Soluci

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Solución de ecuaciones no lineales en una variable

• Método de bisección

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Fundamentos (1)

• Una ecuación f(x)0 con f(x) real, continua tiene
  al menos una raíz entre x_inferior y x_superior
  (x_inf y x_sup, respectivamente) si
  f(xinf)f(xsup)lt0

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Fundamentos (2)

• No obstante, si ocurre que f(x) no cambia de
  signo en f(x)0 aun podrían existir raices entre
  esos puntos.

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Fundamentos (3)

• Si la función f(x) en f(x)0 no cambia de signo
  entre dos puntos podría no haber raices en ese
  intervalo.

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Fundamentos (4)

• También, si la función f(x) en f(x)0 cambia de
  signo entre dos puntos, podría haber más de una
  raíz en el intervalo bajo estudio.
• Ejemplo
• f(x)Aexp(-ax)cos(wt)

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Algoritmo (Paso 0)

• Seccionar un intervalo de interés en donde se
  crea que hay una solución de la ecuación f(x)0,
  es decir, elegir x_inf y x_sup.
• El intervalo inicial bajo estudio es entonces
  x_inf, x_sup.

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Algoritmo (Paso 0)

• Verificar f(x_inf)f(x_sup)lt0 en el intervalo
  escogido.

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Algoritmo (Paso 1)

• Estimar la solución de f(x) calculando una
  x_aprox hallando el punto medio del intervalo
  seleccionado
• Calcular x_aprox(x_inf x_sup)/2

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Algoritmo (Paso 2)

• if f(x_inf)f(x_aprox)lt0
• then
• La solución de f(x)0 está en
• x_inf, x_aprox. Hacer
• x_supx_aprox.
• end

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• If f(x_inf)f(x_aprox)gt0
• then
• La solución de f(x) está en x_aprox, x_sup.
• Hacer x_infx_aprox.
• end

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• If f(x_inf)f(x_sup)0
• then
• La solución de f(x)0 es x_aprox.
• Parar
• end

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Algoritmo (Paso 3)

• Estimar x_aprox(x_infx_sup)/2
• Calcular el error absoluto relativo aproximado
  (e_ara)

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Algoritmo (Paso 4)

• If e_ara lt tolerancia or iter maxiter
• stop
• else
• Con los valores actualizados (nuevos) de
• x_inf, x_sup (hallados en paso 2)
• ir al paso 1
• end

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Ejemplo

• f(x)-x3-0.165x23.993e-4

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Ejemplo

• Paso 0 Si x_inf0, x_sup0.11 tendremos que
• f(x_inf)3.993e-4, f(x_sup)-2.662e-4 y
• f(x_inf)f(x_sup)lt0

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iter1
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Iter2
18
Iter3
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(No Transcript)
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Ventajas

• Siempre converge
• Es relativamente fácil de entender y programar.

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Desventajas

• Comparado con otros métodos es relativamente
  lento.
• Si x_inf o x_sup x_aprox la convergencia es
  lenta (por qué?)

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• Hay funciones problemáticas para este método
  como son f(x)xn, npar,
• f(x)c/xn, nimpar (por qué?).