Logique et raisonnement scientifique

1
Logique et raisonnement scientifique

• cours transversal
• Collège Doctoral
• Pr. Alain Lecomte

2
6- Faut-il brûler la logique classique?

• 6-1. Les logiques modales

3
C. I. Lewis, 1918 les  paradoxes  de
limplication matérielle

• (1)
• (2)
• ad impossibile sequitur quodlibet
• Ex si  leau bout à 100  est vraie, alors il
  est vrai que  si Charlemagne fut empereur, alors
  leau bout à 100 
• Distinguer une  implication stricte  dune
  implication matérielle?

4
Implication stricte

• P implique strictement Q si et seulement sil est
  impossible que P soit vrai sans que Q le soit
• Fait intervenir la notion de modalité

5
une idée pas neuve

• Aristote, Premiers Analytiques
• cf. discussion sur laporie de Diodore Kronos (J.
  Vuillemin, 1984)

6
Aporie de Diodore - 1

• A le passé est irrévocable,
• B si q suit nécessairement de p, alors sil
  nest pas possible que q, il nest pas possible
  que p
• C il y a des possibles qui ne se réaliseront
  jamais,
• D de ce qui se réalise il na jamais été vrai
  quil ne se réalisera pas,
• E de ce qui ne se réalise pas et ne se
  réalisera jamais, il a été vrai (à quelque
  moment) quil ne se réalisera jamais

7
Aporie de Diodore - 1

• A le passé est irrévocable,
• B si q suit nécessairement de p, alors sil
  nest pas possible que q, il nest pas possible
  que p
• C il y a des possibles qui ne se réaliseront
  jamais,
• D de ce qui se réalise il na jamais été vrai
  quil ne se réalisera pas,
• E de ce qui ne se réalise pas et ne se
  réalisera jamais, il a été vrai (à quelque
  moment) quil ne se réalisera jamais

• Pp ? ?M?Pp
• L(p ? q)?(?Mq ? ?Mp)
• ?(Mp ? p ? Fp)
• p ? ?P?Fp
• ?p ? ?Fp ? P?Fp

8
Aporie de Diodore - 2

• toute thèse étant nécessaire (axiome de
  nécessitation), on a  L(p ? ?P?Fp) (par D)
• ?p ? ?Fp ? P?Fp (par E)
• P?Fp ? ?M?P?Fp (par A)
• ?p ? ?Fp ? ?M?P?Fp par transitivité (syllogisme)
• L(p ? ?P?Fp) ? (?M?P?Fp ? ?Mp) (par B)
• ?M?P?Fp ? ?Mp (par modus ponens appliqué à 1 et
  5)
• ?p ? ?Fp ? ?Mp (par 4, 6 et transitivité)
• Mp ? p ? Fp (contraposition de 7), autrement
  dit  ?C.

9
Intérêt des logiques modales

• Introduire
• le temps dans la logique (logique temporelle)
  sous laspect dopérateurs tels que P et F (passé
  et futur),
• les considérations de contingence et de nécessité
  (logique aléthique),
• celles de permission et dobligation (logique
  déontique)
• les notions de savoir et de croyance (logiques
  épistémiques et doxastiques).

10
opérateurs

• logique aléthique  le nécessaire est le dual du
  possible
• logique déontique  lobligatoire est le dual du
  permis
• logique de la prouvabilité le prouvable est le
  dual du  consistant avec 
• ?p ? ???p

11
Premières approches Lewis et Langford, 1932

• Présentation à la Hilbert

12
Lapproche syntaxique (2)

• Interprétation  naturelle 
• ?p  il est nécessaire que p 
• La logique modale (propositionnelle) est une
  extension du calcul propositionnel
• Toute logique modale doit contenir comme
  théorèmes au minimum toutes les tautologies du
  CP,
• Comme il existe une procédure pour les déterminer
  (décidabilité), on peut admettre que chaque
  tautologie du CP est prise comme axiome

13
Lapproche syntaxique (3)

• axiomes  propres , permettant de manipuler
   ? 
• Axiomes CP toute formule ayant la forme dune
  tautologie
• Axiome K ?(???) ? (??? ??)
• Règles modus ponens
• ? ???
• ?
• nécessitation ?
• ??

