenado (x, x) no pertenece a la Relación
R
el par ordenado (x, x) pertenece a la Relación R
5-6
11
7-8-9
19
Es Simética
A
Si para cada par de elementos de A, (x,y) que se
relacionan, el par simétrico también pertenece a
la relación
a
b
c
?x ?y ? A (x, y) ? R
? (y, x) ? R
A
Es No simétrica
Si algún(os) par(es) de elementos de A, (x,y) que
se relacionan, tiene(n) par(es) simétrico(s) que
también pertenece(n) a la relación, pero otro(s)
no
5
6
a
b
7
8
c
?x ?y ? A
/ (x, y) ? R
? (y, x) ? R
9
11
A
Es Asimétrica
Si ningún par de elementos de A, (x,y) que se
relacionan, tiene par simétrico que también
pertenece a la relación
a
b
c
?x ?y ? A (x, y) ? R ? (y, x) ? R
A
Es Antisimétrica
a
b
Si en cada par de elementos de A, (x,y) que
admite simétrico, sucede que x y
c
?x ?y ? A (x, y) ? R ? (y, x) ? R ? x y
5-6
11
7-8-9
20
Si para todos los elementos x, y, z que verifican
que (x,y) ? R y (y,z) ? R entonces el par
ordenado (x, z) ? R
A
Es transitiva
b
a
?x,y,z ?A (x,y) ? R
? (y,z) ? R
? (x,z) ? R
c
5
6
7
8
9
11
Si algunos de los elementos x, y, z verifican
que (x,y) ? R y (y,z) ? R pero el par
ordenado (x, z) ? R (otros no)
A
a
b
d
Es No transitiva
?x ?y ?z ? A / (x,y) ? R
? (y,z) ? R
? (x,z) ? R
c
A
Si todos los elementos x, y, z verifican que si
(x,y) ? R y (y,z) ? R entonces el par
ordenado (x, z) ? R
a
b
d
Es Atransitiva
c
?x ? y ?z ? A (x,y) ? R
? (y,z) ? R
? (x,z) ? R
5-6
11
7-8-9
21
Clasificación de las Relaciones
Si R es una relación es reflexiva, simétrica y
transitiva
Es Relación de Equivalencia
Si R es una relación es reflexiva, antisimétrica
y transitiva
Es Relación de Orden amplio
5
6
7
8
9
11
Si R es una relación es arreflexiva, asimétrica y
transitiva
dicho de otra manera, hay pares ordenados de
elementos que no se relacionan entre sí de
ninguna forma
Es Relación de Orden estricto
Si R es una relación de Orden (amplio o estricto)
donde . . .
?a, ?b / (a, b) ? R ? (b, a) ? R
en caso contrario . . .
Es Relación de Orden parcial
Si R es una relación de Orden (amplio o estricto)
donde . . .
a ? b ? (a, b) ? R ? (b, a) ? R
dicho de otra manera, todos los elementos
diferentes se relacionan entre sí al menos de una
forma
Es Relación de Orden total
5-6
11
7-8-9
22
5 a) si R ( -1,-3) (-2,0) (0,0) (-1,-1)
en A -3, -2, -1, 0
Para clasificar la relación, la representamos en
diagrama de Venn
A
En el diagrama de Venn y en la definición por
extensión se aprecia que hay elementos que se
relacionan consigo mismo
-3
0
Pero otros elementos como el 3 no se relacionan
consigo mismo, vemos que el par ordenado (-3, -3)
? R
-2
-1
Reflexiva
entonces ?x ? A / (x, x) ? R la relación
es No Reflexiva
Simétrica
En el diagrama de Venn se aprecia que hay
elementos que se relacionan entre sí en un solo
sentido, por ejemplo (-1, -3) ? R pero (-3,-1) ?
R pero también hay pares ordenados que tienen
simétrico, como (-1,-1) ? R y (0, 0) ? R.
Transitiva
Clasificación
Escribir ?x, ?y ?A / (x, y) ? R ? (y, x) ? R la
relación es No simétrica
Pero vemos también que los pares ordenados que
admiten simétrico, son pares ordenados donde el
primer elemento es igual que el segundo
Entonces se aplica que en cada par de elementos
de R que admiten simétrico, x y
Es antisimétrica
( -1, -1 ) ? R ? ( -1, -3 ) ? R ? ( -1, -3 ) ? R
Es transitiva
( -2, 0 ) ? R ? ( 0, 0 ) ? R ? ( -2, 0 ) ? R
( -1, -1 ) ? R ? ( -1, -1 ) ? R ? ( -1, -1 ) ? R
( 0, 0 ) ? R ? ( 0, 0 ) ? R ? ( 0, 0 ) ? R
5 b
No es Relación de Equivalencia
23
5 b) S (2,2)  (2,1)  (3,3)  (1,1) 
(3,2)  (0,0) en B x ? N0 / x ? 3
Para clasificar la relación, la representamos en
diagrama de Venn
A
En el diagrama de Venn y en la definición por
extensión se aprecia que todos los elementos del
conjunto A se relacionan consigo mismo
3
0
Reflexiva
?x x ? A ? (x, x) ? R la relación es
Reflexiva
2
1
Simétrica
En el diagrama de Venn se aprecia que hay
elementos que se relacionan entre sí en un solo
sentido, por ejemplo (3, 2) ? R pero (2, 3) ?
R pero también hay pares ordenados que tienen
simétrico, como (1, 1) ? R y (0, 0) ? R.
Transitiva
Podemos escribir
Clasificación
?x, ?y ?A / (x, y) ? R ? (y, x) ? R la relación
es No simétrica
Pero vemos también que los pares ordenados que
admiten simétrico, son pares ordenados donde el
primer elemento es igual que el segundo
Entonces se aplica que en cada par de elementos
de R que admiten simétrico, x y
Es antisimétrica
pero . . .
( 3, 3 ) ? R ? ( 3, 2 ) ? R ? ( 3, 2 ) ? R
Es No transitiva
( 3, 2 ) ? R ? ( 2, 1 ) ? R ? ( 3, 1 ) ? R
No es Relación de Equivalencia
24
6) (a,b) ? R1 ? el libro a cuesta mas y tiene
menos hojas que el libro b.
Asumimos que A es un conjunto de libros que en
precio y cantidad de hojas es tan amplio como sea
posible
Libro 1 30 60 hojas
Libro 2 15 120 hojas
Libro 3 45 50 hojas
Libro 4 7 80 hojas
Libro 5 12 70 hojas
Por ejemplo . . .
R1 (1, 2) (1,4) (1,5) (3,1)
Reflexiva
(3,2) (3,4) (3,5) (5,4)
Simétrica
Esta relación no tiene pares reflexivos, porque
ningún libro cuesta mas que lo que él mismo
cuesta ni tiene menos hojas que las que tiene. Es
Arreflexiva
Transitiva
Clasificación
La relación no tiene pares simétricos, porque si
el libro 1 cuesta mas y tiene menos hojas que el
libro 2, no puede suceder que el libro 2 cueste
mas y tenga menos hojas que el libro 1.
Si (1,2) ? R ? (2, 1) ? R. Es Asimétrica
(1, 5) ? R ? (5,4) ? R ? (1,4) ? R
Por ejemplo . . .
y en general, si un libro a cuesta mas y tiene
menos hojas que b (a, b) ? R
( a, b ) ? R
? ( b, c ) ? R
? ( a, c ) ? R
entonces necesariamente el libro a cuesta mas y
tiene menos hojas que el libro c (a, c) ? R
y el libro b cuesta mas y tiene menos hojas que
el libro c (b, c) ? R
Es transitiva
Es Relación de Orden Estricto
25
7) Sea R una relación binaria sobre el conjunto
de todas las sucesiones de ceros y unos,
tal que  R (a, b) / a ? b son
sucesiones que tienen el mismo número de ceros .
Los elementos que conforman los pares ordenados
son sucesiones de ceros y unos, por ejemplo
00 01 010 000 100 1010 00110010 1110100
etc. . .
Reflexiva
R es un conjunto infinito . . . porque son
infinitas las sucesiones de ceros y unos
Simétrica
Sabido es que cada cadena tendrá exactamente la
cantidad de ceros que ella misma tiene
así, afirmamos que
Transitiva
Clasificación
?x x ? A ? (x, x) ? R la relación es
Reflexiva
si la cadena x tiene igual cantidad de ceros
que la cadena y
(x, y) ? R
? (y, x) ? R la relación es Simétrica
la cadena y tendrá igual cantidad de ceros que
la cadena x
si la cadena x tiene igual cantidad de ceros
que la cadena y
y la cadena y tiene igual cantidad de ceros que
la cadena z
entonces la cadena x tiene igual cantidad de
ceros que la cadena z
la relación es Transitiva
(x, y) ? R
? (x, z) ? R
? (y, z) ? R
Por tanto R es Relación de Equivalencia
26
8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto
