Logique et raisonnement scientifique

1
Logique et raisonnement scientifique

• Hilbert, Tarski, Gödel

2
Le programme de Hilbert

• les problèmes viennent de linfini

3
Le programme de Hilbert

•  Certes Weierstrass a éliminé de lAnalyse
  linfiniment petit et linfiniment grand puisque
  les propositions portant sur ces objets ont été
  réduites par lui à lénoncé de rapports entre des
  grandeurs finies. Mais linfini continue dêtre
  présent  il prend la forme de suites infinies de
  nombres qui définissent les nombres réels, ou
  bien il est sous-jacent à la notion de système
  des nombres réels conçue comme une totalité
  achevée et fermée.

4
Le programme de Hilbert

• Or dans la reconstruction même de lanalyse de
  Weierstrass, on se donne le droit dutiliser à
  fond et ditérer à volonté les formes dinférence
  logique dans lesquelles sexprime cette
  conception des totalités  cest le cas, par
  exemple, lorsquon parle de tous les nombres
  réels qui ont une certaine propriété, ou bien
  encore lorsquon dit quil existe des nombres
  réels ayant une certaine propriété.

5
Le programme de Hilbert

• Dans les processus de passage à la limité du
  calcul infinitésimal, linfini au sens de
  linfiniment grand ou de linfiniment petit sest
  révélé constituer une simple manière de parler 
  de même nous devrons reconnaître dans linfini au
  sens de totalité infinie, partout où il joue
  encore un rôle dans les inférences, quelque chose
  de purement fictif.
• De même que les opérations portant sur
  linfiniment petit ont été remplacées par des
  processus qui accomplissent la même fin et
  conduisent à des rapports formels aussi élégants
  tout en se situant à lintérieur de la sphère du
  fini, les inférences qui utilisent linfini sont
  à remplacer par des processus finis qui
  accompliront exactement la même fin cest-à-dire
  permettront les mêmes démarches dans les
  démonstrations et les mêmes méthodes dobtention
  des formules et des théorèmes.

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Le programme de Hilbert

• Tel est lobjet de ma théorie. Elle a pour
  dessein dassurer la sécurité définitive de la
  méthode mathématique, sécurité à laquelle na pas
  atteint la période de la critique du calcul
  infinitésimal. 
• ( Über das Unendliche , 1925, Math. Annal. 95,
  1926, trad. J. Largeault, 1972)

7
Le programme de Hilbert

• la condition préalable de lapplication des
  inférences logiques et de leffectuation
  dopérations logiques est lexistence dun donné
  dans la perception  à savoir lexistence de
  certains objets concrets extra-logiques qui en
  tant que sensations immédiates précèdent toute
  pensée.
• Pour les mathématiques, selon Hilbert, ces objets
  sont les signes concrets, ceux dont nous savons
   distinguer et reconnaître la forme 
• les objets mathématiques, en particulier les
  nombres, sont des signes vides de sens, et les
  formules sont également des suites de signes
  vides de sens

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Le programme de Hilbert

• Des propositions  concrètes  (finitistes)
• avec des objets  réels 
• , , , , .
• dautres symboles  pour la communication  1,
  2, 3, , a, b, c,
• et des  propositions idéales  comme les
  nombres imaginaires vis-à-vis des nombres réels!

9
Le programme de Hilbert

• Encore faut-il savoir maîtriser des  objets
  idéaux 

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Le programme de Hilbert

• Règle le modus ponens
• ? ???
• ?
• axiomes

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Le programme de Hilbert

• Axiomes de limplication
•   adjonction dune prémisse
•  
• élimination dune proposition
• Axiomes de la négation
• principe de contradiction
•   principe de la double négation

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Le programme de Hilbert

• Axiomes  transfinis 
•   inférence du général au particulier (axiome
  dAristote)
•   si un prédicat nest pas vrai de tous, alors
  il a un contre-exemple
•   sil nexiste pas dexemple pour une
  proposition, alors cette proposition est fausse
  pour tous les a

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Le programme de Hilbert

• Axiomes de légalité

14
Le programme de Hilbert

• Axiomes du nombre
• Axiome de linduction mathématique 

15
Le programme de Hilbert

• Une démonstration formelle constitue un objet
  concret et visualisable, exactement comme un
  chiffre. Cest quelque chose de communicable du
  début à la fin
• Rôle des démonstrations de non-contradiction
• Hypothèse de la récursivité des mathématiques

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objections

• Une objection majeure et définitive Gödel

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Les objections de Brouwer

• Doutes sur le tiers - exclus (1908)
• le recours à la logique et aux structures
  linguistiques comme étranger aux mathématiques et
  risquant de les faire dévier de leur route

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Lintuitionnisme de Brouwer

• les raisonnements logiques effectués
  indépendamment de la perception, attendu quils
  sont les signes de transformations mathématiques
  à lintérieur du système mathématique qui régit
  les perceptions, peuvent déduire, de prémisses
  scientifiquement admises, des conclusions
  inacceptables 
• Lerreur est de prendre le signe pour la chose 
  la chose, à la différence du signe, na aucune
  raison dobéir à une logique

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lintuitionnisme

• Syllogisme non contestable (simple idée
  demboîtement de systèmes)
• Contradiction idem ( leffectuation de
  lemboîtement dun système a dans un système b
  dune façon déterminée, et vle fait de se heurter
  à limpossibilité de cet emboîtement, sont
  mutuellement incompatibles 
• Tiers exclu ?

