Lezione

1
Lezione

• Progetto di Strutture

2
Sistemi a più gradi di libertà
3
Modi di oscillazione libera
Assegnando una deformata iniziale generica
Assegnando una particolare deformata iniziale
la forma varia man mano
la forma resta la stessa
modo di oscillazione libera del sistema
4
Modi di oscillazione libera
Telaio piano (con traversi inestensibili) numero
di modi di oscillazione libera numero di piani
5
Modi di oscillazione libera
Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel
piano) numero di modi di oscillazione 3 x
numero di piani
Se la pianta ha due assi di simmetria, i modi di
oscillazione libera sono disaccoppiati - n modi
di traslazione in una direzione
6
Modi di oscillazione libera
Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel
piano) numero di modi di oscillazione 3 x
numero di piani
Se la pianta ha due assi di simmetria, i modi di
oscillazione libera sono disaccoppiati - n modi
di traslazione in una direzione- n modi di
traslazione nellaltra direzione
7
Modi di oscillazione libera
Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel
piano) numero di modi di oscillazione 3 x
numero di piani
Se la pianta ha due assi di simmetria, i modi di
oscillazione libera sono disaccoppiati - n modi
di traslazione in una direzione- n modi di
traslazione nellaltra direzione- n modi di
rotazione
8
Modi di oscillazione libera
Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel
piano) numero di modi di oscillazione 3 x
numero di piani
Se la pianta ha un asse di simmetria, i modi di
oscillazione libera secondo la direzione di
simmetria sono disaccoppiati dagli altri - n
modi di traslazione nella direzione di
simmetria- 2n modi di traslazione e rotazione
9
Modi di oscillazione liberaEsempio - edificio
con un asse di simmetria
10
Modi di oscillazione libera Esempio - edificio
con un asse di simmetria
In una struttura intelaiata T1 ? 0.1 sec a piano
Periodi di vibrazione Periodi di vibrazione Periodi di vibrazione
Output Modo Periodo
    Sec
MODALE 1 0.72
MODALE 2 0.66
MODALE 3 0.64
MODALE 4 0.25
MODALE 5 0.24
MODALE 6 0.23
MODALE 7 0.13
MODALE 8 0.13
MODALE 9 0.13
MODALE 10 0.09
MODALE 11 0.08
MODALE 12 0.08
edificio con n.6 piani
In una struttura intelaiata i tre periodi sono
abbastanza prossimi tra loro
11
Modi di oscillazione libera
6 4 0.000 -0.031 0.000
5 4 0.000 -0.004 0.000
4 4 0.000 0.017 0.000
3 4 0.000 0.026 0.000
2 4 0.000 0.021 0.000
1 4 0.000 0.009 0.000

6 5 0.024 0.000 0.002
5 5 0.005 0.000 0.000
4 5 -0.012 0.000 -0.001
3 5 -0.019 0.000 -0.002
2 5 -0.017 0.000 -0.001
1 5 -0.008 0.000 -0.001

6 6 -0.021 0.000 0.002
5 6 -0.004 0.000 0.000
4 6 0.011 0.000 -0.001
3 6 0.017 0.000 -0.002
2 6 0.014 0.000 -0.001
1 6 0.006 0.000 -0.001

6 7 -0.023 0.000 -0.001
5 7 0.020 0.000 0.001
4 7 0.021 0.000 0.001
3 7 -0.006 0.000 0.000
2 7 -0.024 0.000 -0.001
1 7 -0.016 0.000 0.000

6 8 0.000 0.023 0.000
5 8 0.000 -0.020 0.000
4 8 0.000 -0.022 0.000
3 8 0.000 0.006 0.000
2 8 0.000 0.027 0.000
1 8 0.000 0.017 0.000

6 9 0.008 0.000 -0.002
5 9 -0.007 0.000 0.002
4 9 -0.007 0.000 0.002
3 9 0.002 0.000 -0.001
2 9 0.008 0.000 -0.002
1 9 0.005 0.000 -0.001
Spostamenti Spostamenti      
Piano Modo U1 U2 R3
    m m Radianti
6 1 0.000 -0.032 0.000
5 1 0.000 -0.027 0.000
4 1 0.000 -0.021 0.000
3 1 0.000 -0.015 0.000
2 1 0.000 -0.009 0.000
1 1 0.000 -0.003 0.000

6 2 0.025 0.000 0.002
5 2 0.021 0.000 0.001
4 2 0.017 0.000 0.001
3 2 0.012 0.000 0.001
2 2 0.008 0.000 0.000
1 2 0.003 0.000 0.000