14
Lapproche syntaxique (4)

• Règles dérivées
• Théorème ?(???) ? ??
• Preuve
• (???) ? ? - axiome CP -
• ?((???) ? ?) - nécessitation -
• ?((???) ? ?) ? (?(???) ? ??) - axiome K -
• ?(???) ? ?? - modus ponens

15
Lapproche syntaxique (5)

• Règles dérivées
• Théorème ?(???) ? (??? ??)
• Preuve ?
• ?(???) ? ?? - th1-
• ?(???) ? ?? - th1-
• ?(???) ? (?????) - règle du CP -
• ?
• ? ? (? ? (???)) - axiome CP -
• ?? ? ?(? ? (???)) - ltvérifier!gt -
• ?(? ? (???)) ? (?? ? ?(???)) - axiome K -
• ?? ? (?? ? ?(???))
• ?? ? ?? ? ?(???)

16
Lapproche syntaxique (6)

• Théorème de la déduction
• Théorème si ?1,?2 ?n,? ? alors ?1,?2 ?n
  ???
• Preuve
• Supposons ?1,?2 ?n,? ?, alors ? dérivable à
  partir de ?1,?2 ?n,? et de théorèmes ?1, ?m en
  utilisant seulement la règle de modus ponens (cf.
  restriction sur nécessitation), donc ?1,
  ?m,?1,?2 ?n,? ? dans le CP, doù par le
  théorème de la déduction dans CP ?1?(? (?m
  ? (?1 ? (?2 ? (?n ? (? ? ?)))))). Cette
  formule est une tautologie de CP, donc un axiome
  1 de K. Puisque ?1, ?m sont des théorèmes dans
  K, on obtient par MP ?1 ? (?2 ? (?n ? (? ?
  ?))). En utilisant encore MP ?1,?2 ?n ???

17
Lapproche syntaxique (7)

• Problèmes avec lapproche syntaxique
• il est  facile  dimaginer toutes sortes de
  systèmes daxiomes du genre
• ????, ??? ?? ?, ??? ? ?, etc.
• mais quel sens cela a-t-il véritablement?
• (insuffisance de notre intuition)
• ? Besoin dune approche sémantique

18
Sémantique de la logique modale

• Sémantique dite  de Kripke 
• Deux notions-clés
• Monde possible
• Relation daccessibilité

19
La théorie des mondes possibles
20
Semantic frame

• Un  frame  F est un couple (W, ?) où
• W un ensemble non vide (de  mondes
  possibles )
• ? une relation binaire sur W
• Un modèle (de Kripke) sur F est un couple (F, V)
  où
• F est un  frame 
• V est une application de p1, p2, , pn ? W dans
  0,1 (à chaque lettre propositionnelle et chaque
  monde possible une valeur de vérité)

21
Sémantique (3)

• Si dans le modèle M, V(p, w) 1
• (p une lettre propositionnelle, w un monde), on
  écrit
• VM,w(p) 1 ou
• M,w p ou encore w M p
• On étend V à toute formule au moyen de
• VM,w(???) 1 ssi VM,w(?) VM,w(?) 1
• VM,w(???) 0 ssi VM,w(?) VM,w(?) 0
• VM,w(??) 1 ssi VM,w(?) 0
• VM,w(?) 1 ssi pour tout w tel que w?w,
  VM,w(?) 1

22
Sémantique (4)

• ? ? ?
• (? découle sémantiquement de lensemble de
  prémisses ?)
• On définira ? ? par
•  pour tout M et tout w, si w ? pour tout ?
  dans ?, alors w ? 
• ie si, quel que soit le modèle M, tout monde
  possible pour M qui admet toutes les formules de
  ? vraies, admet aussi ? pour vraie,
• alors on dit que ? est une conséquence de ?

23
Correction de la sémantique par rapport à K

• Si K?, alors ?
• Dém par récurrence sur la longueur de la
  dérivation. Cas de base ? est un axiome, alors
  on vérifie que ? est bien vraie quel que soit le
  modèle M.
• Hyp de récurrence vrai pour une dérivation de
  longueur ? n.
• Soit une dérivation de longueur n1, supposons
  que son dernier pas soit une application de la
  règle de nécessitation, alors cela signifie que ?
  est obtenue par cette règle au moyen dune
  formule p de longueur de dérivation ? n et que ?
  ?p. Supposons que ? ?p. alors il existerait un
  monde w tel que w ? ?p. Donc il existerait un
  monde w tel que w?w et w ? p et on aurait ?
  p, ce qui est contradictoire avec lhypothèse de
  récurrence.