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bilan

• Hilbert ? méthodes finitistes pour fonder la
  cohérence des mathématiques,
• vers les théorèmes dincomplétude (Gödel, 1931)
• Brouwer ? une exigence de constructibilité
• cf. fameuse question  existe-t-il deux
  irrationnels x et y tels que xy soit un
  rationnel? 
• Essayons avec x y
• Si xy est un rationnel, on a répondu positivement
• Sinon (xy)y 2 et on a répondu positivement

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Comment prouver la cohérence dune théorie?

• 1) Par des voies directes
• Hilbert arriver à prouver quon ne peut pas
  déduire une absurdité du genre 1?1
• Théorie de la démonstration
• Le prédicat  être démontrable  est-il récursif?
• Est-ce que par utilisation des moyens de
  démonstration  finitistes , on peut toujours
  arriver à démontrer quune théorie est cohérente?
• Gödel prouvera que non (cf. plus loin)

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Comment prouver la cohérence dune théorie?

• 2) Par des voies indirectes la théorie des
  modèles
• Prouver que tout ce quon démontre est  vrai 
  mais, dans quel sens de  vrai ?
• Retour au problème de la  définition de la
  vérité  !

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Tarski et la définition de la vérité

• Alfred Tarski 1902 1983
• écrit en 1931, publié en 1933
• le concept de vérité dans les langages
  formalisés
• Déception  Il est impossible non seulement de
  définir ce que signifie lexpression du langage
  quotidien  proposition vraie  mais encore de
  sen servir dans ce langage  !
• Se limiter aux  seuls langages actuellement
  connus qui soient construits à laide dune
  méthode scientifique, à savoir les langages des
  sciences déductives formalisées 

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Tarski et la définition de la vérité

• Le schéma général dune définition de la notion
  de  proposition vraie 
• x est une proposition vraie
• si et seulement si
• p

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Tarski et la définition de la vérité

• Le schéma général dune définition de la notion
  de  proposition vraie 
•  il neige  est une proposition vraie
• si et seulement si
• Il neige

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Tarski et la définition de la vérité

• Le schéma général dune définition de la notion
  de  proposition vraie 
•  la route est verglacée  est une proposition
  vraie
• si et seulement si
• la route est verglacée

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Tarski et la définition de la vérité

• Considérons la proposition  la proposition A
  nest pas une proposition vraie , où A est cette
  propo-sition elle-même ( la proposition A nest
  pas une proposition vraie )
•  A nest pas une proposition vraie  est une
  proposition vraie
• si et seulement si
• A nest pas une proposition vraie

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Tarski et la définition de la vérité

• Considérons la proposition  la proposition A
  nest pas une proposition vraie , où A est cette
  propo-sition elle-même ( la proposition A nest
  pas une proposition vraie )
• A est une proposition vraie
• si et seulement si
• A nest pas une proposition vraie

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Les langages formalisés

• ceux quon a  artificiellement construit de
  telle sorte que le sens de chaque expression
  soit univoquement déterminé par sa forme 
• Notion de système formel
• Ne sont pas  universalistes  comme lest le
  langage quotidien
• pas de terme  appartenant à la science du
  langage , ni  des signes ou des expressions qui
  décrivent les relations structurelles existant
  entre ces signes et expressions 

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Langage-objet du calcul des classes

• N (négation), A (disjonction), ? (quantification
  universelle), I (inclusion)
• variables  x , x, x, ., x, ..
• règles de formation permettant dobtenir des
  expressions comme 
• Ix , x, NIx , x, ?x Ix , x etc.
• axiomes, règles, etc.
• ceci donne un langage-objet.

