Momento angolare

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Momento angolare
Momento angolare ( o momento della quantità di
moto) di un punto materiale P avente quantità
di moto p mv rispetto ad un polo O
LO
P
p
OP
O
Per le proprietà del prodotto vettoriale
p
J
Dimensioni di L
P
O
2
Momento di una forza
Momento di una forza F, applicata in un punto
P, rispetto ad un polo O
MO
J
P
b
F
O
braccio
Per le proprietà del prodotto vettoriale
Dimensioni di M
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Momento di una forza (II)
Cambiando il polo rispetto al quale si calcola il
momento di una forza
Analogamente, per il momento angolare
Se si hanno più forze applicate in uno stesso
punto P, il momento risultante dei singoli
momenti è uguale al momento della forza
risultante applicata in P
O
P
R
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Teorema del momento angolare
la derivata rispetto al tempo del momento
angolare, calcolato rispetto ad un polo fisso O
in un sistema di riferimento inerziale, di un
punto materiale soggetto ad una forza F è uguale
al momento della forza rispetto ad O
Infatti
0
( 2 legge di Newton , se v è la velocità in un
sistema di riferimento inerziale)
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Esempio moto di un pendolo semplice
y
Con riferimento alla figura
z
O
x
J
P
Dal teorema del momento angolare
v
mg
piano di oscillazione
equazione del pendolo semplice
( Nota per piccole oscillazioni
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Teorema del momento dellimpulso
Integrando rispetto al tempo lequazione che
esprime il teorema del momento angolare, si ha
In particolare, se il momento è applicato per un
tempo sufficientemente breve affinchè il punto di
applicazione di F(t) possa essere considerato
costante r (t) rO
? J
impulso della forza F
teorema del momento dellimpulso
momento dellimpulso
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Lavoro nei moti rotatori
In un moto circolare, il lavoro della forza può
essere espresso come il prodotto del momento
della forza rispetto al centro di rotazione O per
langolo di rotazione del punto di applicazione
P
ds
J
F
R
braccio b
O
Þ
In particolare, se il momento M è costante
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Campo di forza centrale
In ogni punto dello spazio il vettore forza F (
r ) è diretto verso uno stesso punto 0 dello
spazio detto centro di forza, ed il suo modulo
é funzione della sola distanza r dal centro di
forza
P
r
F
versore radiale
uR
O
linea di forza
Esempio campo della forza gravitazionale
generata da una massa M che agisce su una massa m
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Campo di forza centrale (II)
un campo di forze centrali è conservativo il
moto avviene conservando lenergia meccanica
dr
funzione primitiva di F(r)
1
ds
dr
il lavoro W12 non dipende dal cammino percorso
uR
2
O
Ad esempio, per un campo di forza gravitazionale
,
costante
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Campo di forza centrale (III)
In un campo di forza centrale , il moto avviene
mantenendo costante il momento angolare ,
calcolato rispetto al centro di forza
costante
centro della forza
il piano individuato dai vettori r e v è
sempre lo stesso, ossia il moto avviene in un
piano
LO
piano del moto
costante
O
r
pmv
P
direzione costante
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Velocità areale
La costanza del modulo di L implica che il moto
avviene con velocità areale costante
derivata rispetto al tempo dellarea A(t)
spazzata dal vettore posizione r(t)
dA(t)
ds
O
r ( tdt )
r(t)
ds sinj
j
costante
(esempio 2a legge di Keplero per il moto dei
pianeti nel campo della
forza gravitazionale
generata dal Sole)