24
Liens entre propriétés de ? et formules vraies
dans une logique modale

• Supposons que nous prenions comme axiome
  supplémentaire, la formule
• ?? ? ?
• Quelle est sa signification en termes de
   frame  ou de  relation daccessibilité ?

25

• Si ? est vraie dans tout monde accessible au
  monde actuel w0, alors ? est vraie dans ce monde
  actuel
• Autrement dit w0 fait partie de ces mondes
  accessibles à partir de lui-même
• w0 ? w0
• Autrement dit ? est réflexive

26
?? ? ?
w0
??
27
?? ? ?
?
w2
?
w1
?
w3
w0
?
w7
?
w4
?
w6
w5
?
28
?? ? ?
?
w2
?
w1
?
w3
w0
??
?
w7
?
w4
?
w6
w5
?
29
?? ? ?
?
w2
?
w1
?
w3
w0
??
?
w7
?
w4
?
w6
w5
?
30
Propriétés de ? et formules vraies

• Idem pour
• ?? ? ???
• Si ? est vraie dans tout monde accessible au
  monde actuel w0, alors cest le cas également de
  ??
• Pour que ?? soit vraie dans tout monde w
  accessible à w0, il faut que ? soit vraie dans
  tout monde accessible à tout monde w accessible à
  w0.
• Donc la formule exprime le fait que si ? est
  vraie dans tout monde accessible à w0, alors elle
  est encore vraie dans tout monde accessible à
  tout monde accessible à w0.

31

• ceci est assuré si
• ? est transitive

32
?? ? ???
w0
??
33
?? ? ???
?
w2
?
w1
?
w3
w0
?
w7
?
w4
?
w6
w5
?
34
?? ? ???
?? ? ?
w0
?
w6
w5
?
35
?? ? ???
??? ?
w0
??
w6
w5
??
36
?? ? ???
??? ?
w0
?
?
w6
?
w5
?
?
?
37
?? ? ???
??? ?
w0
?
?
?
w6
?
w5
?
?
?
?
38

• Quen est-il de
• ??? ? ? ?

39

• Sil existe un monde possible accessible au monde
  actuel où ?? est vraie, alors ? est vraie dans le
  monde actuel
• Soit w1 ce monde, dire que ?? est vraie dans w1,
  cest dire que ? est vraie dans tout monde
  possible accessible à w1
• Si on veut que toujours en ce cas, ? soit vraie
  dans w0, il suffit que w0 soit toujours
  accessible à w1
• Et ce, quel que soit le monde w1 accessible à w0
• Donc que ? soit symétrique

40
Caractérisation dun frame

• ? caractérise une propriété de ? si et seulement
  si tout frame ltW, ?gt ayant cette propriété admet
  ? comme formule vraie
• une relation ? est dite euclidienne si et
  seulement si
• ?x?y?z x ? y ? x ? z ? y ? z

41
Caractérisation (2)

• ?? ?? (axiome T) caractérise les frames réflexifs
• ?? ? ??? (axiome 4) caractérise les frames
  transitifs
• ??? ? ? (axiome B) caractérise les frames
  symétriques
• ?? ? ??? (axiome 5) caractérise les frames
  euclidiens

42
Différentes logiques

• On a vu K (pas de propriété particulière de ?)
  (logique modale minimale)
• K ?? ? ? logique T
• T ?? ? ??? logique S4
• S4 ?? ? ??? logique S5
• si on ajoute ? ? ?? collapsus (retour à CP)

43
complétude

• Chacune de ces logiques est complète par rapport
  à son cadre
• Propriété du modèle fini
• Un système S possède cette propriété si et
  seulement sil existe une sémantique pour S telle
  que, pour toute formule qui peut être rendue
  fausse sur un certain modèle, elle peut
  nécessairement lêtre aussi sur un modèle fini.
• Les systèmes modaux possèdent la propriété du
  modèle fini

44
Une conséquence décidabilité

• K, T, S4, S5
• Axiomatisables ? on peut énumérer les déductions
  possibles D1, D2, Dn, .
• Complètes ? si ? non démontrable, alors ? a un
  contre-modèle
• Pté modèle fini ? se contenter de contre-modèles
  finis ? on peut énumérer les modèles finis M1,
  M2, , Mk,
• faire suite alternée D1, M1, D2, M2, . Dn, Mn,
  .
• tôt ou tard soit une preuve de ?, soit un
  contre-modèle de ?

