Modelli Finanziari nel Tempo Continuo

1
Modelli Finanziari nel Tempo Continuo
Giovanni Della Lunga

• 2
• Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati
  Finanziari

2
Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati
Finanziari

• Probabilità
• Variabili Aleatorie
• Momenti
• Distribuzioni
• Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
• Dipendenza e Correlazione
• Processi Stocastici
• Dinamica del Prezzo di unAzione

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Probabilità

• Ogni tentativo di dare una definizione rigorosa
  dei concetti probabilistici più elementari si
  trova di fronte ad un problema infatti, non solo
  esistono differenti formalizzazioni e
  assiomatizzazioni della probabilità ma a queste
  corrispondono, in generale, molteplici nozioni
  intuitive di probabilità spesso assai diverse fra
  loro.
• Al di la delle differenze di carattere formale un
  elemento comune posseduto da tutte le forme di
  probabilità riguarda il suo significato intuitivo
  di valutazione della possibilità che un dato
  evento possa accadere o meno.

4
Probabilità

• Sia nelle scienze naturali sia in quelle
  economiche si è soliti assumere che un certo
  evento sia il risultato di un ipotetico
  esperimento intendendo con questo termine
  linsieme di tutte le azioni e le condizioni
  ambientali che conducono al determinarsi di un
  fatto.
• E un esperimento la misura di una grandezza
  fisica, il lancio di un dado o di una moneta, il
  verificarsi o meno di un particolare stato di
  natura (es. lindice MIB30 supera il livello
  50.000).

5
Probabilità

• Indicheremo con
• ? un particolare stato di natura esito di un dato
  esperimento
• e con
• ? linsieme di tutti gli stati possibili (spazio
  campione).
• Il concetto di evento é associato al verificarsi
  di uno o più stati di natura, esso verrà pertanto
  rappresentato come sottoinsieme di ?. Lo spazio
  degli eventi, A, è quindi una famiglia di
  sottoinsiemi di ? caratterizzata dalle seguenti
  proprietà
• ? ? A
• se levento ? ? A allora anche il suo complemento
  ? - ? ? A
• se ?n ? A, allora ?n ? A

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Probabilità

• Esempio consideriamo lesperimento aleatorio
  per antonomasia il lancio di un dado. In questo
  caso lo spazio campione è formato dallinsieme
  dei sei numeri che possono risultare dal lancio
  stesso
•  
•   Vediamo il significato di alcuni elementi di A.
  
• Ad esempio lelemento
• corrisponde allevento il numero
  risultante dal lancio è minore o uguale a 2.
• Altri elementi sono
• vale a dire il numero risultante è dispari, e
• cioè il numero uscente è pari.

7
Probabilità

• Definiamo funzione di probabilità una funzione P
  a valori reali che soddisfa le seguenti
  proprietà
•  
•  
• se gli ?n sono a due a due disgiunti.
• Osserviamo che una funzione di probabilità così
  definita è anche una misura. La terna (?, A , P)
  viene detta spazio di probabilità.

8
Probabilità

• Linterpretazione geometrica

Larea complessiva è uguale a 1
?1
?
Larea di un insieme di superfici che non si
sovrappongono è la somma delle aree delle singole
superfici
?3
Larea di ogni sottoinsieme è sicuramente positiva
?4
?2
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Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati
Finanziari

• Probabilità
• Variabili Aleatorie
• Momenti
• Distribuzioni
• Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
• Dipendenza e Correlazione
• Processi Stocastici
• Dinamica del Prezzo di unAzione

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Variabili Aleatorie

• Dato uno spazio di probabilità, una variabile
  aleatoria o casuale viene definita come una
  funzione
• Può esservi una certa confusione fra il concetto
  di variabile stocastica e quello di evento. Se in
  un determinato esperimento si è interessati
  unicamente al valore che una determinata
  grandezza può assumere allora effettivamente il
  valore di questa grandezza descrive compiutamente
  levento.
• In questo caso il valore assunto dalla variabile
  aleatoria, x, si chiama campione della
  variabile aleatoria X e può essere pensato come
  una sorta di etichetta dellevento e(x)
  definito dalla relazione

