Logique et raisonnement scientifique

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Logique et raisonnement scientifique

• cours transversal
• Collège Doctoral
• Pr. Alain Lecomte

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1. Un sommaire et quelques idées

• de la logique - argumentation à la logique des
  processus

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• Quest-ce que la logique?
• Un truc de philosophe?
• Un truc de matheux?
• La science du raisonnement?
• oui lequel?
• Létude du  vrai ?
• Une idée les discours
• Évaluer leur cohérence
• Largumentation, le dialogue
• Quels discours?
• Les mathématiques
• Frege  Après que la mathématique se fut pour
  un temps écartée de la rigueur euclidienne, elle
  y revient, et non sans de vifs efforts pour la
  dépasser  (Les Fondements de lArithmétique) 

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suite

• Cest tout? Seulement les mathématiques?
• Déjà beaucoup
• Et puis non, pas seulement les mathématiques
• Les mathématiques comme  laboratoire 

5
suite

• Une vieille histoire
• Une vieille histoire (1) Aristote, logique
  antique et logique médiévale, la disputatio,
  largument de Saint-Anselme,  fallacies , des
  logiques exotiques
• Une vieille histoire (2) Kant, Husserl,
  Cavaillès, Wittgenstein
• Une vieille histoire (3) la rencontre avec les
  mathématiques, Cantor, Dedekind, Frege

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suite

• La crise des fondements et le  programme de
  Hilbert 
• Comment peut-on être sûr quune théorie est
  correcte? Quelle est  vraie ?
• En refaisant tous ses raisonnements avec des
  moyens dont on est sûr idée de Hilbert
• Peut-on définir le  vrai ?
• Le concept de vérité dans les langages formalisés
  Tarski ? théorie des modèles, langue /
  métalangue
• Peut-on démontrer tout ce qui est  vrai  ?
• Théorèmes dincomplétude Gödel

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suite

• Le rôle de lintuitionnisme
• Une réaction contre le formalisme Brouwer
• Une présentation de la logique intuitionniste
  (Heyting)
• Quest-ce quelle apporte?
• Quelques surprises interprétation de Kripke
• Comment le savoir croît

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Le rôle de lintuitionnisme

•  doutes sur le tiers exclu  Brouwer, 1908
•  La fonction des principes logiques nest pas de
  diriger les raisonnements mathématiques appliqués
  à des réalités empiriques, mais de décrire, dans
  le langage des raisonnements, les régularités qui
  ont été obéies.
• Si on sexprime en langage en suivant ces
  régularités, et en perdant le contact des
  systèmes mathématiques, on court le risque de
  paradoxes tels que lEpiménide .

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Le rôle de lintuitionnisme-2

• Syllogisme non contestable (simple idée
  demboîtement de systèmes)
• Contradiction idem ( leffectuation de
  lemboîtement dun système a dans un système b
  dune façon déterminée, et vle fait de se heurter
  à limpossibilité de cet emboîtement, sont
  mutuellement incompatibles 
• Tiers exclu ?

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Interrogation sur les concepts fondamentaux

• Faut-il modifier la logique?
•  Si A alors B  une pure question
  darrangement de valeurs de vérité,
• Une  implication stricte ? (Lewis)
• Vers les logiques modales

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Logiques modales

• Vous avez dit  modale ?
• Le nécessaire et le possible
• Lobligatoire et le permis
• Le futur et le passé
• Savoir et croire
• Quel sens attribuer à un énoncé de croyance?
• Comment modéliser le temps à lintérieur dune
  logique?

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où la machine intervient

• Le problème de la décision, la logique et la
  machine
• Introduction dune nouvelle problématique en
  logique Turing, Church
• A. Church Le lambda-calcul et nos retrouvailles
  avec lintuitionnisme

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Un autre problème posé par HilbertlEntscheidung
sproblem

• Le problème de la décision est résolu si lon
  connaît une procédure qui permette de déterminer,
  en utilisant un nombre fini dopérations, la
  validité, respectivement la satisfaisabilité
  dune expression logique donnée (1928)

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Turing (1936)

• Machines de Turing
• Machine de Turing universelle
• Indécidabilité du problème de larrêt

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Le ?-calcul de Church1934? - 1936

• formuler avec précision le problème de la
  substitution des variables dans une expression
  qui représente une fonction
• Application
• Abstraction
• Équivalence avec MdT
• Théorème de Church-Rosser
• Une condition pour la normalisation termes
   typés 

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Où cela rencontre lintuitionnisme

• Système de typage logique intuitionniste
• Application modus ponens
• Abstraction introduction de ?
• La logique intuitionniste a un contenu
  algorithmique ?
• Prouver cest programmer!

