Parte 1: Organiza

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Parte 1Organização de Computadores

• 4. Representação dos números e aritmética em
  computadores
• Texto base capítulo 8
• Computer Organization and Architecture
• W. Stallings

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Unidade Lógica e Aritmética

• Parte do processador que realiza as operações
  lógicas e aritméticas
• Função das outras unidades é trazer dados para
  serem processados pela ULA e obter resultados em
  retorno
• Operações aritméticas números inteiros e reais
  (ponto fixo e ponto flutuante)

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ULA entradas e saídas
unidade de controle
flags
ULA
registros
registros
4
Sistemas numéricos

• Sistema decimal
• Sistema binário
• Conversão entre bases
• Notação hexadecimal
• Notação octal

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Representação dos inteiros

• Se fossem só os números positivos, a
  representação seria imediata
• exemplo com 8 bits
• 5110 001100112
• 23710 111011012
• A an-1 ... a1a0

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Sinal e magnitude (1)

• Bit mais à esquerda
• se 0, número positivo
• se 1, número negativo
• Exemplo (com 8 bits)
• 27 00011011
• - 27 10011011

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Sinal e magnitude (2)

• Problemas
• consideração sobre sinal e magnitude nas
  operações de adição e subtração
• duas representações para o 0
• 010 000000002
• -010 100000002

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Complemento a 2 (1)

• Resolve os dois problemas anteriores
• uma única representação para o 0
• fácil de implementar a aritmética
• Regra simples
• 310 0112
• complemento booleano 1002
• soma 1 ao BmS (LSB) 1012 -310

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Complemento a 2 (2)

• Exemplo
• 3 011
• 2 010
• 1 001
• 0 000
• -1 111
• -2 110
• -3 101
• -4 100

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Faixa dos números inteiros
Para 3 bits
Para n bits
-2n-1
0
2n-1-1
. . .
. . .
11
Soma e subtração com C2

• S a - b a (-b) ? basta somador!

OF bit de overflow SW chave multiplexadora
12
E o somador?

• Soma de dois bits
• realização?

ci1
ci
?
si
13
E o somador?

• Soma de dois bits
• realização

14
E o somador?

• Soma de dois bits
• Construção modular somador de 3 bits

c3
c0
c0
?
?
?
s0
s1
s2
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E o somador?

• Soma de dois bits
• Construção modular
• Carry lookahead
• evita propagação do sinal através de todos os
  estágios

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? e ?

• Multiplicação é mais complexa que soma e
  subtração
• se um dos números é negativo, multiplicação
  direta não resolve!
• Divisão é ainda mais complexa
• números negativos dão trabalho!
• Mesmo h/w pode ser usado

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Representando números reais

• Números fracionários
• exemplo 27,7510 11011,112
• notação em ponto fixo
• problema números muito grandes e muito pequenos
• Notação científica
• 2.743.000.000.000 2,743 ? 1012
• 0,000000000002743 2,743 ? 10-12

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Notação ponto flutuante

• Uso do mesmo método em binário
• ?M?2 ?E, com
• sinal ? ou ?
• mantissa M
• expoente E
• Formato típico comparação rápida

0
1
8
9
31
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Expoente e mantissa

• Expoente uso da notação polarizada (biased)
  C2 não é adequada
• 000000002 representa número mais negativo
• 111111112 representa número mais positivo
• polarização 127 (IEEE 754) ?
• -1 ? -110 12710 12610 011111102
• 1 ? 110 12710 12810 100000002
• Mantissa normalizada 0,1bbb...b ? bit mais à
  esquerda é sempre 1 (implícito)

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Exemplo de ponto flutuante

• N -0,7510 -0,112 -1,12 ? 2-1
• Representação geral
• (-1)S ? (1 Mantissa) ? 2(Expoente - 127)
• (-1)1 ? (1 0,10...02) ? 2(126 - 127)
• formato em precisão simples

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Faixa dos números reais
Inteiros representáveis
31
0
2
-1
Reais representáveis
OVF negativo
Números reais negativos
UDF negativo
UDF positivo
Números reais positivos
OVF positivo
-24
128
-127
-127
-24
128




0
-(1-2
)
2
-0,5
2
0,5
2
(1-2
)
2
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PF alguns detalhes (1)

• Número de valores representados neste formato é
  (praticamente) 232
• Números mais espaçados na reta dos reais (mas não
  igualmente espaçados!)
• Precisão simples e dupla
• E 8 bits ? 11 bits
• M 23 bits ? 52 bits

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PF alguns detalhes (2)

• Padrão IEEE 754
• Associatividade
• x (y z) (x y) z ?
• -1,5E38 (1,5E38 1,0) 0,0
• (-1,5E38 1,5E38) 1,0 1,0

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Aritmética em ponto flutuante

• Para a soma e a subtração é necessário que ambos
  os operandos tenham o mesmo expoente
• A multiplicação e a divisão são mais diretas
• Vejamos

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Precisão

• Arredondamento adequado exige bits extras no
  hardware
• Padrão IEEE 754 adiciona bits para os cálculos
  intermediários (e.g., guard e round)
• Exemplo 2,56?100 2,34?102

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Leitura suplementar

• Capítulo 4
• Arithmetic for Computers
• Computer Organization Design
• D.A. Paterson e J.L. Hennessy
• Ed. Morgan Kaufmann

27
Trabalho

• Padrão IEEE 754
• Estudar o pb de PF do Pentium