11
Variabili Aleatorie

• Potremmo poi pensare di definire la funzione
  distribuzione di probabilità della variabile
  aleatoria X come la probabilità corrispondente
  allevento caratterizzato da un ben definito
  valore di X
• Se la funzione X può assumere solo valori
  discreti, la definizione appena data è legittima,
  tuttavia se X è una funzione a valori continui,
  la probabilità di ottenere come risultato un
  qualunque valore prefissato è nulla.
• Levento a cui, in ogni caso, possiamo assegnare
  probabilità non nulla è levento corrispondente
  al caso in cui la variabile aleatoria X non
  supera un livello prefissato
• Abbiamo pertanto la seguente definizione di
  variabile aleatoria

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Variabili aleatorie

• Dato uno spazio di probabilità, una variabile
  aleatoria o casuale viene definita come una
  funzione
• tale che per ogni numero reale r si abbia
• La funzione
• definita sullinsieme dei numeri reali, viene
  detta funzione di distribuzione cumulata o, più
  semplicemente, funzione di distribuzione.

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Variabili Aleatorie

• Una variabile aleatoria è detta discreta se
  linsieme dei valori che può assumere è
  numerabile. Sia (?, A , P) uno spazio di
  probabilità e X una variabile aleatoria discreta.
  Definiamo la funzione di probabilità come
• La funzione di probabilità e la funzione di
  distribuzione sono legate dalla relazione
• Il lancio di un
  dado rappresenta una tipica variabile aleatoria
  discreta

14
Variabili Aleatorie

• Una variabile aleatoria X è detta continua se
  esiste una funzione reale fX tale che per ogni x
  reale sia soddisfatta la relazione
• Nei punti in cui la funzione di distribuzione è
  derivabile vale anche la relazione inversa
• La funzione f(x) in questo caso viene detta
  funzione densità di probabilità (o semplicemente
  funzione densità).

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Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati
Finanziari

• Probabilità
• Variabili Aleatorie
• Momenti
• Distribuzioni
• Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
• Dipendenza e Correlazione
• Processi Stocastici
• Dinamica del Prezzo di unAzione

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Momenti

• Il valor medio o valore di aspettazione di X, che
  indicheremo con , è definito come
• In generale si definisce momento dallorigine (o
  momento grezzo) di ordine r, e si indica, la
  media della variabile aleatoria Xr.
• La definizione è naturalmente applicabile solo
  nel caso in cui tale media sia finita.

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Momenti

• In pratica vengono comunemente utilizzati i primi
  quattro momenti
• media
• varianza
• skewness (o asimmetria)
• curtosi

18
Momenti

• La varianza di X, indicata con , è la media degli
  scarti quadratici rispetto alla media e
  rappresenta una misura di dispersione di X.
• La sua radice quadrata è detta deviazione
  standard.
• La varianza è definita da
• Da cui è immediato ricavare
• Uno stimatore della varianza è dato da

19
Il significato della deviazione standard

• Due serie storiche di cui la seconda ha standard
  deviation doppia dellaltra...

20
Il significato della deviazione standard

• ... e le rispettive distribuzioni di probabilità!

21
Momenti

• Il momento centrale di ordine 3 ci dà
  informazioni sul grado di asimmetria di una
  distribuzione attorno alla sua media ed è
  comunemente indicato col termine skewness.
• L'asimmetria positiva indica una distribuzione
  con una coda asimmetrica che si estende verso i
  valori più positivi.
• L'asimmetria negativa indica una distribuzione
  con una coda asimmetrica che si estende verso i
  valori più negativi.
• Uno stimatore di questa grandezza è dato da
• in cui s è lo stimatore della standard deviation
  e è il valor medio.

22
Momenti

• La relazione tra momento del terzo ordine e
  coefficiente di asimmetria, solitamente indicato
  con ?1/2, è data da
• Valori positivi dellasimmetria indicano che la
  distribuzione è asimmetrica per valori crescenti
  della variabile x (a destra) mentre unasimmetria
  negativa sta ad indicare una distribuzione
  asimmetrica a sinistra.

