Rappels de logique des pr

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Rappels de logique des prédicatsdu 1er ordre

• G. Falquet

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Langage

• Vocabulaire symboles de variables, constantes,
  fonctions, prédicats.
• arité des fonctions et prédicats
• parenthèses
• connecteurs logiques ? ? ? ?
• quantificateurs , "

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Grammaire

• terme --gt constante variable
• terme --gt fonction ( terme, ... )
• atome --gt prédicat ( terme, ... )
• littéral --gt atome atome
• formule --gt atome  f. k f.
• formule --gt " var. f. var. f.

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Sémantique

• Interprétation I dun vocabulaire W
• domaine D
• pour chaque constante c de W, cI de D
• pour chaque symbole de fonction n-aire f,
• fonction fI de Dn dans D
• pour chaque symbole de prédicat n-aire P,
• relation PI sur Dn

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Interprétation des formules

• assigner des valeurs de D aux variables libres
• f(t1, , tn)I fI(t1I, , tnI)
• P(t1, , tn)I vrai ssi (t1I, , tnI) dans PI
• "x w(x) I vrai
• ssi w(x)x d I vrai pour tout d de D
• x w(x) I vrai
• ssi w(x)x d I vrai pour au moins un d de D

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Modèle

• Soit F w1, , wn un ensemble de formules
  fermées,
• un modèle de F est une interprétation I telle que
  w1I vrai , , wnI vrai.
• F est dit satisfaisable sil existe au moins un
  modèle de F.
• Sil nexiste pas de modèle de F on dit que F est
  inconsistant.

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Exemple

• F P(a, b), y P(a, y)
• est inconsistant

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Calculabilité (1)

• Problème prouver la satisfaisabilité de F
• Trouver un modèle
• S'il n'y a pas de variables ni de fonctions
  (logique des propositions)
• algorithme
• énumérer toutes les interprétations
• vérifier si c'est un modèle de F
• on ne peut faire mieux (NP-complet)

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Théorie logique du 1er ordre

• Approche syntaxique
• Axiomes
• Règles d'inférence
• But produire des théorèmes qui sont "vrais"
• c-à-d conséquences logiques des axiomes

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Axiomes (schémas)

• v ? (w ? v)
• (v ? (w ? u)) ? ((v ? w) ? (v ? u))
• ( w ? v) ? (( w ? v) ? w)
• "x w ? w(t/x)
• où t est un terme qui est librement
  substituable pour x dans w
• ("x (v ? w)) ? (v ? "x w)
• si v ne contient aucun occurrence libre de x.

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Règles

• Modus ponens
• u ? v, u --gt v
• Généralisation
• u --gt "x u

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Bonnes propriétés

• La théorie est
• valide (sound), tout théorème déduit à laide des
  règles est une tautologie (valide)
• consistante, il ny a pas de formule w telle que
  w et w
• complète, toute tautologie est un théorème
• on a un théorème de déduction.
• si u --gt v alors --gt (u ? v)
• sous quelques conditions

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Théories "pratiques"

• Remplacer les deux règles MP et GENpar des
  règles "plus efficaces"
• p.ex. principe de résolution de Robinson
• Utiliser des équivalences
• u ? v u ? v, etc.
• normaliser les formules

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Calculabilité (2)

• Il n'y a pas d'algorithme de test de
  satisfaisabilité
• On peut appliquer les règles d'inférence mais on
  ne peut prédire l'arrêt
• L'ensemble des formules fermées non satisfaisable
  est récursivement énumérable mais pas récursif
• il y a un algorithme qui répond "non sat." ou
  tourne indéfiniment, c'est tout ce qu'on peut
  faire