6 3 0.019 0.000 -0.002
5 3 0.017 0.000 -0.002
4 3 0.013 0.000 -0.001
3 3 0.010 0.000 -0.001
2 3 0.006 0.000 -0.001
1 3 0.002 0.000 0.000
12
Modi di oscillazione libera
Telaio spaziale (con impalcati indeformabili nel
piano) numero di modi di oscillazione 3 x
numero di piani
Se la pianta non ha assi di simmetria, i modi di
oscillazione libera sono accoppiati
13
Modi di oscillazione libera
Telaio spaziale senza impalcati indeformabili nel
piano
Il numero di modi di oscillazione libera è molto
maggiore
14
Modi di oscillazione libera
Lequazione del moto, in termini matriciali, è
analoga a quella delloscillatore semplice
La soluzione, in caso di moto libero con
deformata modale, è una funzione armonica
Dall equazione
si ricavano le frequenze angolari ?j associate a
deformate ? non nulle
15
Modi di oscillazione liberaFormula approssimata
di Rayleigh
Si consideri il sistema che oscilla liberamente
secondo un moto armonico, con spostamenti
e velocità delle masse
I valori massimi delle energie potenziali e
cinetiche sono
Dalleguaglianza di dette energie si desume la
pulsazione associata alla forma di vibrazione
fissata
16
Equazioni del moto liberoCoordinate modali
Una qualsiasi deformata può essere espressa come
combinazione delle deformate modali
u ? q
17
Equazioni del moto liberoCoordinate modali
Con questa posizione, lequazione del moto
diventa
ovvero
18
Equazioni del moto liberoCoordinate modali
Nellequazione del moto (in forma matriciale)
le matrici M e K sono diagonali, ovvero solo i
termini della diagonale principale sono diversi
da zero
Infatti
19
Equazioni del moto liberoCoordinate modali
Il sistema di equazioni
è quindi costituito da equazioni disaccoppiate
ciascuna contenente una sola incognita
Pertanto, si può valutare il contributo di
ciascun modo separatamente, come se fosse un
oscillatore semplice
20
Equazioni del moto libero con smorzamento
Con la stessa posizione ( ),
u F q
lequazione del moto in presenza di smorzamento
diventa
In molti casi, oltre a M e K, anche la matrice
C è diagonale e le equazioni
sono disaccoppiate (sistemi classicamente
smorzati)
21
Equazioni del moto Risposta ad un accelerogramma
Lequazione del moto
diventa
Coefficiente di partecipazione modaleindica se
il contributo del modo al moto totale del sistema
è più, o meno, rilevante
22
Analisi modale con spettro
Consiste nel valutare separatamente la risposta
della struttura vincolata a deformarsi secondo
ciascuno dei suoi modi di oscillazione . . .
23
Analisi modale con spettro
Consiste nel valutare separatamente la risposta
della struttura vincolata a deformarsi secondo
ciascuno dei suoi modi di oscillazione . . .
. . . e poi combinare le massime sollecitazioni
(o spostamenti) trovati per i singoli modi
24
Analisi modale con spettroRegole di combinazione
modale
La combinazione dei risultati può essere fatta
come...

• radice quadrata della somma dei quadrati (SRSS)

• come combinazione quadratica completa (CQC)

dove r coefficiente di correlazione modale
25
Analisi modale con spettroCoefficiente di
correlazione modale
r ij
1.0
0.8
0.6
x0.05
x0.20
0.4
0.2
x0.10
x0.02
bijTi /Tj
0
0.5
1.0
1.5
26
Contributo dei singoli modi
Il taglio alla base corrispondente al modo
j-esimo è
Considerando tutti i modi, la massa partecipante
totale coincide con lintera massa presente nella
struttura
27
Massa partecipanteContributo dei singoli modi

• Il primo modo è nettamente predominante per
  entità di massa partecipante. Le forze sono
  tutte dello stesso verso

• Gli altri modi hanno masse partecipanti via via
  minori. Essi danno luogo a forze discordi, che
  producono un effetto minore rispetto alla base

28
Massa partecipanteEsempio
Massa partecipante molto elevata
Massa partecipante meno elevata in virtù della
rotazione accoppiata alla traslazione
Rapporti Massa partecipante modale Rapporti Massa partecipante modale Rapporti Massa partecipante modale Rapporti Massa partecipante modale Rapporti Massa partecipante modale
Output Modo Periodo MX MY
    Sec    
MODALE 1 0.72 0.00 0.75
MODALE 2 0.66 0.49 0.00
MODALE 3 0.64 0.29 0.00
MODALE 4 0.25 0.00 0.14
MODALE 5 0.24 0.07 0.00
MODALE 6 0.23 0.05 0.00
MODALE 7 0.13 0.04 0.00
MODALE 8 0.13 0.00 0.06
MODALE 9 0.13 0.01 0.00
MODALE 10 0.09 0.02 0.00
MODALE 11 0.08 0.00 0.00
MODALE 12 0.08 0.00 0.03
edificio con n.6 piani
Nota !
La somma delle masse partecipanti nelle direzioni
x e y, considerate singolarmente, deve essere
unitaria
0.98
0.97
29
Considerazioni
Negli schemi spaziali è più difficile valutare
limportanza dei modi. Tuttavia