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Momenti

• Vediamo infine la curtosi, indicata con ?2, di un
  insieme di dati.
• Essa è legata al momento centrale di ordine 4
  dalla relazione
• ed è caratteristica delle cosiddette code
  grasse.
• Gli stimatori comunemente utilizzati riportano in
  realtà la cosiddetta curtosi in eccesso ovvero
  la differenza fra e 3.
• Questo è dovuto al fatto che la distribuzione
  normale o gaussiana ha curtosi pari a 3 e questo
  indicatore viene spesso utilizzato come indice
  per comprendere quando la distribuzione di un
  insieme di dati si allontani dalla normalità.

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Momenti

• La formula utilizzata per lo stimatore è
  riportata sotto
• s è lo stimatore della standard deviation e è il
  valor medio.
• Nellimmagine un esempio di distribuzione
  empirica dei rendimenti di un titolo in cui si
  evidenzia il fenomeno della leptocurtosi (code
  grasse)

25
Momenti

• Si possono facilmente generalizzare al caso
  continuo i risultati per le distribuzioni
  discrete.
• Il valore di aspettazione sarà pertanto definito
  come
• In cui lintegrazione è estesa al dominio di
  definizione della variabile che può variare a
  seconda del tipo di distribuzione.
• In maniera analoga si generalizzano le
  definizioni di varianza e degli altri momenti.

26
Cenni di Statistica dei Mercati Finanziari

• Come vedremo più avanti la grandezza di cui siamo
  interessati a stimare le caratteristiche
  statistiche non è il prezzo di un titolo ma la
  sua variazione percentuale (rendimento)
• In prima approssimazione possiamo ipotizzare che
  il rendimento di un titolo azionario sia
  distribuito in maniera normale
• In realtà questassunzione è fortemente
  criticabile anche se di impiego quasi universale
  in pratica
• La distribuzione effettiva dei rendimenti tende
  ad essere leptocurtotica

27
Dalla serie storica dei prezzi a quella dei
rendimenti

• Il primo calcolo che dobbiamo fare è quindi
  quello di trasformare la serie storica dei prezzi
  in serie storica dei rendimenti del titolo o
  della generica attività finanziaria
• sia
• n il numero di osservazioni
• Si il prezzo dellazione alla fine delli-esimo
  intervallo (i 0,1,..,n)
• ? la lunghezza dellintervallo in anni
• Indichiamo con ui il tasso di rendimento composto
  continuamente non annualizzato relativo
  allintervallo considerato

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La Stima della Volatilità

• Una stima della deviazione standard è data da
• Questa è una stima della volatilità giornaliera,
  per ottenere una stima della volatilità
  annualizzata occorre moltiplicare per la radice
  quadrata del numero di giorni lavorativi in un
  anno.
• Scegliere un valore per n non è facile, in
  generale più dati si usano e maggiore è
  laccuratezza. Tuttavia ? cambia nel tempo e i
  dati troppo vecchi possono non essere rilevanti
  per prevedere il futuro.
• Un compromesso che sembra funzionare abbastanza
  bene è quello di utilizzare i prezzi di chiusura
  giornalieri degli ultimi 90-180 giorni.

29
Stima della volatilità

• Si noti che la volatilità così stimata è una
  volatilità che si riferisce al periodo della
  serie storica
• Es. se abbiamo una serie di rendimenti
  giornalieri, la volatilità sarà la volatilità
  giornaliera del rendimento
• Occorre riportare ad ununità di misura comune
• Es. per ricondurre tutto a volatilità annuali,
  sotto opportune ipotesi statistiche, occore
  moltiplicare per la radice del numero di giorni
  lavorativi

Nr. Giorni Lavorativi in un Anno
Volatilità annuale
Volatilità giornaliera
30
Esempio ProgrammazioneVBA
Distribuzione dei Rendimenti di un Indice
Azionario
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Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati
Finanziari

• Probabilità
• Variabili Aleatorie
• Momenti
• Distribuzioni
• Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
• Dipendenza e Correlazione
• Processi Stocastici
• Dinamica del Prezzo di unAzione

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Distribuzioni Discrete

• Distribuzione Uniforme
• Sia X una variabile aleatoria che assume valori
  nel dominio dei numeri naturali 1, 2, ... , n.
  Diremo che tale variabile ha una distribuzione
  uniforme se risulta
• Valor medio e varianza sono dati da

