Motivatie

1
Motivatie

• lineaire systemen
• sinusoïdale bron geeft
• overgangsverschijnsel
• stationaire sinusoïdale responsie met dezelfde
  pulsatie
• x(t) Xa sin(?t?)
• ? is gekend, Xa en ? te bepalen
• komt zeer veel voor speciale technieken
• elektrotechniek
• trillingsanalyse
• rekenwijzen
• sinusoïdaal in tijdsdomein ? vectoren
• fasor rekenwijze
• vectoren ? complexe getallen
• complexe rekenwijze
• Toepassingen
• modem (modulator - demodulator)
• arbeidsfactor
• vraagjes

2
Fasor rekenwijze

• x1(t) Xa1 sin(?t) ? X1y
• x2(t) Xa2 sin(?t?) ? X2y

y
X1X2
X2
X2y
vectoren
?
X1y
X1
?t
0
x
y
X2
fasoren ( ronddraaien weglaten)
?
X1
0
x
3
Fasor rekenwijzeoplossen van netwerken

• KCL en KVL kunnen toegepast worden op fasoren
  (zie slide)
• fasorvoorstelling i(t) Ia sin(?t)
• weerstand R
• v(t) R i(t)
• schaling
• inductantie L
• v(t) L di(t)/dt LIa?cos(?t)
• (?L)Iasin(?t?/2)
• schaling positieve draai
• capaciteit C
• C dv(t)/dt i(t) Iasin(?t)
• dv/dt Ia/C sin(?t)
• v Ia/C ?sin(?t)dt -Ia/(?C) cos(?t)
• 1/(?C) Iasin(?t-?/2)
• schaling negatieve draai

I
V R I
V (?L) I
I
I
V 1/(?C) I
4
Fasor rekenwijzeoplossen van netwerken

• DUS
• Als men rekening houdt met de juiste draaiing van
  de fasoren, kunnen dezelfde technieken en
  procedures als gezien bij DC netwerken toegepast
  worden op netwerken beschreven met fasoren, dus
  netwerken met een sinusoidaal regime.

5
RC ketenanalyse via fasoren

i(t) I(Ia,?)
R
e(t) E(Ea,0) Ea sin(?t)
C
?
v(t) VC(Vac,?)
-

• strategie
• stel een grootheid gelijk aan sin(?t) ? (1,0)
• gebruik fasorrelaties en wetten van Kirchoff om
  fasor van bron af te leiden
• leid schaalfactor en hoek af
• pas toe op RC
• I(1,0) ? VR(R,0) en VC(1/(?C),-?/2)
• KVL ? EVRVC
• driehoeksmeting Ea2R2Ia21/(?C)2Ia2
• VaCEa/?(1(??)2)
• hoek tussen Ea en VaC tg? -??
• dezelfde oplossing als met Laplace doch
  eenvoudiger

(R,0)
?
tg?-R(?C)
(1/?C,-?/2)
6
RC ketenoverdrachtsfunctie


I(Ia,?)
R
VC(Vac,?)
E(Ea,0)
C
-
-

• H (H,?) VC / E
• functie van de hoekfrequentie
• H1/?(1(??)2) (zie slide)
• lager dan ?01/? vrijwel geen verzwakking
• hoger dan ?0 daling evenredig met frequentie
• laagdoorlaatfilter van eerste orde met
  kantelfrequentie f01/(2??)
• Toepassing audio verzwakken van hoge tonen

7
Complexe rekenwijze
y, Im(Z)
Z(X,Y)XjY(Z,?)Zej? met
Z?(X2Y2) ?bgtg(Y/X)
XZ sin?
?
0
x, Re(Z)
XZ cos?

• vector ?complex getal
• eenheidsvector volgens y-as j
• bewerkingen
• optellen en aftrekken cartesische vorm
• vermenigvuldigen en delen polaire vorm
• product met j draaiing over ?/2
• delen door j draaiing over -?/2

8
Impedanties

• fasoren vervangen door complexe getallen
• bronnen x(t) Xa sin(?t?) ? X Xa ej?
• impedantie V impedantie I
• resistief (reëel) en reactief (imaginair) deel
• elementaire gevallen
• weerstand R V R I
• inductantie L V (j?L) I
• capaciteit C V 1/(j?C) I
• serieschakeling en parallelschakeling
• (zie slide)
• inductieve en capacitieve ketens
• admittantie I admittantie V

