Logica della vaghezza

1
Logica della vaghezza
2
Carattere vero-funzionale dei connettivi
classici.

• non

p p
1 0
0 1
3
Tavola di verità del connettivo e
p q pq
1 1 1
0 1 0
1 0 0
0 0 0
4
Se p allora q p q
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
5
PARADOSSO DEL SORITE
6
Esempio di sorite da s???? mucchio

• 1) Un chicco di grano non è un mucchio
• 2) Se un chicco di grano non è un mucchio, allora
  due chicchi di grano non sono un mucchio
• n) Se n-1 chicchi di grano non sono un mucchio,
  allora n chicchi di grano non sono un mucchio
• ? n chicchi di grano non sono un mucchio.

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• 1) Fa1
• 2) Fa1 ? Fa2
• .
• .
• .
• 100.000) Fa99.999? Fa100.000
• ?Fa100.000

• 1) Fa1
• 2) Fa1 ? Fa2
• .
• .
• .
• n) Fan-1 ? Fan
• ?Fan

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• 1) Fx1
• 2) Per ogni i, Fxi ? Fxi1
• 3) Fxn

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• Argomento
• Verità
• Validità

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Concetto di validità.

• Un argomento è valido quando non si dà mai il
  caso che, essendo vere le premesse, sia falsa la
  sua conclusione.
• Si può paragonare un argomento valido a una
  macchina, nella quale si inseriscono come input
  enunciati veri per ottenere come output enunciati
  veri.
• La validità è una proprietà della struttura di un
  argomento mentre la verità concerne il rapporto
  di un enunciato con le cose cui lenunciato
  stesso si riferisce.
• Un argomento valido può essere formato da
  enunciati veri, nel qual caso è anche corretto.
• Se invece almeno una delle premesse è falsa, è
  scorretto.

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• Valido proprietà della struttura
• Vero proprietà dei singoli pezzi che
  compongono largomento (proposizioni, enunciati)

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Esempio di argomento valido, ma falso (non
corretto)

• Se oggi è il 25 dicembre, allora oggi è Natale
• Oggi è il 25 dicembre
• Dunque oggi è Natale.

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Alcune ipotesi riguardo al sorite

• 1) Si tratta di un argomento invalido
• 2) Largomento è valido, ma le premesse sono
  false (almeno una lo è)
• 2a) E falsa la prima premessa
• 2b) Sono false le premesse a partire da un
  numero k compreso tra 2 e n (2kn)
• 3) Largomento è valido, ma proprio ciò mette in
  luce la non trattabilità delle nozioni vaghe

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E un argomento invalido?

• Consta di una premessa categorica (la prima) e di
  n premesse condizionali.
• Possiamo vederlo come lapplicazione reiterata
  della regola
• ? ??ß
• ß
• nota come modus (ponendo) ponens o regola di
  separazione

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• 1) Fa1
• 2) Fa1 ? Fa2
• Fa2
• .
• 99.999)Fa99.999
• 100.000)Fa99.999? Fa100.000
• ?Fa100.000

• A,A?B/B
• B,B?C/C
• C,C?D/D
• A/C

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Non sembra plausibile sostenere che è un
argomento invalido

• Quindi rimane lipotesi che sia valido. Si ha
  perciò o il caso 2) o il caso 3).
• Caso 2)
• è valido, ma con premesse false.
• 2a) E falsa la prima premessa
• 2b) Sono false le premesse a partire da un numero
  k compreso tra 2 e n (2kn).
• Caso 3) E valido e ciò getta discredito sui
  predicati vaghi.

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Caso 2a) è falsa la prima premessa.

• Non possiamo concludere nulla circa la verità o
  falsità della conclusione (da premesse false può
  seguire una conclusione vera).
• E questo il caso meno interessante
• Possiamo tuttavia assumere che è falso asserire
  un chicco di grano non è un mucchio, in quanto
  non esistono mucchi.

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• A questo esito, noto in letteratura come
  nichilista, porta anche lammissione che
  largomento soritico è valido e corretto, vale a
  dire
• tale che è valido e ha premesse vere.

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• Esito nichilista i mucchi non esistono.
• Gli oggetti, le cose cui facciamo riferimento
  nella vita ordinaria si dividono in reali e
  convenzionali.
• Mucchio è nome di un oggetto costruito o
  convenzionale non è nome di un oggetto reale.

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Caso 2b) è falsa almeno una premessa successiva
alla prima.

• Ciò implica che almeno uno dei condizionali della
  forma
• Fak ? Fak1
• è falso!
• Quindi lantecedente di tale condizionale è vero
  e il conseguente falso.

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Ovvero

• Esiste un insieme k di grani che NON è un
  mucchio, mentre linsieme k1 è un mucchio.
• Esiste un confine preciso tra non esser mucchio e
  esser mucchio
• In termini generali esiste un confine preciso
  tra il predicato F e il predicato non-F.

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• Digressione sulla logica classica

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Logica classica

• A) I connettivi logici (e, o, non,
  seallora), sono vero-funzionali
• B) Vale il principio di bivalenza ogni enunciato
  assume uno e uno solo dei due valori vero (1) e
  falso (0)
• C) Tra le leggi logiche principali, figurano i
  princìpi di
• non-contraddizione terzo escluso.