33
Distribuzioni Discrete

• Distribuzione Binomiale
• Dati n eventi indipendenti, tutti con uguale
  probabilità p, sia X la variabile casuale che
  conta il numero totale di eventi che si
  verificano fra quelli possibili.
• X ha una distribuzione binomiale con parametri n
  e p. La funzione di probabilità è
• per i 0, 1, 2, ..., n
• valor medio e varianza sono dati da

Funzione di Probabilità e Distribuzione Cumulata
Binomiale per il caso n 6 e p 0.5
34
Distribuzioni Discrete

• Distribuzione di Poisson
• Esistono numerosi eventi che accadono nel tempo
  con cadenza del tutto irregolare.
• Indichiamo con ? il numero medio di occorrenze
  nellunità di tempo e supponiamo che siano
  soddisfatte le seguenti proprietà
• La probabilità di avere esattamente unoccorrenza
  in un intervallo di tempo dt di ampiezza
  trascurabile è ? dt a meno di infinitesimi di
  ordine superiore mentre la probabilità di avere
  più di unoccorrenza è trascurabile
• I numeri di occorrenze in intervalli temporali
  disgiunti sono indipendenti.
• Consideriamo la variabile aleatoria X che
  rappresenta il numero di occorrenze in un dato
  intervallo . Dividiamo lintervallo in n
  sotto-intervalli di ampiezza t / n. La
  probabilità di avere esattamente una occorrenza
  allinterno di uno di questi sotto-intervalli è
  per le ipotesi fatte pari a ? t / n per la
  proprietà dellindipendenza, e ricordando la
  definizione della distribuzione binomiale,
  otteniamo che la probabilità di k occorrenze è
  data da (a meno di infinitesimi di ordine
  superiore)

35
Distribuzioni Discrete

• Supponiamo ora che n tenda allinfinito, per le
  ipotesi fatte la probabilità di occorrenza
  allinterno di un intervallo ? dt tende a zero ma
  il prodotto n? dt è pari ad una costante ? ? t,
  otteniamo così la cosiddetta distribuzione di
  Poisson
• con x 0, 1, 2, ...
• La media e la varianza di una distribuzione di
  Poisson coincidono e sono entrambe pari al
  parametro ?.

Funzione di Probabilità e Distribuzione Cumulata
di Poisson per ? 9
36
Distribuzioni Continue

• Distribuzione Uniforme
• Diremo che una variabile aleatoria X è
  uniformemente distribuita nellintervallo reale
  a, b se la sua funzione di distribuzione
  cumulata è data da
• a cui corrisponde una funzione densità di
  probabilità data da
• La distribuzione uniforme gioca un ruolo
  particolarmente importante nei metodi di
  simulazione in quando per generare le diverse
  distribuzioni si parte usualmente da generatori
  di variabili casuali uniformi.

37
Distribuzioni Continue

• Distribuzione Normale
• Una delle funzioni più importanti, sia nella
  teoria sia nella pratica, è la distribuzione
  normale o gaussiana la cui funzione densità è
  data da
• dove i parametri ? e ? sono rispettivamente la
  media e la deviazione standard.
• Una variabile aleatoria viene detta distribuita
  secondo una normale standard se la media è 0 e la
  standard deviation è 1.
• Durante il corso utilizzeremo anche una notazione
  abbastanza diffusa tramite la quale si indica che
  una generica variabile aleatoria X è distribuita
  come una normale con media ? e varianza ?2 X
  N(? , ?).

38
Rapporto fra distribuzioni e istogramma

• Non dimenticate che la densità di probabilità
  rappresenta la frazione di valori che cadono
  allinterno di un certo intervallo della
  variabile aleatoria

39
Distribuzioni Continue

• Distribuzione LogNormale
• Sia X una variabile aleatoria con distribuzione
  normale, allora la variabile z eX definisce una
  variabile aleatoria con distribuita in maniera
  log-normale.
• Se la variabile X ha media ? e standard
  deviation ?, allora la funzione densità di
  probabilità di z è data da
• con z gt 0. La media e la varianza della
  variabile Z possono essere espresse in funzione
  dei corrispondenti momenti di X tramite le
  relazioni
• avendo posto .

