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Funciones Reales de Varias Variables
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Contenidos

• Habilidades
• Función de dos variables.
• Gráfica de una función real de dos variables.
• Curvas de nivel.
• Límite.
• Continuidad.
• Derivadas Parciales.

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Habilidades

• Define el concepto de función real de dos y tres
  variables.
• Determina el dominio de una función real y lo
  representa gráficamente.
• Traza la gráfica de una función real de dos
  variables reales.
• Relaciona la regla de correspondencia de una
  función con su gráfica.
• Determina las curvas (superficies) de nivel de
  una función real de dos (tres) variables.

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Habilidades

• Calcula el límite de una función.
• Determina la no existencia del límite de una
  función real de dos variables reales.
• Establece la continuidad de una función real en
  un punto.
• Define el concepto de derivada parcial.
• Calcula derivadas parciales.
• Interpreta geométricamente el concepto de
  derivada parcial.
• Calcula derivadas parciales de segundo orden.
• Verifica que una función dada es solución de una
  ecuación en derivadas parciales.

inicio
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Funciones de Varias Variables.
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Ejemplos.
1. Halle los dominios de las siguientes funciones
y grafíquelos.
2. Evalué la función del inciso (a) en f(0,0)
,f(1,1) y f(2,-1), en caso sea posible.
Justifique su respuesta.
inicio
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Gráfica de una función de dos variables.
Definición Si f es una función de dos
variables con dominio D, entonces la gráfica de f
es el conjunto de los puntos (x, y, z) de R3
tales que z f(x,y) y (x,y) está en D.


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Ejemplo
2. Grafique las siguientes funciones y determine
el dominio y la imagen.
inicio
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Curvas de nivel.
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Definición Las curvas de nivel de una función f
de dos variables, son las curvas con ecuaciones
f(x,y)k, donde k es una constante (que pertenece
a la imagen de f).
O
x
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Ejemplos
3. Trace la gráfica y las curvas de nivel de
4. Una lamina de metal plana está situada en un
plano XY y la temperatura T (en grados
centígrados) en el punto (x, y) es inversamente
proporcional a la distancia del punto (x, y) al
origen. a) Describa las isotermas b) Suponiendo
que la temperatura en el punto P(4 3) es 40
grados centígrados, encuentre una ecuación de la
isoterma correspondiente a la temperatura de 20
grados centígrados.
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Ejemplos
5. Describa y trace las superficies de nivel de
la función
inicio
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Límites
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Límites
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Interpretación geométrica de los límites
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Determina la no existencia del límite de una
función real.
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Ejemplos
5. Muestre que no
existe
inicio
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Continuidad
inicio
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Derivadas parciales.
Sea zf(x,y), definida en el dominio D del plano
XY y sea (x0 ,y0) un punto de D. La función
f(x, y0) depende solamente de x y está definida
alrededor de x0.
Si la derivada existe, el valor de la derivada es
llamado derivada parcial de f(x,y),con respecto a
x en el punto (x0,y0) y se denota por

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Definición de derivada parcial con respecto a x.
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Definición de derivada parcial con respecto a y.
Del mismo modo, la derivada de f con respecto a y
en (a,b) , denotada por fy(x0 ,y0), se obtiene
dejando x fija (xx0).

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Ejemplos
1. Si f(x,y)4-x2-2y2, encuentre fx(1,1), fy
(1,1), e interprete estos números como
pendientes.
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Derivadas parciales respecto a x y a y.
Fin