45
discussion (1)

• ?? ? ?
• modalités ontiques
• sil est nécessaire que ?, alors ?
• modalités épistémiques
• sil est su que ?, alors ?
• mais
• sil est cru que ?, alors ?
• modalités déontiques
• sil est obligatoire que ?, alors ?

46
discussion (2)

• ?? ? ???
• modalités ontiques
• la nécessité de la nécessité la nécessité
  (clôture)
• modalités épistémiques
• sil est su que ?, alors il est su quil est su
  que ? ? (conscience du savoir)
• si je crois que ?, alors je crois que je le
  crois?
• plutôt je sais que je le crois
• modalités déontiques
• sil est obligatoire que ?, alors il est
  obligatoire que cela soit obligatoire

47
discussion (3)

• ?? ? ???
• modalités ontiques
• la possibilité est toujours nécessaire
• modalités épistémiques
• si jignore que non- ?,alors je sais que je
  lignore
• modalités déontiques
• sil est permis que ?, alors il est obligatoire
  que cela soit permis

48
Problèmes de la logique déontique

• O? ? O(? ? ?)
• Est-ce que, si je dois payer mes impôts avant le
  15 mars, je dois payer mes impôts ou regarder
  passer lIsère ?
• Pb avec K O(???) ? (O?? O?)
• Sil est obligatoire dacheter son billet pour
  aller à Nantes, si je dois aller à Nantes, je
  dois acheter mon billet
• mais si je ny vais pas?

49
Logique épistémique (1)

• ?
• K?
• toute vérité (logique) est connue!
• (omniscience)
• Axiome K si x sait que A ? B alors sil sait A,
  il sait B ( distribution )
• Connaissance x sait que ? ? ?
• Modus ponens

50
Logique épistémique (2)

• 4  Ki? ? Ki Ki ?
• Axiome de lintrospection positive
• 5 ?Ki? ? Ki? Ki?
• Axiome de lintrospection négative
• B ?Ki?Ki? ? ? ???

51
Logique épistémique (3)

• Mondes possibles
• un agent i sait une chose dans un monde actuel w0
  si et seulement si cette chose est vraie dans
  tous les mondes que i peut se représenter à
  partir de ce monde actuel, autrement dit les
  mondes alternatifs quil peut concevoir en
  laissant fixes par ailleurs toutes les autres
  connaissances quil possède, y compris bien sûr
  celle des lois de la logique.

52
Problèmes de la logique épistémique

• Le paradoxe de la connaissabilité (Fitch, 1963)
• Sil existe une vérité inconnue, alors le fait
  que ce soit une vérité inconnue est lui-même
  inconnaissable!
• donc si on admet que toute vérité peut-être
  connue, il nexiste pas de vérité inconnue!
• ou si toutes les vérités sont connaissables
  elles sont toutes connues!

53
La preuve

• 1) admettons (KP) ?p (p ? ?Kp)
• (toute vérité peut être connue)
• supposons que nous soyons non omniscient
• (NonO) ?p (p ??Kp)
• (il y a une vérité non connue)
• donc, soit p telle que p ??Kp
• (KP) (p ??Kp) ? ?K(p ??Kp)
• (MP) ?K(p ??Kp)

54
La preuve

• mais
• 2) on a prouvé (A) K(p ? q) ? Kp ? Kq
• on a laxiome K (B) Kp ? p
• supposons K(p ??Kp), (hyp. abs.) alors
• par (A) Kp ?K?Kp
• par (B) Kp ? ?Kp contradiction
• donc ?K(p ??Kp)
• donc ??K(p ??Kp) nécessitation
• donc ??K(p ??Kp)

55
La preuve

• donc une contradiction découle de (KP) (NonO)
• Si on veut que toute vérité soit connaissable, il
  faut nier que lon soit non omniscient
• ??p (p ??Kp) doù il découle ?p ?(p ??Kp)
  cest-à-dire ?p ??(p ?Kp) doù ?p (p ? Kp)
• (toute vérité est connue)

56
Solution  intuitionniste 

• en logique intuitionniste, lélimination de la
  double-négation nest pas valide,
• ??(p ?Kp) /gt (p ? Kp)
• nous avons ?p ?(p ??Kp)
• nous navons pas de moyen de trouver une vérité p
  que nous ne connaissons pas ! (car alors, on la
  connaîtrait !)