40
Distribuzioni Continue

• I fattori di asimmetria e curtosi sono dati
  rispettivamente da
• Notate che per valori di ? non nulli, sia
  lasimmetria è sempre maggiore di zero e la
  curtosi è sempre maggiore di 3. Questo vuol dire
  che la distribuzione log-normale è sempre
  asimmetrica a destra e leptocurtica.

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Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati
Finanziari

• Probabilità
• Variabili Aleatorie
• Momenti
• Distribuzioni
• Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
• Dipendenza e Correlazione
• Processi Stocastici
• Dinamica del Prezzo di unAzione

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Esistono numeri casuali ?

• Come può un elaboratore, macchina totalmente
  deterministica, generare numeri casuali e quindi
  per loro natura non deterministici?
• La risposta è molto semplice non può!
• I numeri sono generati per mezzo di qualche
  algoritmo per cui non si può parlare di casualità
  essendo la sequenza predeterminata
• In compenso con un computer si possono generare
  sequenze di numeri che sembrino aleatorie

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Generatori di Numeri Pseudocasuali

• Virtualmente tutti i generatori di numeri pseudo
  casuali impiegati in pratica sono basati sul
  generatore lineare congruente
• I parametri a, c ed m determinano la qualità del
  generatore. a viene detto moltiplicatore, c
  incremento ed m è il cosiddetto modulo.
• Il generatore appena visto genera numeri interi
  compresi fra 0 ed m. Usualmente si utilizzano
  generatori di numeri casuali uniformemente
  distribuiti fra 0 ed 1, per questo è sufficiente
  scegliere

44
Generatore Lineare Congruente

• La sequenza di numeri casuali si ripeterà dopo un
  ciclo che, al più, potrà essere di lunghezza m.
• Il massimo intero rappresentabile su un computer
  la cui lunghezza di parola è di L bit è 2L .
• Usualmente si sceglie

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Generatore Lineare Congruente

• Vantaggi
• E molto veloce richiedendo pochissime operazioni
  per chiamata, questo lo rende di uso universale
• Svantaggi
• Il più grosso svantaggio è rappresentato dalla
  presenza di correlazione sequenziale
• Può produrre risultati inaspettati quando viene
  usato per la generazione di distribuzioni non
  uniformi.

46
Generatore Lineare Congruente

• Se si generano n coppie di numeri casuali e
  si associano ad esse n punti in un piano, i punti
  non si distribuiscono uniformemente ma tendono ad
  allinearsi lungo segmenti di retta.

47
Generatore Lineare Congruente

• La correlazione sequenziale può essere facilmente
  rimossa con tecniche di mescolamento
  (shuffling)
• Il numero prodotto allo step j non costituisce
  loutput j-esimo ma viene utilizzato per loutput
  ad uno step successivo scelto in maniera casuale

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Generazione di distribuzioni UniformiMicrosoft
Excel

• La funzione Rnd() restituisce un valore numerico
  di tipo Single che contiene un numero casuale.
• La sintassi è la seguente
•  
• Rnd(num)
•  
• L'argomento facoltativo num può essere un valore
  Single o una qualsiasi espressione numerica
  valida.
• I valori restituiti dalla funzione dipendono dal
  valore passato come argomento.
• Per ogni base iniziale specificata, viene
  generata la stessa sequenza di numeri, in quanto
  ogni successiva chiamata alla funzione Rnd()
  utilizza il numero casuale precedente come base
  per il numero successivo nella sequenza. In
  particolare
• se il parametro num è minore di zero Rnd() genera
  sempre lo stesso numero, utilizzando num come
  base
• se num è maggiore di zero viene restituito il
  successivo numero casuale nella sequenza
• se num è uguale a zero viene restituito il numero
  generato per ultimo
• infine se il parametro in input viene omesso,
  Rnd() restituirà il successivo numero casuale
  nella sequenza.

