Logique boolenne

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Logique booléenne

• Introduction
• Yannick Chevalier
• DEUST 2002/2003

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Plan du cours

• Introduction générale
• Quest-ce que le calcul ?
• Calcul booléen
• Quelques propriétés
• Circuits.

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Introduction généraleà la logique booléenne
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But du cours de logique

• On a vu que les ordinateurs fonctionnaient avec
  des 0 et des 1
• On sait aussi quils peuvent faire beaucoup de
  choses

Lun des buts du cours est de voir comment on
passe de lun à lautre.
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Circuits et fonctions booléennes

• Point de vue matériel
• Dautre part, on réalise un processeur à partir
  de portes logiques très simples
• Comment fait-on pour aller de cette simplicité à
  la complexité dun ordinateur ?

On fera quelques exemples dans la partie
 circuits  du cours.
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Calculabilité

• Thèse de Turing  une machine de Turing peut
  calculer tous les algorithmes 
• Un ordinateur est assez proche dune machine de
  Turing
• Il y a des problèmes quon sait impossibles à
  résoudre par algorithme.
• Exemple ?

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Problème

• On cherche si il existe un programme test, qui
  prend en entrée 2 nombres représentant un autre
  programme et des données
• test calcule en un temps fini si le programme
  quon lui a donné va  boucler  si on lui donne
  les données en entrée.

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Boucle, boucle pas ?

• On peut ensuite construire un programme boucle,
  qui prend en entrée un nombre A, et termine si
  test(A,A) dit que le programme A va faire une
  boucle si on lui donne les données A (2 nombres
  !)
• Sinon, il fait une boucle infinie.

Question - que fait boucle(boucle) ?
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Qu est-ce que le calcul ?
5 4x3 5 12 17
On change 4x3 en 12 On change 512 en 17
Conclusion
Calculer, cest transformer tout en préservant la
sémantique.
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Les fonctions

• Une fonction, cest une boite noire

Fonction Transformation
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Les opérations

• Ce sont les transformations de base qui
  préservent la sémantique
• Ce sont les fonctions qui permettent de définir
  dautres fonctions.

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Le calcul booléen

• objets du calcul
• opérations
• notations
• tables de vérité.

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Objets du calcul

• On est habitué à calculer sur des nombres, on va
  calculer sur des valeurs de vérité
• Il ny a que deux nombres, 1 et 0, qui désignent
  respectivement vrai et faux
• La difficulté est de ne pas confondre le résultat
  et le calcul !

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Transformations de base

• On choisit deux variables, x et y ( il fait
  chaud  et  il y a du soleil )
• Trouver des phrases ne contenant que ces deux
  propositions (avec éventuellement une négation)
• expressions booléennes
•  x et y  ,  x ou y ,  x n est pas vraie ,
  ...

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Notation des opérations

• Si on veut que x et y soient toutes les deux
  vraies, on note x.y ( x et y )
• Si on veut qu au moins une des deux soit vraie,
  on note xy ( x ou y )
• Pour désigner le contraire de x, on note x
• ( non x ) 

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L implication

• Essayer d exprimer  Si il y a du soleil, alors
  il fait chaud  en fonction des opérations qu on
  vient de voir.
• On note  Si x alors y  x gt y ( x implique
  y )

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Jeu

• On prend un paquet de 4 cartes qui sont imprimées
  sur les deux faces.
• On cherche à savoir si la propriété  Si il y a
  une voyelle d un côté, alors de l autre coté de
  la carte, il y a un chiffre impair d imprimer.
• On voit les faces  3 ,  n ,  a  et  4 .
  Combien faut-il retourner de cartes, et
  lesquelles ?

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Tables de vérité
Question Construire la table de limplication
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Propriétés des fonctions booléennes
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Un peu de calcul
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Propriétés générales

• La plus importante est quon peut écrire
  toutes les fonctions booléennes avec , . et -

• donner les 16 fonctions booléennes à 2 variables
• les écrire en fonction de ,- et .

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Les circuits
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Introduction

• C est l étape qui permet de passer des
  mathématiques aux ordinateurs
• La conception des circuits est le point le plus
  important dans l architecture d un
  micro-processeur.
• Http//tech-www.informatik.uni-hamburg.de/applets/
  cmos/cmosdemo.html

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Réalisation dune fonction

• Les transistors permettent, avec des circuits
  élémentaires, de composer des fonctions logiques
  ,.,
• En composant ces fonctions de base, on obtient
  toutes les fonctions sur les 0 et les 1

On peut tout faire avec des circuits !