Diapositiva 1

1
UNIDAD 4
LA DERIVADA
El concepto de límite de una función, El cambio
motor fundamental del universo, Derivación de
funciones
Dr. Daniel Tapia Sánchez
2
En esta actividad aprenderás a

• Describir con sus palabras el concepto de
  derivada.
• Interpretar geométricamente la derivada.
• Definir la derivada de una función en un punto.
• Interpretar la derivada como una razón de cambio.

3
Estos son los temas que estudiaremos
4.1 El concepto de límite de una función
4.2 El cambio, motor fundamental del universo
4.2.1 El cambio en el universo
4.2.2 El cambio en la Mercadotecnia
4.2.3 Cómo cambian las funciones?
4.3 Derivación de funciones
4.3.1 Definición de la Derivada
4.3.2 Reglas de derivación.
4
4.1 El concepto de límite
El concepto de límite describe el
comportamiento de una función cuando su argumento
se acerca a algún punto o se vuelve
extremadamente grande
5
Sea una función y un número real.
La expresión
significa que se puede acercar tanto a
como se quiera haciendo suficientemente
cercano a .
6
4.2 El cambio, motor fundamental del Universo.

• La velocidad Como cambia la posición con el
  tiempo.
• La potencia Cómo cambia la energía con el tiempo
• La fuerza Cómo cambia la energía potencial con
  la posición
• La inflación Como cambian los precios con el
  tiempo
• El cáncer Cómo crecen los tumores con el tiempo
• Ecología Cómo evoluciona un ecosistema con el
  tiempo
• Las revoluciones Son sistemas dinámicos
  ultracomplejos?

7
4.1 El cambio, motor fundamental del Universo.
Las funciones describen la evolución de las
variables dinámicas de los sistemas
8
4.2.3Cómo cambian las funciones?
x f(x)
0 20
1 24
-1 22
2 34
-2 30
3 50
-3 44
9
Cómo cambian la función?.
10
Cómo cambia la función?.

• Cuando va de 0 a 1 crece en 4
• Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)
• Cuando va de 1 a 2 crece en 10
• Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece)

11
Cómo cambia la función entre x y x?
12
Cómo cambia la función entre x y x?
13
Cómo cambia esta otra función entre x y x?
14
Cómo cambia esta otra función entre x y x?
La recta azul es la secante a la curva
15
4.2 Definición de la derivada
La derivada de una función es la razón de cambio
de dicha función cuando cambia x, es decir,
cuánto cambian los valores de y, cuando x cambia
una cierta cantidad.
16
La Pendiente de una Curva
La derivada de una función puede analizarse
también a partir de la pendiente de una curva.
Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una curva a la
pendiente de la recta que más se asemeja (ajusta)
a la curva.
y cuál es esta recta?
17
El problema de la recta tangente
y f(x)
Pendiente de la recta secante
18
El problema de la recta tangente
y
Q
y f(x)
P
a
x
x
Pendiente de la recta secante
19
El problema de la recta tangente
y
y f(x)
Q
P
x
a
x
Pendiente de la recta secante
20
El problema de la recta tangente
y
y f(x)
Q
P
a
x
x
Pendiente de la recta secante
21
El problema de la recta tangente
y
y f(x)
Q
P
a
x
x
Pendiente de la recta secante
22
El problema de la recta tangente
y
y f(x)
P
a
x
Pendiente de la recta tangente
23
Cómo determinamos la derivada de una función?
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de
derivadas, con la intención de que ustedes vayan
deduciendo un procedimiento (regla) para
resolverlas.
24
Reglas para encontrar la derivada de una función.

• Sea la función
• La derivada de esta función es

25
Derivadas especiales

• Sea la función
• La derivada de esta función es

26
Derivadas especiales

• Sea la función

La derivada de esta función es
27
Ejemplos de derivadas

• Sea la función
• La derivada de esta función es

28
Ejemplos de derivadas

• Sea la función
• La derivada de esta función es

29
Ejemplos de derivadas

• Sea la función
• La derivada de esta función es

30
Derivada de una suma y diferencia de funciones

• Sea la función

La derivada de la suma o diferencia es
31
Ejemplos

• Sean las funciones

32
Ejercicios propuestos

• Deriva las siguientes funciones

33
Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta función.
34
Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones
Claramente podemos identificar g(x)8x2-5x y
h(x)13x24
y recordando la regla para derivar productos de
funciones
tenemos que
35
Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones
36
Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones
37
Derivada de un producto de varios factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se
presenta cuando debemos derivar más de dos
factores o términos. Para este caso debemos
seguir la siguiente regla. Consideremos tres
factores, es decir
su derivada será
38
Ejemplo
Derivemos la siguiente expresión
39
Derivada de un cociente
Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe una
regla para encontrar la derivada de esta función.
40
Ejemplo
Consideremos el siguiente cociente de funciones
Claramente podemos identificar g(x)4x-5 y
h(x)3x2y recordando la regla para derivar
productos de funciones
tenemos que
41
Ejemplo
Es importante recordar que siempre tenemos que
llegar a la mínima expresión, como fue en este
caso.
42
Ejemplo
Sea
43
Ejemplo
Sea
44
Derivada de una función elevada a una potencia
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x),
que está elevada a una potencia n, existe una
regla para encontrar la derivada de esta función.
45
Ejemplo
Consideremos el siguiente cociente de funciones
Claramente podemos identificar h(x)5x-4 y
recordando la regla de la cadena
tenemos que
46
Ejemplo
Sea
La función puede escribirse también de la
siguiente forma
y
47
Ejemplo
Sea
48
Ejemplo
49
Derivadas de las funciones trigonométricas
x en radianes