de todos los enteros positivos , tal que  R
(a, b) / a - b es un entero positivo impar.
La relación R está conformada por pares ordenados
de números enteros positivos (naturales) tal que
la diferencia entre ellos sea un entero positivo
impar
En primer lugar corresponde descartar los pares
ordenados que estén conformados por el mismo
elemento
Reflexiva
, por ejemplo (2, 2) (3, 3) (4, 4)
Simétrica
En cualquiera de esos casos x x 0 y 0 NO
es entero positivo impar
Transitiva
luego, la relación es Arreflexiva
?x x ? A ? (x, x) ? R
Clasificación
Si tomo dos números enteros positivos, puedo
efectuar x y con resultado positivo, solamente
si x gt y
, en ese caso, al efectuar b a el resultado
será negativo
?x ?y ? A (x, y) ? R
luego, la relación es Asimétrica
? (y, x) ? R
y z entero positivo impar
Supongamos tres enteros positivos x, y, z de
manera que x gt y gt z
Si x es par e y es impar x y será entro
positivo impar,
si z es par
(x,y) ? R
? (y,z) ? R
x z será entero positivo par
pero (x,z) ? R
y z entero positivo impar
Si x es impar e y es par x y será entro
positivo impar,
si z es impar
x z entero positivo par
(x,y) ? R
? (y,z) ? R
pero (x,z) ? R
luego, la relación es Atransitiva
27
9) El razonamiento falso dice que
si x R y ? x R y ? y R x ? x R x
de otra manera
( x, y ) ? R ? (y,x) ? R ? (x,x) ? R
Si una relación es simétrica y transitiva . . .
es reflexiva
( x, y ) ? R
? x R x
? x R y ? y R x
Reflexiva
el par ordenado ( x, y ) pertenece a la relación R
porque la relación debe ser simétrica (por
hipótesis)
y también transitiva por hipótesis
Simétrica
Supongamos una relación definida en A
Transitiva
A
Igualmente, ahora decimos que si
x
( y, x ) ? R
a
? y R y
? y R x ? x R y
Hasta aquí, la reflexividad parece ser una
consecuencia de la simetría y de la transitividad
y
Pero si algún elemento del conjunto A no se
relaciona con ningún otro, no se establecen la
simetría ni la transitividad (por
ejemplo el elemento a)
Luego este elemento no tiene porqué relacionarse
consigo mismo
Observa que la relación definida en A es
simétrica y transitiva, pero No Reflexiva
28
PARTICION DE UN CONJUNTO
Dado un conjunto A cualquiera no vacío, es
posible establecer una partición de A
Conformando con los elementos de A subconjuntos
Ai Aj . . . .
A
Así tenemos por ejemplo
A2
1
A1 1 4
A2 2 3
A3 5
2
A1
3
A3
4
1) A1 ? ? A2 ? ? A3 ? ?
Donde
5
2) A1 ? A2 ? A1 ? A3 ? A2 ? A3 ?
P A1 A2 A3 es partición de A
3) A1 ? A2 ? A3 A
Todos los subconjuntos son distintos de l
conjunto vacío (tienen algún elemento) Ai ? ? La
intersección entre todos los subconjuntos tomados
de a dos, es vacía. Ai ? Aj ? La unión de
todos los subconjuntos es igual al conjunto
particionado . . ? . Aj ? Aj ? . . A
29
10) a)
A1 x ? Z  2 ? x y A2 x ? Z  2 ? x
con P A1 A2
A1 está conformado por todos los números enteros
que son divisibles por 2
A1 enteros pares
A2 está conformado por todos los números enteros
que no son divisibles por 2
A2 enteros impares
1) A1 ? ? y A2 ? ?
2) A1 ? A2 ?
3) A1 ? A2 A
si un entero es par, no es impar y viceversa
los enteros pares con los impares conforman la
totalidad de los elementos del conjunto de
números enteros
P A1 A2 es partición de Z (números
enteros )
Son subconjuntos de Q N (naturales)
Z- (enteros negativos)
b) Evaluar si Q N Z- es partición
de Z
1) N ? ? y Z- ? ?
2) N ? Z- ?
3) N ? Z- ? Z
porque en N están todos los enteros positivos (Z
) y en (Z-) los enteros negativos
pero . . . 0 ? N y 0 ? Z-
Q N Z- NO es partición de Z
(no verifica la tercera condición)
30
11) Dado el conjunto de conjuntos M A, B,
C, ?, donde A 1, 2, 3, 4  B 1, 3
C 3
escribimos por extensión la relación ?
definida en M
todo conjunto está incluido en sí mismo
el conjunto vacío está en todos los conjuntos
A
2
B
(A,A) (B,B) (C,C) (?,?)
(?,C) (?,B) (?,A)
(C,B) (C,A) (B,A)
R
1
La Relación en diagrama de Venn será
C
M
4
3
C
cada elemento se relaciona consigo mismo
?
Es Reflexiva
B
A
si A ? B y B ? A A ? B
No Simétrica
Antisimétrica
Pero al ser reflexiva, cada par reflexivo, tiene
simétrico, entonces . . .
en la relación de inclusión siempre está presente
la transitividad . . .
Si C ? B y B ? A ? C ? A
Transitiva
Es una Relación de Orden Amplio
31
LATTICES
Cota Superior Mínima
y única
Un conjunto ordenado es láttice si cualesquiera
dos elementos en el conjunto tienen
Cota Inferior Máxima
y única
Sea A a, b, c, d, e, f, g
y se define en él la relación R
(a,e)
(a,f)
(a,g)
R (a,a)
(b,b)
(c,c)
(d,d)
(e,e)
(f,f)
(a,b)
(a,c)
(a,d)
(b,e)
(g,g)
(b,g)
(c,e)
(c,f)
(c,g)
(d,f)
(d,g)
(f,g)
(e,g)
Un conjunto es ordenado si sus elementos se
vinculan mediante una relación de orden
Reflexiva
Antisimétrica
Transitiva
Relación de orden
a
?
Construimos un gráfico donde la reflexividad se
muestra con ? para significar que cada
elemento se relaciona consigo mismo
?
?
d
b
unimos con un segmento los elementos que se
relacionan entre sí, por ser antisimétrica. ej
(a,b) (a,d) (c,e) ? R pero (b,a) (d,a) (e,c)
? R
c
?
?
?
e
f
y aceptamos la transitividad en el sentido del
recorrido de los elementos que se vinculan a
través de los segmentos
?
g
por ejemplo
(a,b) ? R
? (b,e) ? R
? (a,e) ? R
(a,c) ? R
? (c,f) ? R
? (a,f) ? R
(a,f) ? R
? (f,g) ? R
? (a,g) ? R
32
Sea el conjunto ordenado A
en el que se define una relación de orden R
(reflexiva, antisimétrica y
transitiva)
R (a,a)
(b,b)
(c,c)
(d,d)
(e,e)
(f,f)
(g,g)
(a,b)
(a,c)
(a,d)
(a,e)
(a,f)
(a,g)
(b,e)
(b,g)
(c,e)
(c,f)
(c,g)
(d,f)
(e,g)
(d,g)
(f,g)
Tomando dos elementos cualesquiera, por ejemplo
a
?
c. s. mím. b
para (c,d)
c. s. mím. f
para (a,b)
?
?
d
b
c. i. Máx. a
c. i. Máx. a
c
?
c. s. mím. g
para (b,c)
para (b,g)
c. s. mím. e
c. i. Máx. b
c. i. Máx. a
?
?
e
f
c. s. mím. g
para (e,f)
para (d,e)
c. s. mím. g
?
c. i. Máx. a
g
c. i. Máx. c
se aprecia que, efectivamente para dos elementos
cualesquiera de A, existen c.s.mín y c.i. Máx. y
son únicas
siempre que el gráfico resulta una retícula
cerrada, como en este caso, el conjunto con la
relación en él definida es Láttice (retícula)
33
Si analizáramos la misma relación pero en un
conjunto B a, b, c, d
R (a,a) (b,b) (c,c) (d,d) (a,b) (a,c)
(a,d)
Por extensión será
De manera que los pares reflexivos se representan
Los pares antisimétricos se representan uniendo
con una línea (que se entiende siempre en un solo
sentido hacia abajo-)
a
?
?
?
d
b
Si analizamos la relación por extensión veremos
que se trata de una relación transitiva
c
?
Si bien los pares (a,b) (a,c) (a,d) tienen
c.s.mín y c.i. Máx. únicas
Pero . . .
a
?
Los pares (b,c) (b,d) por ejemplo, NO tienen
c.s.mín única (elementos que no están en la misma
línea y la retícula no se cierra)
b
?
Entonces en este caso NO hay Láttice
c
d
?
?
a
Tampoco son Láttice retículas como
c
?
?
?
b
Observa que las retículas están abiertas