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• Pourquoi la logique est utile
• Prouver cest programmer
• Prouver cest planifier
• La logique et les sciences modernes
• La logique comme science des processus
  informationnels convergents
• langue,
• biologie,
• cognition

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Prouver cest planifier

• cf. une action produit un changement dans le
  monde
• utilise des ressources
• se réalise par combinaison dactions plus
  élémentaires

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poser c sur la table
20
poser c sur la table
c
a
21
poser c sur la table
c
a
22
poser c sur la table
a
23
poser c sur la table
a
24
poser c sur la table
a
c
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• Passer de létat du monde
• main vide (V)
• c en haut de pile (donc accessible) (H(c))
• c sur a (S(c, a))
• à
• main vide
• c en haut de pile
• c en bas de pile (B(c))
• a en haut de pile

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décrit par le séquent

• V, H(c), S(c, a) ? V?H(c)?B(c)?H(a)

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Actions élémentaires

• prendre(x)  V, H(x), B(x) ? T(x)
• poser(x)  T(x) ? V?H(x)?B(x)
• oter(x, y)  V, H(x), S(x, y) ? T(x)?H(y)
• mettre(x, y)  T(x), H(y) ? V?H(x)?S(x, y)

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preuve

• T(c) ? V ? H(c) ? B(c) H(a) ? H(a)
• -----------------------------------------------
  -- ? - droite
• T(c), H(a) ? V ? H(c) ? B(c) ? H(a)
• -----------------------------------------------
  ? - gauche
• V, H(c), S(c, a) ? T(c) ? H(a) T(c) ? H(a) ? V ?
  H(c) ? B(c) ? H(a)
• --------------------------------------------------
  ---------------------------------coupure
• V, H(c), S(c, a) ? V ? H(c) ? B(c) ? H(a)

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preuve

• poser(c) H(a) ? H(a)
• -------------------------------------- ? -
  droite
• T(c), H(a) ? V ? H(c) ? B(c) ? H(a)
• ------------------------------------ ? -
  gauche
• oter(c, a) T(c) ? H(a) ? V ? H(c) ? B(c) ? H(a)
• --------------------------------------------------
  ---------------------------------coupure
• V, H(c), S(c, a) ? V ? H(c) ? B(c) ? H(a)

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preuve ? action?

• On peut extraire une composition dactions dune
  preuve
• comme on peut extraire un programme dune preuve
  (informatique théorique)

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biologie

• Antoine Danchin  la cellule est un ordinateur
  vivant 
• Physique  matière, énergie, temps
• Biologie  Physique information, codage,
  contrôle
• Arithmétique  chaînes dentiers, récursivité,
  codage
• Informatique  arithmétique programme
  machine 
•  comme dans le cas de la construction dune
  machine, dans celui de la construction dune
  cellule, on a besoin dun livre de recettes cela
  demande ensuite quon soit capable de changer le
  texte de la recette en quelque chose de concret 
  ceci consiste dans le  transfert
  dinformation . Dans une cellule, ce transfert
  dinformation est assuré par le programme
  génétique 

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interaction

• choix  actif  (vous avez le choix entre
  et )
• ? choix  passif  (lun ou lautre, vous ne
  décidez pas)
• ? les deux, dans un ordre séquentiel non
  déterminé
• ? les deux, en parallèle, par exemple léchange
  (lun contre lautre)
• ? le changement de point de vue

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interprétation

• Interaction
• la logique nest plus seulement interprétable
  comme  décrivant un extérieur ,
• elle sinterprète  par rapport à elle-même ,
  autrement dit elle réfère à ses propres
  procédures (elles se répondent entre elles)

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Un aspect ludique?