57
Deux conceptions du savoir

• Une conception  réaliste 
• Les  vérités  sont dans le monde et elles sont
  à connaître. A un certain moment, certaines sont
  connues et dautres non (paradigme de la
   découverte )
• Le réaliste est classique
• Une conception  anti-réaliste  ou
   constructiviste 
• Il ny a pas de vérité en dehors du sujet
  connaissant. Toute vérité est une construction,
  donc par définition, on les connaît toutes !
• Lanti-réaliste est intuitionniste

58
Les problèmes de la connaissance partagée
paradoxe de Conway

• 5 enfants jouent, à qui on a demandé de surtout
  ne pas se salir, mais 3 dentre eux ont reçu sans
  sen rendre compte de la boue sur le front. On
  suppose quils sont très intelligents (!) et ne
  répondent que quand on leur pose une question.
• Le père arrive et dit une première fois au
  moins lun de vous a de la boue sur le front,
  est-ce que chacun de vous peut me dire sil a de
  la boue sur le front?
• Ils répondent tous non , évidemment
• Le père redit exactement la même chose même
  réponse
• Puis le père redit encore une fois la même chose
  et là, chaque enfant sali est capable de donner
  la bonne réponse
• Pourquoi?

59
paradoxe de Conway (solution)

• Par récurrence sur le nombre k denfants ayant de
  la boue sur le front
• k 1 lenfant qui a de la boue voit bien que
  les autres nen ont pas, il en déduit que cest
  lui qui sest sali
• Hypothèse de récurrence sil y a k enfants
  salis, alors chaque enfant sali donne la bonne
  réponse à la kème formulation de la question
• Induction imaginons quil y ait k1 enfants avec
  de la boue sur le front, si à la kème formulation
  de la question, tout le monde répond toujours
  non , cest, daprès lhypothèse de récurrence
  que le nombre denfants ayant de la boue sur le
  front est supérieur à k. Comme chaque enfant sale
  voit bien quil y en a exactement k autres que
  lui qui ont également de la boue sur le front, il
  en déduit que lui aussi a de la boue sur le front.

60
Pourquoi ce paradoxe a-t-il un lien avec la
circularité?

• Ce qui est bizarre
• Le fait que répéter plusieurs fois de suite la
  même information change la situation!
• Imaginons kgt1 en ce cas, chaque enfant sait
  quau moins un enfant a de la boue sur le front,
  on pourrait dire inutile donc de le leur dire
  , or le fait de dire cette information change
  les choses
• Quel est donc le statut de cette information qui
  est dite ?

61
Information partagée

• En la disant, linformation est rendue publique,
  elle devient partagée
• Autre exemple jouer aux cartes avec jeu à
  découvert et jouer aux cartes avec jeu caché mais
  en trichant et en regardant le jeu de son voisin
• Premier cas le joueur A connaît le jeu du joueur
  B mais le joueur B le sait et le joueur A sait
  que le joueur B sait quil le connaît, et ainsi
  de suite!
• Linformation est publique, ou partagée
• (le joueur A sait que le joueur B sait que le
  joueur A connaît son jeu etc.)
• Deuxième cas le joueur B ne sait pas que le
  joueur A connaît son jeu et le joueur A sait que
  le joueur B ne sait pas quil connaît son jeu
• Linformation est privée

62
Formaliser la connaissance partagée

• Que signifie le fait quun groupe dagents
  connaît ? ?
• DG?  le groupe G a la connaissance
   distribuée  de ?. Si quelquun connaissait
  tout ce que les membres de G connaissent, alors
  il connaîtrait ?.
• SG?  quelquun dans G connaît ? .
• EG?  tout le monde dans G connaît ? .
• EGk?  EG1?  EG? 
• EGk1?  EGEGk?.
• CG?  ? est  connaissance partagée  dans G 
  CG?  EG? ? EG2? ? ? EGk? ?