?
d
Ello se debe a que hay pares de elementos que no
tienen única c.s.min y/ó c.i.Máx
f
e
?
?
34
12 a) Analizar si (N, ?) es Láttice
el conjunto N está conformado por
( N, ? ) significa que N es un conjunto
ordenado según la relación ?
N 1, 2, 3, 4, 5, . . . . .
1
?
cada elemento se relaciona consigo mismo, es
reflexivo
?
2
La relación es antisimétrica. (1,2) ? R
(2,3) ? R (1,3) ? R . . . . .
3
?
y transitiva
es apreciable que entre los elementos 3 y 4
(por ser relación de orden)
4
la cota superior mínima es 4
?
entre los elementos 2 y 5
la cota inferior máxima es 3
5
?
la cota superior mínima es 5
la cota inferior máxima es 2
. .
y así sucesvamente, para cualquier par de valores
(m, n)
habrá cota superior mínima n
y cota inferior máxima m
si tomamos un par de valores donde m n
coinciden las c.s.mín c.i.Máx m n
Se verifica entonces que ( N, ? ) es láttice
12 b
35
12 b) Analizar si (N, /) es Láttice
1
?
Analizaremos para algunos elementos de N y
trataremos de generalizar las situaciones que
encontremos, basándonos en propiedades conocidas
2
3
?
?
5
?
9
6
4
?
?
?
cada natural es divisible pos sí mismo, entonces
es reflexiva
?
?
12
18
1 divide a cualquier natural, entonces comenzamos
con el 2 y el 3
vinculamos al 2 y 3 los naturales que son
múltiplos precisamente de 2 y 3
que son el 4 6 y 9
e irán apareciendo números primos a medida que
avanzamos (divisibles solamente por sí mismos y
por la unidad)
el 12 y el 18 por ejemplo
y continuamos buscando múltiplos de 4 6 y 9
y la retícula puede seguir creciendo, por
tratarse de un conjunto infinito
por ejemplo el 3 y el 5 dividen a 15
Es claro que, tomados dos elementos cualesquiera
siempre hay una cota inferior máxima única ( 1 )
36
1
?
Pero lo que parece no estar claro es si hay cota
superior mínima (única)
5
?
2
3
?
?
?
la retícula parece no cerrarse cuando los valores
crecen (parte inferior del grafo)
15
9
6
4
?
?
?
Pero tenga presente que cada vez que aparezcan en
la retícula dos vértices (elementos) que parezcan
no cerrarse sin dudas habrá algún número
natural que resulta divisible por ambos, por
ejemplo el producto de ambos
?
?
12
18
Puede suceder que m n ó bien que m ? n
?
36
Finalmente, tomados dos elementos cualesquiera de
N m, n
Si m n coinciden las cota sup. Mím y cota
inf. Máx. que es el mismo m n
Si m ? n existe siempre mínimo común múltiplo
y máximo común divisor de m y n que son
respectivamente las cota sup. Mím y cota inf.
Máx. de m, n
Luego ( N, ? ) es Láttice
Es fácil advertir que 0 no divide a 0
Luego ésta no es una relación reflexiva y por
ello no es de orden
Si analizamos (N0, ?)
entonces ( N0, ? ) NO es Láttice
37
FUNCIONES
Dados dos conjuntos
A 1, 2, 3
B 2, 3,4
definimos en el producto cartesiano A x B una
Relación
R (a, b) ? b a 1
Una relación R ? A x B
es función . . .
13a
13b
13c
Existencia
Si verifica dos condiciones
Unicidad
y
14 ii
14 iii
14 i
Existencia verifica si para cada elemento del
conjunto A existe una imagen en B
14 iv
14 v
14 vi
A
B
Simbólicamente ?a ? A
?b ? B
/ (a, b) ? f
1
2
para todo elemento a que pertenece al conjunto A
se verifica
que existe un elemento b que pertenece al
conjunto B
2
3
tal que el par ordenado (a, b) pertenece a f
3
4
Unicidad, si cada elemento del conjunto A se
relaciona con un solo elemento del conjunto B
Simbólicamente (a, b) ? f
? (a, c) ? f
? b c
Si el par ordenado (a, b) pertenece a f
y el par ordenado (a, c) pertenece a f
entonces b es igual a c
Es función si cada elemento del conjunto A se
relaciona con uno y solo un elemento del conjunto
B
13
14
38
A
B
En situaciones como
1
2
también se verifica que
2
para cada elemento del conjunto A existe una
imagen en B (existencia)
4
3
Es función
cada elemento del conjunto A se relaciona con un
solo elemento del conjunto B (unicidad)
13a
13b
13c
A
B
14 i
14 ii
1
2
Situaciones como . . .
no verifica la condición de existencia
14 iii
14 iv
2
14 v
14 vi
el elemento 2 ? A pero no tiene un
correspondiente en B
4
3
NO es función
no verifica la condición de unicidad
En el caso . . .
A
B
1
1
el elemento 1 ? A se relaciona con dos elementos
diferentes de la imagen (B )
2
2
3
3
4
NO es función
13
14
39
Clasificación de funciones
Una función es inyectiva si dos elementos
cualesquiera diferentes del dominio tienen
imágenes diferentes
?x1 ?x2 ? A x1 ? x2 ? f(x1) ? f(x2)
13a
13b
13c
Porque cada elemento del conjunto A tiene imagen
diferente en el conjunto B
En este caso tenemos función inyectiva
14 i
14 ii
A
B
14 iii
14 iv
Una función es sobreyectiva si todos los
elementos del conjunto B (codominio) son Imagen
de la función, es decir que todos los elementos
del conjunto B admiten al menos un antecedente en
el dominio
1
2
14 v
14 vi
3
2
3
4
?y ? B, ?x ? A / y f(x)
En este caso tenemos función sobreyectiva
Porque todos los elementos del conjunto B tienen
un antecedente con el que se relacionan en el
conjunto A
Si una función es inyectiva y sobreyectiva . . .
es BIYECTIVA
13
14
40
Puede suceder que . . .
A
B
1
2
se verifica que 1 ? 2 pero f(1) f(2) 2
3
2
función NO inyectiva
3
4
asimismo el elemento 3 del conjunto B no admite
antecedente en el conjunto A
13a
13b
13c
función NO sobreyectiva
14 i
14 ii
Si . . .
se verifica que 1 ? 2 pero f(1) f(2) 2
14 iii
14 iv
A
B
función NO inyectiva
14 v
14 vi
1
2
pero todos los elementos del conjunto B admiten
antecedente en A
función sobreyectiva
2
3
4
A
B
cada elemento del conjunto A tiene imagen
diferente en el conjunto B
1
2
1
2
3
función inyectiva
pero no todos los elementos del conjunto B
admiten antecedente en A
3
4
función NO sobreyectiva
13
14
41
Para representar cualquier función se debe
conocer . . .
Representación Gráfica de Funciones
Cuál es el dominio donde está definida la función
. . .
y cuál es la imagen que se corresponde con el
dominio de la función
Im
Dm
13a
y se estudia la ley de variación de la función
definida por y f(x) . . .
Y f(x)
13b
13c
esto se hace asignándo valores xi en la expresión
y f(x) encontrando el resultado yi que le
corresponde a f(xi)
14 i
14 ii
y
x
14 iii
14 iv
14 v
14 vi
La imagen de la función son los valores que se
corresponden con cada valor del dominio de la
función
el dominio de la función son los valores que
puede tomar xi en f(x)
Si dos elementos diferentes del codominio
(conjunto B) son imagen del mismo elemento de A,
la expresión no es función (Unicidad)
recuerde siempre que si un valor del conjunto
de salida A no tiene imagen, la expresión no es
función (Existencia)
13
14
42
Podemos representar gráficamente una función en
un par de ejes coordenados
y
N 5 4 3 2 1
R
Sea f
N
? N
/ f(x)
x 1
Sea la función f
que va de Naturales
en Naturales
tal que f de x
es igual a x 1
y confeccionamos una tabla, asignándole valores a
x para hallar valores de y
13a
x x 1 y