• se il comportamento è disaccoppiato, sono
  eccitati solo quei modi che danno spostamento
  nella direzione di azione del sisma

• in caso contrario tutti i modi possono dare
  contributo

• se limpalcato non è indeformabile nel proprio
  piano il numero di modi cresce enormemente ed è
  più difficile cogliere la risposta totale della
  struttura

30
Contributo dei singoli modi
Negli schemi spaziali è più probabile avere modi
con periodi molto vicini tra loro

• in questo caso è opportuno usare la
  sovrapposizione quadratica completa (CQC)

Una buona impostazione progettuale deve mirare ad
avere una struttura con impalcato rigido e con
comportamento disaccoppiato (cioè minime
rotazioni planimetriche)
31
Analisi statica
Consiste nel considerare un unico insieme di
forze, che rappresentano (in modo semplificato)
leffetto del primo modo
Il periodo proprio può essere valutato con
formule semplificate
32
Confronto analisi statica modaleEdificio con
travi emergenti
Zona 3ag 0.15 g
Suolo B
Classe di duttilità B
33
Periodi, acc. spettrali, masse part.Edificio con
travi emergenti
34
Forze statiche modali kNEdificio con travi
emergenti
modale analisi
piano modo 1 modo 2 modo 3 statica
8 40.0 -39.1 19.5 50.6
7 35.8 -14.4 -14.9 44.3
6 28.1 18.6 -22.8 38.0
5 21.7 31.3 -4.0 31.6
4 16.0 32.1 12.5 25.3
3 10.6 25.4 18.2 19.0
2 5.7 15.1 13.7 12.7
1 1.8 5.0 5.1 6.3
35
Tagli statici modali kNEdificio con travi
emergenti
piano analisi modale analisi statica differenza
8 59.2 50.6 -14.5
7 92.9 94.9 2.2
6 111.1 132.9 19.6
5 127.6 164.5 28.9
4 144.8 189.9 31.1
3 161.7 208.8 29.2
2 173.7 221.5 27.5
1 178.1 227.8 27.9
36
Confronto analisi statica - modaleEdificio con
travi a spessore
37
Periodi, acc. spettrali, masse part.Edificio con
travi emergenti
38
Forze statiche modali kNEdificio con travi a
spessore
analisi
piano modo 1 modo 2 modo 3 statica
8 26.3 -30.3 20.4 34.5
7 24.1 -12.2 -12.5 30.1
6 20.1 11.6 -24.2 25.8
5 15.9 23.6 -6.2 21.5
4 11.5 25.4 12.9 17.2
3 7.3 19.9 19.6 12.9
2 3.6 11.2 14.4 8.6
1 1.0 3.4 5.0 4.3
39
Tagli statici modali kNEdificio con travi a
spessore
piano analisi modale analisi statica differenza
8 45.0 34.5 -23.4
7 66.4 64.6 -2.7
6 78.7 90.4 15.0
5 89.6 112.0 25.0
4 100.0 129.2 29.2
3 112.3 142.1 26.5
2 121.9 150.7 23.6
1 125.3 155.0 23.7
40
Analisi statica o analisi modale?
Lanalisi statica fornisce risultati attendibili
purché
- la struttura abbia comportamento piano (basse
rotazioni planimetriche)
Per edifici con forti rotazioni, non va bene
modo 1
modo 2
inviluppo
41
Analisi statica o analisi modale?
Lanalisi statica è cautelativa purché
- la struttura abbia comportamento piano (basse
rotazioni planimetriche)
- la struttura abbia periodo non eccessivamente
alto
42
Analisi statica o analisi modale?
Lanalisi statica è cautelativa purché
- la struttura abbia comportamento piano (basse
rotazioni planimetriche)
- la struttura abbia periodo non eccessivamente
alto
- la stima del periodo proprio sia affidabile
Luso del coefficiente riduttivo ? rende i
risultati dellanalisi statica non
particolarmente gravosi rispetto a quelli
dellanalisi modale
43
Analisi statica o analisi modale?
Oggi lanalisi modale è sicuramente il metodo
principale di riferimento per lanalisi
strutturale, perché è affidabile e ormai alla
portata di tutti (grazie ai programmi per
computer)
Lanalisi statica è però uno strumento
fondamentale per capire il comportamento fisico
della struttura e per valutarne a priori la
risposta (e quindi anche per controllare a
posteriori i risultati dellanalisi modale)
44
FINE