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Generazione di distribuzioni Uniformi Microsoft
Excel

• Prima di richiamare Rnd(), è consigliabile
  utilizzare l'istruzione Randomize senza argomento
  per inizializzare il generatore di numeri casuali
  con una base connessa al timer del sistema con la
  seguente sintassi
•  
• Randomize(numero)
•  
• Randomize utilizza il parametro numero per
  inizializzare il generatore di numeri casuali
  della funzione Rnd() assegnandogli un nuovo
  valore base. Se numero viene omesso, il valore
  restituito dal timer di sistema verrà utilizzato
  come nuova base.
•  
• Ricordate che la funzione Rnd() restituisce un
  valore minore di 1 ma maggiore o uguale a zero.
  Per generare interi casuali in un dato
  intervallo, utilizzare la seguente formula
•  
• Int((limitesup - limiteinf 1) Rnd
  limiteinf)
•  
• dove limitesup indica il numero maggiore
  presente nell'intervallo, mentre limiteinf indica
  il numero minore.

50
Esempio ProgrammazioneVBA
Il Generatore Lineare Congruente
51
Metodo della trasformazione inversa

• Da un generatore di numeri distribuiti
  uniformemente si possono ricavare numeri
  distribuiti secondo una densità di probabilità
  prefissata.
• SCOPO generare un campione di numeri Z
  distribuiti in accordo ad una funzione di
  distribuzione assegnata F(z).
• INPUT deve essere possibile valutare la funzione
  inversa di F(z).
• OUTPUT Z.
• METODO Generare un set di numeri casuali U
  uniformemente distribuiti fra 0 ed 1 e per
  ciascuno di questi calcolare Z F-1(U)

Z
52
Variabili Normali Univariate Microsoft Excel

• INV.NORM(). Restituisce l'inversa della
  distribuzione normale cumulativa per la media e
  la deviazione standard specificate. La sintassi é
•  
• INV.NORM(probabilitàmediadev_standard)
•  
• dove
• probabilità   è la probabilità corrispondente
  alla distribuzione normale, media è la media
  aritmetica della distribuzione,
• dev_standard è la deviazione standard della
  distribuzione.
• INV.NORM utilizza una tecnica iterativa per il
  calcolo della funzione. Dato un valore di
  probabilità, INV.NORM applica il metodo delle
  iterazioni fino a quando la precisione del
  risultato non rientra in 3x10-7. Se il
  risultato di INV.NORM non converge dopo 100
  iterazioni, la funzione restituirà il valore di
  errore N/D.

53
Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati
Finanziari

• Probabilità
• Variabili Aleatorie
• Momenti
• Distribuzioni
• Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
• Dipendenza e Correlazione
• Processi Stocastici
• Dinamica del Prezzo di unAzione

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Covarianza

• Date due variabili aleatorie X ed Y con varianza
  finita, si definisce covarianza la quantità
  definita da
• Se la covarianza è nulla le due variabili si
  dicono non correlate. Solitamente viene
  introdotto un coefficiente di correlazione
  definito come
• I cui valori massimi e minimi dipendono dal tipo
  di distribuzione considerata.
• uno stimatore della covarianza è dato da

55
Dipendenza

• Due variabili si dicono indipendenti se la
  funzione di distribuzione congiunta FXY(x, y) è
  fattorizzabile nel prodotto delle marginali
  FX(x)FY(Y).
• Due variabili indipendendi con varianza finita
  sono anche non correlate ma non è vero il
  viceversa.

56
Correlazione positiva
57
Correlazione negativa
58
Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati
Finanziari

• Probabilità
• Variabili Aleatorie
• Momenti
• Distribuzioni
• Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
• Dipendenza e Correlazione
• Processi Stocastici
• Dinamica del Prezzo di unAzione

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Processi stocastici

• Consideriamo una successione discreta di istanti
  di tempo
• t1, t2, , tn.
• In generale possiamo descrivere il comportamento
  di un sistema che evolve nel tempo in maniera
  imprevedibile tramite una corrispondente
  sequenza di variabili aleatorie
• X1, X2, ..., Xn.
• Parleremo in questo caso di processo stocastico
  discreto.
• Naturalmente possiamo anche definire processi
  stocastici nel tempo continuo sia su un dominio
  finito, come ad esempio 0, 1, sia su un dominio
  infinito, ad esempio 0, ?).

60
Processi stocastici

• Da un punto di vista formale consideriamo uno
  spazio di probabilità (?, A , P) e un insieme non
  vuoto, T, i cui elementi sono gli istanti che
  vengono presi in considerazione.
• Definiamo processo stocastico una funzione di due
  variabili
• tale che
• è una variabile aleatoria per ogni t. La
  funzione
• viene chiamata realizzazione o traiettoria del
  processo stocastico considerato.
• Ogni realizzazione in pratica non è altro che
  unosservazione dellevoluzione temporale della
  quantità descritta dal processo.