13b
13c
x
14 i
14 ii
1 1 2
si 1
1 2 3 4 N
R
14 iii
14 iv
en el eje de abscisas (x) el dominio N
si 2
2 1 3
En el eje de ordenadas (y) la imagen N
14 v
14 vi
si 3
3 1 4
Si la misma ley de variación (y x 1)
estuviera definida de R ? R
si 4
4 1 5
La función ahora es f R ? R / f(x)
x 1
el dominio ahora será Reales
y la imagen también Reales
Pero al ser el dominio todos los puntos del eje x
(reales), la función está definida para todo x
debemos unir todos los puntos obtenidos
13
14
43
13 a) Para representar f R ? R / f(x) - 5 x
Primero reconocemos que el dominio son todos los
números reales
Entonces cualquier valor de x debe tener un
correspondiente en y
Trazamos un par de ejes coordenados y
confeccionamos una tabla de valores
Funciones
Clasificación
x - 5 x Y





Rep. Gráfica
1 -5 1 - 5
-1 -5 (-1) 5
0 -5 0 0
2 -5 2 -10
-2 -5 (-2) 10
Y finalmente porque es una relación que va de
Reales en Reales, trazamos con línea llena una
recta que une los puntos identificados
13 b
13 c
44
13 b) Para representar g Zpares ? Z / g(x)
reconocemos el dominio y la imagen de la relación
Entonces serán pares ordenados (x,y) válidos
solamente aquellos donde x e y sean números
enteros
Funciones
Trazamos un par de ejes coordenados y
confeccionamos una tabla de valores
Clasificación
x Y