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Un autre langage

• non, ou, pour tout, inclusion
• ?x Ix,x est vrai
• si et seulement si
• pour tout x, x est inclus dans x
• Un méta-langage

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structures et modèles

• Langage prédicatif extensionnel
• symboles
• Variables individuelles x, y, z, .
• Constantes individuelles a, b, c,
• Foncteurs darité n f, g,
• Constantes prédicatives darité n P, Q,
• règles de formation des formules
• Ex

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sémantique

• Une L-structure M pour le langage L est défini
  par un couple (D, Val) où
• D est un ensemble non vide (domaine)
• Val est une fonction telle que
• c constante individuelle Val(c)?D
• f foncteur n-aire Val associe à f une
  fonction de Dn dans D
• P prédicat n-aire Val associe à P une partie
  de Dn

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assignation

• Une assignation g pour le langage L et la
  structure M est une fonction de lensemble des
  variables individuelles dans D

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Évaluation par rapport à une structure

• Si M (D, Val) est une L-structure pour le
  langage L, alors toute formule de L peut être
  évaluée par rapport à M et à une assignation g
  donnée
• On écrit ? M,g la valeur de ? par rapport à M
  et à g

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Règles dévaluation - I

• Si x est une variable xM,g g(x)
• f foncteur et t1, , tn des termes
• f(t1,, tn )M,g val(f)( t1M,g,,
  t1M,g)
• P prédicat et t1, , tn des termes
• P(t1,, tn )M,g val(P)( t1M,g,,
  t1M,g)

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Règles dévaluation - II

• On note M g ? le fait que ? soit vraie dans la
  L-structure M pour lassignation g
• M g P(t1,, tn ) ssi P(t1,, tn )M,g 1
• M g ?A ssi M ?g A
• M g A?B ssi M g A et M g B
• M g ?x A ssi M g A pour toute assignation g
  qui ne diffère de g que par la valeur assignée à
  x

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langage et domaine
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
39
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
40
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
41
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
42
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
43
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
44
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
45
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
46
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
47
Val
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
48
Assignations
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x paul y marie z jules
49
Assignations
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x paul y paul z jules
50
Assignations
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x marie y lucie z jules
51
Assignations
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x robert y robert z robert
52
?x E(x,y)? F(y)
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x robert y jules z robert
53
E(x,y)? F(y)
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x _ y jules z robert
54
E(x,y)? F(y)
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x robert y jules z robert
55
E(x,y)? F(y)1 ? 0
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x robert y jules z robert
56
E(x,y)? F(y)0
L constantes p, j, m, l, r variables x, y,
z cstes prédicatives F1, G1, C2, E2
D
x lucie
x marie
x robert
x paul
x jules
x robert y jules z robert
57
modèles

• Définition étant donné un ensemble de formules
  closes ? dun langage L et une L-structure M, on
  dit que M est un modèle de ? si toutes les
  formules de ? sont vraies dans M

58
définitions

• ? est dit consistant sil en existe un modèle
• B se déduit sémantiquement de A1, , An si et
  seulement si tout modèle de A1, , An est aussi
  un modèle de B
• Une formule A dun langage L est dite
  universellement valide si elle est vraie dans
  toute L-structure

59
Retour au problème de la vérité
L
 image de L dans L 
L
La vérité dans L est fondée sur la vérité dans L
60
Retour au problème de la vérité
L
 image de L dans L 
L
La vérité toujours en construction
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Liens entre théorie et modèle

• Tarski (cas du calcul des classes) Tout
  théorème est vrai, donc le calcul des classes est
  non contradictoire
• mais il peut exister des cas où des propositions
  vraies ne sont pas des théorèmes

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Le problème de la complétude

• Définition 1 une théorie est (syntaxiquement)
  complète si pour chaque formule close ?, elle est
  capable de fournir soit une preuve de ? soit une
  preuve de ??
• Définition 2 une théorie est (sémantiquement)
  complète si toute proposition sémantiquement
  vraie est démontrable dans la théorie

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Complétude de la logique des prédicats du premier
ordre

• Gödel
• Gentzen
• Henkin (revu par Hintikka)
• mais non décidabilité (Church, 1936) au sens
   pas dalgorithme général permettant de décider
  de la vérité dune formule 

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métathéorèmes

• Théorème de compacité si une théorie T est
  telle que toute partie finie possède un modèle,
  alors elle a elle-même un modèle
• Théorème de Löwenheim Skolem si une théorie T
  admet un modèle infini, alors elle admet un
  modèle dénombrable

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Quelques conséquences

• Compacité ? laxiomatique de Peano exprimée en
  premier ordre nest pas catégorique
• Löwenheim Skolem ? Il est vain despérer une
  théorie du premier ordre pour la théorie des
  ensembles

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Laxiomatique de Peano exprimée en premier ordre
nest pas catégorique

• En premier ordre infinité daxiomes
• On peut ajouter à N une constante c avec une
  infinité daxiomes c ? 0, c ? 1, c ? 2, c ? 3,
  etc. ? N
• Les parties finies de N ont toutes des modèles
  valables aussi pour celles de N
• Donc un modèle pour N est un modèle pour N
• Mais un modèle pour N nest pas isomorphe à un
  modèle pour N, donc N admet des modèles non
  isomorphes

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Laxiomatique de Peano exprimée en premier ordre
nest pas catégorique

• Ce nest plus vrai en second ordre
• Mais le second ordre nest pas axiomatisable