61
Processi stocastici
62
Processi stocastici

• Se assumiamo che un processo stocastico soddisfi
  le tre condizioni
• esso è definito diffusivo.
• I parametri ? e ?, che possono essere costanti o
  funzioni di Y e t, sono definiti drift e
  parametro di diffusione (diffusion) del processo.
• La terza condizione esclude la presenza di salti
  nel processo.

63
Processi stocastici

• Un particolare tipo di processo diffusivo che
  utilizziamo per costruire i processi stocastici è
  il processo di Wiener w(t).
• Tale processo è definito dalla seguente
  proprietà
• lincremento w(t h) w(t), condizionale
  allinformazione disponibile in t (?t), ha
  distribuzione di probabilità normale con media
  zero e varianza pari ad h.
• Lutilità di questo strumento per la costruzione
  di processi stocastici è immediata. Un processo
  con drift e diffusione costanti e con Y(0) 0
  può essere rappresentato come...

64
Processi stocastici

• ...o, nella notazione equivalente più usuale
• nota come equazione differenziale stocastica.
  Questultima notazione è puramente simbolica e
  serve ad esprimere la precedente relazione in
  maniera più compatta.

65
Processi stocastici

• Dalla definizione del processo di Wiener è
  immediato ottenere che al tempo t h la
  posizione di Y sarà descritta da una
  distribuzione normale con media pari a Y(t) ?h
  e varianza pari a ?2h.
• Notiamo che questo è dovuto al fatto che il
  processo di Wiener è moltiplicato per un
  parametro di diffusione costante.

66
Processi di Wiener

• In particolare i modelli di comportamento dei
  prezzi azionari sono espressi spesso ricorrendo
  ai cosiddetti processi di Wiener
• Il comportamento di una variabile z che segue un
  processo di Wiener può essere compreso se si
  esaminano le sue variazioni di valore in un
  piccolo intervallo di tempo dt.
• Proprietà 1
• dz è legata a dt dalla relazione
• dove epsilon è una variabile aleatoria
  N(0,1)
• Proprietà 2
• I valori di dz in due qualsiasi intervalli di
  tempo dt diversi fra loro sono indipendenti

67
Processi di Wiener Generalizzati

• Un processo di Wiener generalizzato per una
  variabile x può essere così definito in funzione
  di dz
• dove a e b sono costanti
• Ricordando la prima proprietà dei processi di
  Wiener possiamo scrivere

68
LIntegrale di Ito

• Nello studio dei flussi dinformazione nei
  mercati finanziari, i tradizionali strumenti
  forniti dallanalisi matematica risultano
  insufficienti.
• In particolare la nozione di integrale di
  Riemann-Stieltjes risulta inadeguata in un
  contesto stocastico.
• Supponiamo infatti di voler calcolare
• Se la variabile S è una variabile deterministica
  il risultato dellintegrazione comè noto è

Consideriamo la somma...
Si noti che questo risultato si ottiene facendo
tendere N allinfinito nella somma sopra
riportata qualunque sia la scelta di
!
69
LIntegrale di Ito

• Se invece S è una variabile aleatoria lo stesso
  procedimento non può essere utilizzato!
• Infatti la quantità
• non è conosciuta al tempo ti-1.
• Inoltre non è possibile effettuare un passaggio
  al limite nel senso classico del termine sempre
  per il fatto che abbiamo a che fare con variabili
  aleatorie per le quali vanno definiti opportuni
  criteri di convergenza.
• Nella definizione di Integrale di Ito, come
  vedremo, si usa il criterio della convergenza in
  media quadratica e il risultato finale è diverso
  da quello che ci aspetteremmo nel caso classico
  deterministico
• Anche il concetto di differenziale classico
  risulta inadeguato in campo stocastico.