Rep. Gráfica
Y la relación queda representada por puntos
porque va de Enteros pares en Enteros. (no
corresponde el trazado de linea llena)
2 ½ 2 1
-2 ½ (-2) - 1
4 ½ 4 2
-4 ½ (-4) - 2
6 ½ 6 3
- 6 ½ (-6) - 3
0 ½ 0 0
13 c
45
13 c) Para representar h(x) 2x 3
definida de N en N
En este caso tanto el dominio como la imagen son
el conjunto de los números naturales (N)
Primero reconocemos cual es el dominio
y cual es la imagen de la relación
Significa que serán pares ordenados de la
relación aquellos en los que x ? N y resulta de
aplicar x en h(x), que también h(x) ? N
Funciones
Clasificación
Rep. Gráfica
x 2x 3 Y





1 2 1 3 5
Trazamos un par de ejes coordenados
2 2 2 3 7
3 2 3 3 9
Y confeccionamos una tabla de valores para g(x)
4 2 4 3 11
5 2 5 3 13
Y la función queda representada por puntos porque
va de Naturales en Naturales
46
14 i) Para analizar el dominio de la expresión
y 3x 4
consideramos que la variable x puede tomar
cualquier valor real
entonces
Dm x / x ? R
Dm - ? ?
de la misma manera, los valores que tome y
para los diferentes valores de x, van a estar
contenidos en la recta de los reales
Funciones
Clasificación
Im - ? ?
entonces
Im x / x ? R
Rep. Gráfica
Trazamos un par de ejes coordenados y
confeccionamos una tabla de valores
Cada valor del dominio (x) tiene un valor
diferente en la imagen (y)
x - 3 x 4 Y