• Retour sur le dialogue et largumentation
• Logique dialogique
•  Game Theoretical Semantics  et IF-logique
  (Hintikka, Sandu)
• Interprétation de la logique linéaire

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2. Retour sur une vieille histoire

• dAristote à Hilbert

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Quest-ce que la logique?

• Hilary PUTNAM, 1971
• (1 ) tous les S sont M tous les M sont
  P(donc) tous les S sont P
• (2) x est identique à x
• (3) non (p et (non p))
• (4) p ou (non p)

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• . Tout ceci, même s'ils ne sont pas d'accord sur
  l'exposition des principes respectifs à l'œuvre
  dans ces différents cas. Il existe donc bien un
  corpus de "doctrine permanente " en logique

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Maintenir la cohérence du discours

• Jeu de lobligatio
• (1) B ? ? (A ? C)
• (2) A ? B
• (3) ? B ? C

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• B ??(A ? C)

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• B ??(A ? C)

41

• B ??(A ? C)

42

• B ??(A ? C)

?B ? C
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Aristote

• Théorie du syllogisme
• 1ère figure  BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO
• 2ème figure  CESARE, CAMESTRES, FESTINO, BAROCO
• 3ème figure  DARAPTI, FELAPTON, DISAMIS, DATISI,
  BOCARDO, FERISON
• 4ème figure  BAMALIP, CALEMES, DIMATIS, FESAPO,
  FRESION

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Le syllogisme aristotélicien

• Tous les hommes sont mortels
• Socrate est un homme
• Donc Socrate est mortel
• moyen homme
• majeur mortel
• mineur Socrate

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ah! Barbara, comme il pleuvait fort sur Brest
ce jour là

• B
• A Tout M est S (universelle affirmative)
• R
• B
• A Tout X est M (universelle affirmative)
• R
• A Tout X est S (universelle affirmative)
• NB le moyen est sujet de la majeure et prédicat
  de la mineure

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celarent

• C
• E Aucun M nest S (universelle négative)
• L
• A Tout X est M (universelle affirmative)
• R
• E Aucun X nest S (universelle négative)
• N
• T

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Logique indienne (à partir du 2ème siècle)

• Proposition  il y a du feu sur la montagne
• Raison  parce quil y a de la fumée sur la
  montagne
• Exemple  comme dans une cuisine, et pas sur un
  lac
• Application  il en est ainsi
• Conclusion  donc il y a du feu

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 fallacies 

• catalogue de formes dargumentation fausses
• affirmation du conséquent
• Si p alors q, q, donc p
• accident
• En général les oiseaux volent, Tweety le Pingouin
  est un oiseau, donc Tweety vole
• pétition de principe
• Lâme est immortelle parce quelle ne meurt
  jamais
• etc. ref Hamblin,  Fallacies , 1970

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Largument ontologique

• l insensé ltcelui qui dit que Dieu nest pasgt,
  quand il entend cela même que je dis "quelque
  chose de tel que rien ne se peut penser de plus
  grand", comprend ce qu'il entend, et ce qu'il
  comprend est dans son intellect, même s'il ne
  comprend pas que ce quelque chose est.
• Donc l'insensé aussi, il lui faut convenir qu'il
  y a bien dans l'intellect quelque chose de tel
  que rien ne se peut penser de plus grand,
  puisqu'il comprend ce qu'il entend, et que tout
  ce qui est compris est dans l'intellect.

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• Et il est bien certain que ce qui est tel que
  rien ne se peut penser de plus grand ne peut être
  seulement dans l'intellect.
• Car si c'est seulement dans l'intellect, on peut
  penser que ce soit aussi dans la réalité, ce qui
  est plus grand.
• Si donc ce qui est tel que rien ne peut se penser
  de plus grand est seulement dans l'intellect,
  cela même qui est tel que rien ne se peut penser
  de plus grand est tel qu'on peut penser quelque
  chose de plus grand mais cela est à coup sûr
  impossible.
• Il est donc hors de doute qu'il existe quelque
  chose de tel que rien ne se peut penser de plus
  grand, et cela tant dans l'intellect que dans la
  réalité.