70
LIntegrale di Ito

• Infatti, ad esempio, il moto browniano non è
  differenziabile in alcun punto e quindi non è
  derivabile rispetto al tempo
• Il punto cruciale è che nel calcolo differenziale
  classico gli incrementi del secondo ordine come
  (?S)2 sono trascurabili rispetto a quelli del
  primo ordine quando ?S tende a zero e il
  differenziale di una funzione composta, al primo
  ordine risulta semplicemente dato da
• Possiamo estendere questo semplice risultato al
  caso stocastico? NO!
• Il motivo è il seguente se S è una variabile
  casuale, assumere che in media (?S)2 sia
  trascurabile equivale a supporre che la varianza
  di S sia nulla, ovvero a ritenere S una variabile
  deterministica!

71
LIntegrale di Ito

• Per chiarire meglio questo concetto, supponiamo
  che St segua un processo browniano,
• Supponiamo poi di voler analizzare landamento
  nel tempo di una generica funzione di S e t,
  anticipando i concetti di convergenza in media
  quadratica possiamo dire che simbolicamente
• Pertanto i termini del secondo ordine in S non
  possono essere trascurati in unapprossimazione
  del primo ordine in quanto risultato essere
  analoghi a termini al primo ordine nel tempo!

72
Lemma di Ito

• Per valutare lincremento di una funzione
  trascurando i termini di ordine superiore al
  primo nel tempo dobbiamo pertanto scrivere
• Si noti che cè un termine aggiuntivo in più
  rispetto al differenziale del calcolo classico
• Tale termine scompare se ? 0 ovvero se la
  variabile non è aleatoria!
• Il calcolo differenziale stocastico nasce con lo
  scopo di dare significato alle equazioni
  differenziali contenenti termini differenziali
  stocastici

73
Lemma di Ito...se fosse valido il calcolo
differenziale classico
?
74
Lemma di Ito

• Se il valore di S segue un processo di Ito
• Allora il valore di una generica funzione di S
  segue la dinamica descritta da

75
Lemma di Ito

• Un caso speciale

76
Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati
Finanziari

• Probabilità
• Variabili Aleatorie
• Momenti
• Distribuzioni
• Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
• Dipendenza e Correlazione
• Processi Stocastici
• Dinamica del Prezzo di unAzione

77
Un processo per i prezzi azionari

• Come abbiamo visto i rendimenti di un titolo
  possono, in prima approssimazione, essere
  considerati normalmente distribuiti
• Da un punto di vista formale questo equivale ad
  ipotizzare la seguente relazione

MEDIA
VARIABILE ALEATORIA N(0,1)
STANDARD DEVIATION
78
Un processo per i prezzi azionari

• Vediamo quali sono le proprieta di scalabilità
  temporale della media e della varianza
• Se la varianza del prezzo fosse sempre nulla
  detto ? il tasso di rendimento istantaneo atteso,
  quello che ci si aspetta è
• S S0e?t
• in quanto il possesso del titolo equivale in
  questo caso ad un deposito bancario (volatilità
  nulla risk free)
• Ma questa relazione è soluzione dellequazione
  differenziale
• dS/S ?dt
• Quindi possiamo porre

79
Un processo per i prezzi azionari

• Quindi possiamo porre
• La volatilità quindi varia come la radice
  quadrata del tempo, questo è equivalente ad
  assumere che la componente stocastica sia
  descritta da un processo di Wiener.

80
Un processo per i prezzi azionari

• Riassumendo
• dove ?S è la variazione di prezzo nellintervallo
  ?t e z è un numero casuale estratto da una
  distribuzione normale standard.
• Un processo descritto da unequazione del genere
  è detto MOTO GEOMETRICO BROWNIANO

81
Un processo per i prezzi azionari
Lemma di Ito
82
Un processo per i prezzi azionari
83
Esempio ProgrammazioneVBA
Generazione di Scenari
84
Bibliografia

• S. Benninga Modelli Finanziari La finanza con
  Excel McGraw-Hill (2001)
• U. Cherubini, G. Della Lunga Matematica
  Finanziaria Applicazioni con VBA per Excel
  McGraw-Hill (2001)
• U. Cherubini, G. Della Lunga Il Rischio
  Finanziario McGraw-Hill (2000)
• E. Gaarder Haug The Complete Guide to Option
  Pricing Formulas McGraw-Hill (1998)
• M. Jackson, M. Staunton Advanced Modelling in
  Finance using Excel and VBA Wiley Finance (2001)

85
(No Transcript)