Inyectiva
1 - 3 1 4 1
Todos los elementos de la imagen (eje y) admiten
un antecedente en el dominio (eje x)
-1 - 3 (-1) 4 7
2 - 3 2 4 - 2
Sobreyectiva
es una función que va de Reales en Reales
Por ser una función inyectiva y sobreyectiva
Es función biyectiva
14 ii
14 iii
14 iv
14 v
14 vi
47
14 ii) Para analizar el dominio de la
expresión y x2 4x - 3
consideramos que la variable x puede tomar
cualquier valor real
entonces
Dm x / x ? R
Dm - ? ?
Antes de definir la imagen, vamos a representar
gráficamente la parábola
Funciones
Trazamos un par de ejes coordenados y para
confeccionar la tabla de valores buscamos los
valores de x que hacen 0 la función (raíces)
Rep. Gráfica
Clasificación
x - x2 4x - 3 Y







1 - 12 4 1 - 3 0
3 - 32 4 3 - 3 0
2 - 22 4 2 - 3 1
0 - 02 4 0 - 3 - 3
4 - 42 4 4 - 3 - 3
con estos valores empezamos la representación
gráfica
-1 -(-1)2 4(-1) - 3 - 8
5 - 52 4 5 - 3 - 8
El vértice de la parábola estará en un punto
equidistante
Tomamos valores a la izquierda y a la derecha de
los ya hallados
y finalmente trazamos la curva uniendo todos los
puntos ( R ? R )
14 iii
14 iv
14 v
14 vi
48
La Relación definida por y x2 4 x 3
que tiene una gráfica
tiene el dominio en Reales
Dm x / x ? R
De observar el gráfico, vemos que la relación no
tiene valores de y mayores que 1
Funciones
Im x / x ? R ? x ? 1
Clasificación
en el gráfico y en la tabla se nota que hay
valores diferentes del dominio (x) que tienen la
misma imagen (y)
Rep. Gráfica
con solo un par de valores del dominio que admita
la misma imagen, es suficiente para que la
función sea No Inyectiva
por ejemplo
No Inyectiva
f(0) - 02 4 0 3 - 3
f(4) - 42 4 4 3 - 3
Igualmente es posible ver que, de los elementos
del conjunto de llegada (Reales - eje Y),
solamente los menores o iguales que 1 pertenecen
a la imagen de la función
No Sobreyectiva
49
14 iii) Antes de analizar la expresión y
log2 (2x - 3)
Recordamos que a la función logarítmica la
podemos definir mediante
ejemplo
Las calculadoras en general, con la tecla
Log x
entregan valores
de logaritmo decimal es decir de logaritmos en
base 10
en la tecla de la calculadora falta la base ?
NO porque si el logaritmo es decimal, NO se
coloca la base
y con la tecla
Ln x
entregan valores de logaritmo natural (
logaritmos en base e )
Si deseamos conocer un logaritmo con base
distinta de 10 ó e debe . . .
plantear la siguiente expresión
con la calculadora (que resuelve solo logaritmos
decimales), podemos resolver un logaritmo que no
es decimal
Ejemplo calcula log2 8
14 iv
14 v
14 vi
50
14 iii) Ahora representamos gráficamente log2
(2x - 3)
recuerda que
Vamos a confeccionar una tabla de valores
x log(2x-3)/log2 Y








2 0/0,301030 0
2,5 0,301030/0,301030 1
Funciones
3,5 0,602060/0,301030 2
Clasificación
5,5 0.903090/0,301030 3
Rep. Gráfica
9,5 1,204120/0,301030 4
1,75 0,301030/0,301030 -1
siempre que 2x 3 gt 0
1,65 0,522879/0,301030 -2,26
habrá algún valor para f(x)
1,55 -1/0,301030 -3,32
si x 1,5
trazamos entonces en x 1,5 la asíntota de
la función
investigamos qué pasa a la izquierda de la
asíntota, por ejemplo para x 0
2x 3 0
porque no existe ningún valor al se cual pueda
elevar 2 y obtener como resultado un negativo
Sabemos que el log 0 ?
2x 3 toma valores negativos y la función no
está definida en esos valores ( x lt 1.5 )
trazamos la curva
con los puntos conocidos (sin tocar la asíntota)
51
la relación definida por y log2 ( 2x 3 ) se
representa en el gráfico
x toma solamente valores mayores que 1,5
entonces
Dm x / x ? R ? x ? 1,5
En cambio, en el gráfico se ve que todos los
valores del eje y tienen antecedente en x
Im x / x ? R
Funciones
Clasificación
Cada valor del dominio (eje x) tiene un valor
diferente en la imagen (eje y)
Rep. Gráfica
Función Inyectiva
Todos los elementos del codominio (eje y) son
imagen de la función -admiten un antecedente en
el dominio (eje x)-
Función Sobreyectiva
Por ser una función inyectiva y sobreyectiva
Recuerda que siempre es conveniente empezar a
representar una función logarítmica localizando
la asíntota
Es función biyectiva
52
En primer lugar reconocemos que x no puede tomar
valores menores que -2
14 iv) Si f(x)
En consecuencia Dm x/x ? R ? x ? 2 Dn
-2 ?)
Con frecuencia los alumnos confunden esta
relación (definida por partes) con tres
relaciones diferentes
Funciones
Clasificación
Se trata de una sola relación (tiene y hemos
hallado un solo dominio) PERO TAMBIEN TIENE
DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN DETERMINADOS
TRAMOS DEL DOMINIO
Rep. Gráfica
si x gt 0 la ley de variación es x - 1
La representación gráfica se realiza como para
cualquier otra relación
si x 0 la función vale 3
si x ? 0 la función vale x3 1
Se confeccionan tablas de valores cuidando que
las leyes de variación se correspondan con los
respectivos intervalos del dominio
14 v
14 vi
53
Si x se acerca mucho a 0, pero sin ser igual a 0,
toma por ejemplo valores como 0,1 0,01 0,001,
etc
Para x gt 0 f(x) x - 1
x y x - 1 Y