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• Principio di non-contraddizione
• Non(? e non-?) (? ?)
• Principio del terzo escluso
• (? o non-?) (? ? ?)
• ? è un enunciato qualunque

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• Semantica dei predicati.
• Interpretazione delle espressioni che fungono da
  predicati nel linguaggio L di riferimento.
• Simboli per predicati P, Q

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Un linguaggio L viene interpretato su un dominio
D di oggetti
27

• Nella logica classica, linterpretazione di un
  predicato P sul dominio D è un sottoinsieme di D
  perfettamente definito.
• P

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Nel caso di predicati vaghi, tuttavia,
lestensione del predicato P non ha confini ben
definiti
29
3 possibili soluzioni al problema del sorite
(escludendo il nichilismo)

• A) Soluzione epistemica
• B) Supervalutazioni
• C) Logica a infiniti valori.

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A) Soluzione epistemica la vaghezza riguarda
noi, non la realtà.

• Mantiene la logica classica.
• Perciò, accetta che ai termini vaghi
  corrispondano effettivamente proprietà
  perfettamente definite.
• Ammette che vi siano punti di confine (aspetto
  contro-intuitivo).

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B) Supervalutazioni

• Mantiene molta parte della logica classica
• Fa ricorso alla procedura dei raffinamenti
• Non è classica a livello metalogico viola il
  principio di bivalenza.

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• Mucchio
  Mucchio
• Non-mucchio
  Non-mucchio
• Penombra
• Mucchio
  Mucchio

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• Enunciati superveri veri sotto tutti i
  raffinamenti
• Enunciati superfalsi falsi sotto tutti i
  raffinamenti
• Enunciati veri sotto certi raffinamenti e falsi
  sotto altri.

34

• Girino
• 1, 2, 3, 4, 5.k
• Penombra
• (k1)
• (k2)
• (k3)
• .
• Rana
• (km)n.

35

• Girino
• 1, 2, 3, 4, 5.k , (k 1)

• Girino
• 1, 2, 3, 4, 5.k , (k 1), (k2)
• Rana
• (k3)
• .
• (km)n.

• Rana
• (k2)
• (k3)
• .
• (km)n.

36
Rimane valido il principio del terzo escluso ???

• k è un girino oppure k non è un girino
• k è un girino non è né (super-)vero né
  (super-)falso, se k si trova nella penombra.
  Quindi

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Viene meno il principio di bivalenza

• Ci sono enunciati che non sono né veri né falsi.
• Inoltre
• lasserzione esiste un punto in cui k è una
  rana è vera, senza però che sia possibile
  specificare quale sia tale punto (varia infatti
  con ciascun raffinamento).
• Di conseguenza

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Un enunciato esistenziale, del tipo ?x(Px) sarà
super-vero, senza che Pa, Pb, ecc. lo siano.

• Se infatti a, b, c appartengono alla
  penombra, le asserzioni Pa, Pb, Pc
  saranno ora vere ora false, a seconda dei
  raffinamenti, ma mai vere in tutti i
  raffinamenti.

39

• Il predicato P ha così unestensione classica,
  perfettamente definita, in ciascun raffinamento,
  ma non in tutti, presi collettivamente (se così
  si può dire).

40

• Se prendiamo i due enunciati penumbrali ? e
  ?, e formiamo la loro congiunzione
• ? ?
• otteniamo un enunciato superfalso
  propriamente una contraddizione.

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Tuttavia

• Ciascuno dei due enunciati non è né vero né
  falso.
• Dualità con ? ?? che è invece sempre vero
  (supervero).

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C) Logica a infiniti valori

• Nella logica classica sono coinvolti i due soli
  valori vero (0) e falso (1).
• Nelle supervalutazioni ci sono enunciati
  superveri enunciati superfalsi ed enunciati
  talvolta veri e talvolta falsi. (Gli enunciati
  della penombra possono essere considerati privi
  di un valore di verità definito).
• Nella logica a infiniti valori, i valori di
  ciascun enunciato variano nellintervallo chiuso
  0,1.

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• 1) Fa1
• 2) Fa1 ? Fa2
• .
• .
• .
• 100.000) Fa99.999? Fa100.000
• ?Fa100.000

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• Nel passaggio dalla prima premessa alle
  successive, la verità di ciascun enunciato
  diminuisce impercettibilmente, fino a
  trasformarsi in modo progressivo in una falsità.
• E come se ciascun premessa, approssimandosi alla
  conclusione, erodesse un pezzetto di verità, fino
  a rendere palesemente falsa la conclusione.

45

• Problema della vaghezza affrontato da B. Russell
  (1922-23).
• Supervalutazioni B. C. van Fraassen (1969) K.
  Fine (1975).
• Logiche a più valori Lukasiewicz (1920).

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Problemi filosofici

• A) Quali sono le opzioni ontologiche legate a
  ciascuna delle soluzioni considerate?
• B) Ci sono motivi per preferire la logica
  classica?
• C) Il pluralismo in logica non apre la strada
  al relativismo?
• D) Le soluzioni del sorite che abbiamo
  considerato sono le sole possibili o ve ne sono
  altre a disposizione?

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Esempio

• Supponiamo che Fa e Fa abbiano il medesimo
  grado di verità.
• Fa Fa ha il medesimo grado di verità di Fa
  Fa.
• Confrontare con lapproccio delle superval.

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Letteratura di riferimento

• Rosanna Keefe Peter Smith, Vagueness A Reader,
  Cambridge, The MIT Press, 1999 Paperback 1997
• Timothy Williamson, Vagueness, London-New York,
  Routledge, 1994.