63
Alice et Bob

• Considérons par exemple le cas où k 2,
• Considérons létat de connaissance dun enfant.
  Prouvons que, avant que le père parle,
  EGk-1? est le cas, mais pas EGk?.
• Alice et Bob sont les deux seuls enfants qui ont
  de la boue sur le front.
• Chaque enfant voit au moins un enfant qui a de la
  boue sur le front, donc  EG?.
• Toutefois, Alice voit un seul enfant ayant de la
  boue sur le front. Elle peut très bien supposer
  quil est le seul à avoir de la boue sur le
  front, auquel cas, elle pense que Bob ne sait pas
  quun enfant a de la boue sur le front.
• Autrement dit, elle ne sait pas que Bob sait
  quau moins un enfant a de la boue sur le front,
• ce qui signifie quon na pas EG2?.

64
suite

• Or, dans le cas présent, il faut quelle sache
  que Bob sache aussi quil y a au moins un enfant
  qui a de la boue sur le front pour quelle puisse
  déduire quelle en a nécessairement.
• Autrement dit, EG? ne suffit pas, mais
  EG2? suffirait.
• Or pour être sûr que tout le monde (même Bob, du
  point de vue dAlice) sait quau moins un enfant
  a de la boue sur le front, il suffit quune
  personne extérieure le dise.
• Autrement dit, lénoncé du père a cette fonction.
  
• Dès que le père a parlé, les enfants ont une
  connaissance partagée de ce fait  quand le père
  énonce ?, les enfants savent que ? (autrement
  dit  EG?) et que le père a énoncé ?  donc
  chaque enfant sait aussi que les enfants savent
  que ?  (EG2?). Donc, quand le père énonce ?,
  chaque enfant sait que ?, que EG? et que EG2?,
  donc on a EG3?. Et ainsi de suite

65
Un énoncé  point fixe 

• Si on identifie  le père énonce ?  et EG(? ?
   le père énonce ? ), on a 
•  le père énonce ?  EG(? ?  le père énonce
  ? )
• EG(? ? EG(? ?  le père énonce ? ))
• EG(? ? EG(? ? EG(? ?  le père énonce
  ? ))) etc.
• une solution de léquation ? EG(???)
• ou encore 
•  le père énonce ?  EG(?) ? EG2? ? EG3? ? ?
  EGk? ? .
• Or, il sagit là exactement de lopérateur de
  connaissance partagée.

66
Information partagée (2)

• Comment représenter linformation partagée?
• Supposons que A, B et C acquièrent à partir dun
  évènement e la connaissance partagée dun fait ?,
  alors on a simultanément
• e ? (lévènement e est tel que ? soit vrai)
• e A sait e (lévènement e est tel que A sait
  que e)
• e B sait e id
• e C sait e id

67
Information partagée (3)

• On peut donc caractériser un évènement minimal e
  comme le plus petit supportant tous ces faits,
  dun point de vue ensembliste
• e ?, A sait e, B sait e, C sait e
• Ce qui donne une structure circulaire

68
Information partagée (4)

• e ?, A sait e, B sait e, C sait e
• e ?, A sait ?, A sait e, B sait e, C sait e
  , B sait e, C sait e
• e ?, A sait ?, A sait e, B sait e, C sait e
  , B sait ?, A sait e, B sait e, C sait e , C
  sait ?, A sait e, B sait e, C sait e
• etc.

69
e
A sait
?
B sait
C sait
70
Les tableaux

• Chaque monde est représenté par un tableau à deux
  colonnes
• Dans lune on met ce qui est vrai en ce monde
• Dans lautre on met ce qui est faux en ce monde
• Dès quune proposition vient sinscrire dans les
  deux colonnes dun même tableau on a une
  contradiction

71
S4 ?(p ? q) ? ?(?p ? ?q)

• Supposons que cela soit faux
• Alors il existe un monde w où elle est fausse,
  cest-à-dire où ?(p ? q) est vrai mais ?(?p ? ?q)
  faux,
• Si ?(?p ? ?q) est faux dans w, alors il existe un
  monde w accessible à w où ?p ? ?q est faux,
  cest-à-dire où ?p est vrai mais ?q faux,
• Si ?q est faux dans w alors il existe un monde
  w accessible à w où q est faux,
• Comme laccessibilité est transitive, w est
  accessible à w, donc p ? q y est vrai, de même
  que p puisque w est accessible à w, doù q
  devrait y être vrai, or il est faux

72
S4 ?(p ? q) ? ?(?p ? ?q)
w
?w
V
F
V
F
(1) ?(p ? q) ? ?(? p ? ?q)
V
F
(8) q
73
Logiques temporelles

• A. N. Prior, 1967 Past, Tense and Future
• G se traduit par   il sera toujours le cas 
• H   il a été toujours le cas 
• F   il sera au moins une fois le cas 
• P   il a été au moins une fois le cas 

74
Sémantique des logiques temporelles

• un couple (T, lt) (au lieu de (W, ?)) où T est un
  ensemble non vide dinstants et où  lt  est la
  relation dantériorité entre instants

75
Axiomes courants

• CP  toutes les tautologies du CP
• K1  G(???)? (G??G?)
• K2  H(???)? (H??H?)
• Axiome 3  PG???, FH???