si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a
- 1
1 1 - 1 0
debemos entender que si x se acerca a 0 con
valores mayores que 0, y se acerca a 1,
pero sin ser y -1
3 3 1 2
Funciones
Representamos ese punto con un círculo que
significa que la función toma valores muy
próximos a ese valor (-1) para valores muy
próximos de x 0 (por derecha ) pero sin ser
y 1 en x 0
Clasificación
Rep. Gráfica
Unimos con una recta todos los valores hallados
por tratarsae de una ley de variación lineal y
comprobamos que hay al menos tres puntos
alineados
En x 0 la función vale 3
54
Si x se acerca mucho a 0, pero sin ser igual a 0,
toma por ejemplo valores como -0,1 -0,01
-0,001, etc
Para x lt 0 f(x) x3 1
x y x3 1 Y


si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a
1 (con esta ley de variación)
-1 (-1)3 1 0
debemos entender que si x se acerca a 0 con
valores menores que 0, y se acerca a 1, pero
sin ser y 1
-2 (-2)3 1 - 7
Funciones
Representamos ese punto con un círculo que
significa que la función toma valores muy
próximos a ese valor (1) para valores muy
próximos de x 0 (por izquierda) pero sin ser
y 1 en x 0
Clasificación
Rep. Gráfica
Unimos los tres puntos hallados con uina curva de
parábola cúbica solo para valores comprendidos en
el intervalo -2 0)
y tenemos así la representación gráfica de la
función
f Dm ? Im / f(x)
55
El dominio de la función ya fue encontrado -2
? )
Y podemos observar en el gráfico que llos valores
del eje y que admiten antecedente en los valores
del dominio del eje x, van de 7 a ?
Im x / x ? R ? x ? -7 Im -7 ?)
Funciones
Existen valores diferentes del dominio que tienen
la misma imagen, por ejemplo para x 1 ó x -
1 y 0
Clasificación
Rep. Gráfica
La función es No inyectiva
Como la función está definida de Dm ? R
y resulta que la Imagen no es igual a R sino que
Im ? R
La función es No sobreyectiva
56
En primer lugar reconocemos que x puede tomar
valores que van de - ? a ?
14 v) Si f(x)
En consecuencia Dm x/x ? R Dn (- ?
?)
Con frecuencia los alumnos confunden esta
relación (definida por partes) con tres
relaciones diferentes
Funciones
Clasificación
Se trata de una sola función (tiene y hemos
hallado un solo dominio) PERO TAMBIEN TIENE
DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN DETERMINADOS
TRAMOS DEL DOMINIO
Rep. Gráfica
si x lt 0 la ley de variación es 2x
La representación gráfica se realiza como para
cualquier otra función
si 0 ? x ? 1 la función vale 1
si x gt 0 la ley de variación es lnx
Se confeccionan tablas de valores cuidando que
las leyes de variación se correspondan con los
respectivos intervalos del dominio
14 vi
57
Para x gt 0 f(x) ln x
x ln x y


4 ln 4 1,39
8 ln 8 2,08
Si x fuera igual a 1 entonces y sería igual a
0
Funciones
Clasificación
debemos entender que si x se acerca a 1 con
valores mayores que 1, y se acerca a 0, pero
sin ser y 0
Rep. Gráfica
representamos ese punto con un círculo que
significa que la función toma valores muy
próximos a y 0 para valores muy próximos de
x 1 (por derecha ) pero sin ser y 0 en
x 1
Unimos los valores hallados con una curva que
representa la ley de variación logarítmica
luego, estudiamos qué sucede con los valores de x
comprendidos entre 0 y 1 intervalo 0 1 -
si x 0 y 1
si x 1 y 1
para cualquier valor del intervalo 0 1 la
función vale 1
58
Para los valores de x lt 0 estudiaremos la ley
de variación y 2x
Confeccionamos tabla de valores
x 2x y