I

V
netwerk
-
9
RC ketenanalyse via complexe rekenwijze

i(t) I
ZR
e(t) EEaej0 Ea sin(?t)
?
v(t) VCVacej?
Z1/(j?C)
-

• regel van de spanningsdeler
• Vc E 1/(j?C)/(R1/(j?C)) E/(1j?RC)
• VaCEa/?(1(??)2)
• hoek tussen Ea en VaC tg? -??
• dezelfde oplossing als met Laplace of fasoren
  doch veel eenvoudiger, enkel algebra met complexe
  getallen

10
Resonantie

• Tweepool gevormd door 2 klemmen van een
  willekeurig netwerk
• resonantiehoekfrequentie ?r is een ? waarvoor
• ofwel Im(Z(?r))0
• ofwel Im(Y(?r))0
• zuiver resistief, fazehoek is 0

11
Parallelresonantie

1/(j?C)
j?L
R
-

• Y 1/Rj?C1/j?L 1/Rj(?C-1/?L)
• Z 1/Y
• amplitude 1/ ?(1/R2(?C-1/(?L))2)
• faze -bgtg(R(?C-1/(?L)))
• resonantie bij ?0 1/?(LC), L en C vormen open
  keten
• zie slide

12
Serieresonantie

R
1/(j?C)
-
E

j?L
-

• Z R1/(j?C)j?L Rj(?L-1/(?C))
• amplitude ?(R2(?L-1/(?C))2)
• faze bgtg((?L-1/(?C))/R)
• resonantie bij ?0 1/?(LC), L en C vormen
  kortsluiting
• VC 1/(j?0C) E/R (1/j) ?(LC)/C E/R -j ?(L/C)
  E/R
• VL (j?0L) E/R j ?(L/C) E/R
• gelijk maar in tegenfaze
• opslingering met kwaliteitsfactor Q1/R?(L/C)
• toepassing antennesignaal versterken en
  selecteren
• vb. R1?, L1mH, C10pF
• ?0 1/?(L/C) ? f01.6MHz
• Q 10.000
• zie slide

13
Meerdere resonanties

R
1/(j?C1)
E
1/(j?C2)
j?L
-

• Z R1/(j?C21/(j?L1/(j?C1))))
• R j (?L-1/(?C1))/(-?2LC2(C1C2)/C1)
• resonantie bij ?0 1/?(LC1) Im(Z)0
• serieresonantie van L en C1 H0 (sper)
• resonantie bij ?1 1/?(LC1C2/(C1C2)) Im(Y)0
• parallelresonantie van L en serieschakeling van
  C1 en C2 circulatiestroom H1 (doorlaat)
• Toepassing in modem (modulator-demodulator)

14
Vermogen in een impedantie

• vermogen P(t) v(t) i(t)
• vermogen in impedantie Z V/I
• ogenblikkelijk P(t) Vasin(?t) Iasin(?t?)
• gemiddeld P 1/T ?0T P(t)dt VaIa/2 cos?
• effectieve waarde van een wisselspanning en
  wisselstroom V Va/?2 en I Ia/?2
• gemiddeld vermogen in ZRjX
• P VIcos? cos? arbeidsfactor
• P VI (spanningvector stroomvector)
• P wordt volledig gedissipeerd in R
• P (V R/?(R2X2))2/R VIcos?
• in 1 periode is totale energie naar X nul
• naar L en C gaat geen vermogen

15
Vermogen in een impedantie
VZI
SVI
VXXI
QXI2
?
?
VRRI
PRI2
I

• impedantiedriehoek Z R jX
• spanningsdriehoek x I (zie boven links)
• vermogendriehoek nog eens x I (zie boven rechts)
• P is actief vermogen (Watt)
• P VIcos? RI2
• R V2/(R2X2) VR2/R ? V2/R
• Q is reactief vermogen (VAr)
• S is schijnbaar vermogen (VA)
• vraagjes
• Welk vermogen betaalt u thuis ?
• Wie betaalt het reactief vermogen ?
• Waarom wil de producent de cos? zo dicht mogelijk
  bij 1 ?