76
Sémantique - 2

• T une suite totalement ordonnée, sans origine ni
  fin?
• Au minimum un  ordre linéaire strict 
• R est transitive
• R est irréflexive
• R est faiblement connexe

77
Sémantique - 2

• Au minimum un  ordre linéaire strict 
• R est transitive
• G? ? GG?, et H? ? HH?
• R est irréflexive
• ???
• R est faiblement connexe
• ???

78
Sémantique - 3

• Des propriétés plus faibles
• Une relation R est dite non branchante vers le
  futur si et seulement si 
• Une relation R est dite non branchante vers le
  passé si et seulement si 

79
Sémantique - 3

• Des propriétés plus faibles
• Une relation R est dite non branchante vers le
  futur si et seulement si 
• Fp ? G(p ? Pp ? Fp),
• Une relation R est dite non branchante vers le
  passé si et seulement si 
• Pp ? H(p ? Pp ? Fp)
• Densité du temps
• GG? ? G?, et HH? ? H?.

80
le temps branchant

• On peut combiner des modalités
• Par exemple ?, ? et G, H (il sera toujours le cas
  que, il a été toujours le cas que, avec leurs
  duales F - il sera au moins une fois que - et P
  il a été au moins une fois que -)
• Admettons que les mondes possibles aient un axe
  temporel commun
• VM,w,t(??) 1 ssi pour tout w tel que wRw
  VM,w,t(?) 1
• VM,w,t(G?) 1 ssi pour tout t tel que tltt
  VM,w,t(?) 1
• Mais laccessibilité entre les mondes change avec
  le temps!
• VM,w,t(??) 1 ssi pour tout w tel que wRtw
  VM,w,t(?) 1

81
représentation du temps branchant

• Idée wRtw ssi w et w ont eu la même
   histoire  jusquà t
• t0 t1 t2 t3 t4

82
formalisation des contrefactuels

• Si Pierre était venu, il aurait rencontré Marie
• p Pierre vient
• q Pierre rencontre Marie
• P(?p??(p ? Fq))
• Il a été une fois dans le passé un monde où p
  était faux et où dans tous les mondes alternatifs
  possibles à ce monde où p était vrai, il allait
  être le cas au moins une fois dans le futur que q

83
Pas si simple

• P(?p??(p ? Fq))
• P(?p??((p ? r) ? Fq))
• Alors sil est vrai que
• Si Pierre était venu il aurait rencontré Marie
• est-il vrai que
• Si Pierre était venu et en venant sétait tué
  sur la route, il aurait rencontré Marie ?

84
Pas si simple

• Si Pierre était venu, toutes choses étant égales
  par ailleurs, il aurait rencontré Marie
• ?(p ? q) ?  q est vrai dans tous les mondes
  alternatifs où p est vrai ,
• ?(p ? q)  q est vrai dans tous les mondes
  alternatifs où p est vrai, tout autre état de
  choses demeurant constant 
• --gt introduction dune relation de similarité
  entre les mondes

85
Temps branchant suite -

• Une représentation très  réaliste  du temps
  les mondes existeraient indépendamment
• des histoires parallèles
• cf. Many-Worlds Interpretation of Quantum
  Mechanics, Everett, 1957
• chaque fois quune expérience quantique a lieu,
  avec différents résultats (cf. fentes de Young),
  tous les résultats sont obtenus, chacun dans un
  monde différent, même si nous ne sommes avertis
  que du monde comportant le résultat que nous
  avons vu !!!

86
Autres conceptions du temps

• Clausewitz  en raison de leurs conséquences,
  les évènements possibles doivent être jugés comme
  réels 
• tout possible se réalise, soit dans le présent,
  soit dans le futur
• un changement dans la conception de la liberté?
• lavenir un point fixe à déterminer?

87
L'irréel n'a pas d'être, le réel ne cesse jamais
d'être