Introduction la logique

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Introduction à la logique
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Introduction aux fonctions logiques

• Systèmes binaires
• Deux états fondamentaux et distincts
• Vrai/Faux, Marche/Arrêt, Oui/Non.
• Par convention
• Un état est représenté par  0 
• Lautre est représenté par  1 .

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La logique Booléenne

• En 1847, George Boole invente une algèbre pour
  traiter les variables binaires.
• Il définit 3 opérateurs de base, ainsi quune
  foule de règles et de postulats.

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Types de représentation

• Les fonctions logiques peuvent être représentées
  de plusieurs façons
• Équations logiques
• Tables de vérités
• Logigrammes
• Diagrammes échelle (Ladder)
• Ces représentations seront introduites avec les
  fonctions de base...

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Fonction logique NON

• En anglais NOT
• Représentation
• S A ou S /A

S
S
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Fonction logique ET

• En anglais AND
• Représentation
• S A B

S
S
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Fonction logique OU

• En anglais OR
• Représentation
• S A B

S
S
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Fonction logique NON-ET

• En anglais NAND
• Représentation
• S A B

S
S
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Fonction logique NON-OU

• En anglais NOR
• Représentation
• S A B

S
S
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Fonction OU-EXCLUSIF

• En anglais EXOR
• Représentation
• S A B

/BAB/A
S
/BA
S
B/A
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Fonction NON OU-EXCLUSIF

• En anglais EXNOR
• Représentation
• S A B

/B/ABA
/B/A
S
S
BA
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Fonctions logiques utilisant des interrupteurs

• En électronique, on représente les fonctions
  logiques avec des logigrammes.
• En automatisation, on utilise des interrupteurs
  et des relais pour représenter les fonctions
  logiques.

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Fonction logique NON

• Interrupteur normalement fermé

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Fonction logique ET

• Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en
  séries.

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Fonction logique OU

• Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en
  parallèles.

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Fonction logique NON-ET

• Utilise deux interrupteurs normalement fermés en
  parallèles.

17
Fonction logique NON-OU

• Utilise deux interrupteurs normalement fermés en
  séries.

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Fonction OU-EXCLUSIF

• Utilise deux interrupteurs à deux contacts

19
Fonction NON OU-EXCLUSIF

• Utilise deux interrupteurs à deux contacts

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Fonctions logiques utilisant des relais

• En automatisation, on utilise les relais pour
  réaliser des fonctions logiques.
• Le relais est une composante électromécanique.

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Fonction logique NON

• Relais avec un contact normalement fermé

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Fonction logique ET

• Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en
  séries.

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Fonction logique OU

• Utilise 2 relais avec des contacts N.O. en
  parallèles.

24
Fonction logique NON-ET

• Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en séries.

25
Fonction logique NON-OU

• Utilise 2 relais avec des contacts N.F. en
  parallèles.

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Fonction OU-EXCLUSIF

• Lampe K L /K.L K./L

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Fonction NON OU-EXCLUSIF

• Lampe M N M.N /M./N

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Lalgèbre Booléenne

• Fermeture
• Si A et B sont des variables Booléennes, alors
  AB, AB sont aussi des variables Booléennes.
• Commutativité
• A B B A
• A B B A

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Lalgèbre Booléenne

• Associativité
• A (B C) (A B) C
• A (B C) (A B) C
• Distributivité
• ET/OU A(B C) AB AC
• OU/ET A(BC) (AB)(AC)

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Lalgèbre Booléenne

• Idempotence
• A A A
• A A A
• Complémentarité
• A A 1
• A A 0

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Lalgèbre Booléenne

• Identités remarquables
• 1 A 1 et 1 A A
• 0 A A et 0 A 0
• Distributivité interne
• A (B C) (A B) (A C)
• A (B C) (A B) (A C)

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Table de vérité vs logigrammes

• Pour une table de vérité donnée, nous pouvons
  trouver léquation logique et le logigramme (ou
  diagramme échelle) correspondant
• Il faut utiliser lalgèbre de Boole pour
  simplifier.

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Exemple

• Trouver léquation de S.

34
Exemple

• Solution
• On construit léquation de S en écrivant tous les
  termes donnant S1.
• Ainsi, S 1
• si C0 et B1 et A0
• ou si C0 et B1 et A1
• ou si C1 et B0 et A1
• ou si C1 et B1 et A0.

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Exemple

• On peut donc écrire
• S /C.B./A /C.B.A C./B.A C.B./A
• On peut simplifier
• S /C.B B./A C./B.A
• Autre solution possible
• S /C.B C.(A?B)

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Logigramme (non-simplifié)
37
Logigramme (simplifié)
38
Si nous utilisions des relais...

• S /C.B B./A C./B.A B.(/C /A) C./B.A

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Conclusion de lexemple

• Cet exemple démontre que la simplification est
  essentielle.
• Il faut avoir le circuit le plus simple que
  possible...
• La simplification peut être un processus long si
  le système est complexe.
• Heureusement, il existe des techniques simples
  pour simplifier.