-1 2-1 1/2
Funciones
-2 2-2 1/4
Clasificación
debemos entender que si x se acerca a 0 con
valores menores que 0 y se acerca a 1,
pero sin ser y 1
Rep. Gráfica
Si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a
1
representamos ese punto con un círculo que
significa que la función toma valores muy
próximos a y 1 para valores muy próximos de
x 0 (por izquierda) pero sin ser
necesariamente y 1 en x 0
Unimos los valores hallados con una curva que
representa la ley de variación exponencial (2x)
Luego prolongamos la curva hasta el punto y 1,
porque de un estudio anterior resulta que en x
0 la función efectivamente vale 1
y borramos el círculo rojo de y 1 porque al
tomar valor la función en ese punto, ya no tiene
sentido mantenerlo
59
Cualquier valor del eje x tiene un
correspondiente en el eje y
Dm x / x ? R Dm (-? ?)
Pero se ve también que, solamente los valores de
y gt 0 admiten algún antecedente en el eje x
Im y / y ? R ? y gt 0 Im (0 ?)
Funciones
Existen valores diferentes del dominio que tienen
la misma imagen, por ejemplo para x 0 ó x
1 y 1
Clasificación
Rep. Gráfica
La función es No inyectiva
Como la función está definida de Dm ? R
y resulta que la Imagen no es igual a R sino que
Im ? R
La función es No sobreyectiva
60
Trazamos un par de ejes coordenados
14 vi) Si f(x)
en ese caso tendríamos 2 / 0 así podemos decir
que para x - 3 no existe un valor finito de la
función
En primer lugar reconocemos que x no puede tomar
el valor - 3
trazamos una asíntota en x -3
Luego confeccionamos tabla de valores, para x
próximos a 3 por derecha
y estudiamos qué sucede a la izquierda de x 3
Funciones
Clasificación
Rep. Gráfica
x y







x y







- 2 2/(-23) 2
- 4 2/(-43) - 2
- 1 2/(-13) 1
- 5 2/(-53) - 1
0 2/(03) 2/3
- 6 2/(-63) -2/3
1 2/(13) 1/2
- 7 2/(-73) -1/2
2 2/(23) 2/5
- 8 2/(-83) - 2/5
-2,5 2/(-2,53) 4
-3,5 2/(-3,53) - 4
-2,6 2/(-2,63) 5
-3,6 2/(-3,63) - 5
x -3 es un valor que no está definido en la
función, luego la línea de la función no puede
cortar la línea de trazos punteada
Unimos los puntos situados a la izquierda de x
-3 por un lado y los puntos de la derecha de x
-3 por otro lado
61
Cualquier valor del eje x ? -3 tiene un
correspondiente en el eje y
Dm x / x ? R ? x ? - 3 Dm (-? -3) ? (-3
?)
los valores del eje y que se relacionan con algún
valor de x son todos, menos el 0
Im y / y ? R ? y ? 0 Im (-? 0) ? (0 ?)
Funciones
Clasificación
No Existen valores diferentes del dominio que
tengan la misma imagen
Rep. Gráfica
todos los valores del dominio tienen imágenes
diferentes
La función es inyectiva
Como la función está definida de Dm ? R
y resulta que la Imagen no es igual a R sino que
Im R 0
La función es No sobreyectiva
62
14 d) De todas la funciones analizadas solo son
biyectivas
y
f R ? R / f(x) 3x 4
f R gt 1,5 ? R / f(x) log2 (2x 3)
y precisamente, por ser biyectivas admiten
función inversa
para hallar la inversa de la función,
f R ? R / f(x) 3x 4
Funciones
transformamos el dominio en imagen
Clasificación
y viceversa
f-1 R ? R
Rep. Gráfica
hacemos pasajes de términos, para despejar x
en la ley de variación
multiplico todo por (-1) y permuto los miembros
(para ordenar)
y 3x 4
y - 4 3x
3x 4 - y
luego despejo x
y efectúo ahora un cambio de variables (x por y)
La ley de variación así obtenida, es la ley de
variación de la función inversa
63
Representamos gráficamente
en el mismo gráfico que hemos representado
confeccionamos una tabla de valores
Funciones
Clasificación
Rep. Gráfica
x f-1(x)



4
0
2
- 2
- 8
4
trazamos la recta, que también va de R ? R
tenga siempre presente que los puntos de una
función cualquiera que admite inversa y su
inversa son equidistantes respecto de la
bisectriz (recta a 45º) del primer cuadrante
64
para hallar la inversa de la función,
f Dm ? R / f(x) log2(2x-3)
recordemos que ya hemos hallado
Dm x / x ? R ? x gt 1,5 entonces
transformamos el dominio en imagen
f R gt 1,5 ? R / f(x) log2(2x-3)
Funciones
y viceversa
f-1 R ? R gt 1,5
Clasificación
luego despejamos la incógnita x de la ley de
variación de f log2(2x-3)
Rep. Gráfica
recuerde que logab c ? ac b
y log2(2x 3)
2y 2x - 3
permuto los miembros (para ordenar)
luego despejo x
y efectúo ahora un cambio de variables (x por y)
La ley de variación así obtenida, es la ley de
variación de la función inversa
65
Representamos gráficamente
en el mismo gráfico que hemos representado
confeccionamos una tabla de valores
Funciones
Clasificación
X f-1(x)







borramos la asíntota de f(x) para limpiar el
dibujo
Rep. Gráfica
unimos los puntos con trazo continuo porque f-1
va de R ? R
0
2
2,5
1
también aquí f-1 es equidistante de f respecto
de la bisectriz del primer cuadrante
2
3,5
4
9,5
-1
1,75

recuerde que f tiene asíntota en x 1,5
-4
1,53
-10
1,5001

y finalmente podemos trazar la asíntota de f-1
que es y 1,5
porque aunque tomemos valores muy pequeños de x,
f-1 será siempre ? 1,5
66
Es hora de descansar ! ! !
Momento propicio para establecer nuevas
relaciones . . .
Pero recordá, puede descansar solamente el que
antes trabajó (estudió)
Debe trabajar el hombre para ganarse su pan,
pues la miseria en su afán de perseguir de
mil modos. Llama a la puerta de todos y entra en
la del haragán. Martín Fierro (José Hernández)