Conservazione di Energia

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Conservazione di Energia
Trasferimento di momento lineare
Trasferimento di energia
Prodotto scalare di due vettori
F
Una forza F trascina un corpo per la distanza Dl
in un intervallo di tempo Dt. ()
Anche per lenergia
Robert von Mayer, medico, 1840, pazzo suicida
()
2
E perchè????
La conservazione di energia e momento si spiega
nel senso che è inevitabile, se spazio e tempo
sono uniformi se non esistono punti nello
spazio o tempo che sono preferiti verso altri
punti. Uniformità dello spazio gt conservazione
di momento Uniformità del tempo gt conservazione
di energia
Emmy Noether
3
Come abbiamo visto Per portare un corpo di massa
m da velocità 0 a velocità v si deve trasmettere
il momento lineare
Ma si deve anche trasmettere lenergia
si chiama energia cinetica
Ci sono varie forme di energia, come energia di
calore (che è pero una forma di energia cinetica)
o energia di potenziale. La energia può cambiare
forma, per esempio energia potenziale può
diventare energia cinetica, ma lenergia non può
essere creata o distrutta.
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Energia Potenziale
h
Dato un qualsiasi punto di riferimento Se ad
ogni punto dello spazio si può associare una
certa energia, si parla di energia potenziale
Una massa di 1kg ha al 10. piano di un palazzo
(ogni piano 3 m) la energia potenziale
Rispetto al suolo
Rispetto al garage sotterraneo ha 330 Joule
33m
30m
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Se alziamo un corpo di peso ad una altezza ,
aumenta la sua energia potenziale come Se
abbassiamo lo stesso corpo per , si riduce la
sua energia potenziale. Se il corpo cade in
caduta libera, la sua energia potenziale si
trasforma in energia cinetica.
F
h
Notate precedentemente abbiamo concluso
(considerando la distanza r invece della
altezza h)
con
e
Partendo dalla assunzione agconst.
gt Quale è la formulazione più semplice e
generale? gt minima azione
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Palla da biliardo
Precedentemente abbiamo visto che non siamo
riusciti a risolvere il problema della palla da
biliardo, usando solo la conservazione di momento
lineare Se una palla a velocità v colpisce una
palla ferma, le due palle dopo si muovono insieme
con ognuno 1/2v, o una continua con v, laltra
rimane ferma? (o una con 0.9v, laltra con 0.1v
etc)
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Adesso possiamo risolvere il precedente problema
delle palle di biliardo
Sappiamo
Abbiamo considerato due casi (si potrebbe
immaginare tanti altri), che rispettano tutte e
due la conservazione del momento lineare a) Dopo
lurto le due palle si muovono ognuna con
b) Dopo lurto una palla rimane ferma, laltra
corre via con
Nel caso (a)
Vietato!
E va bene!
Nel caso (b)
Conservazione di energia e momento ci dicono cosa
può succedere e cosa no
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Da tutto ciò una volta si è concluso che il mondo
è come un grande orologio è determinato già
adesso cosa succederà nel futuro.
Invece non è cosi. Abbiamo considerato solo
lurto centrale
Se lurto non e centrale, esistono tantissime
possibiltà.
E nel caso di tante palle, già un minuscolo
cambiamento della direzione della prima palla può
creare un risultato molto diverso
Allora, in verità regna il caso o il caos?
Assolutamente no! Lo vediamo più in avanti (se
rimane tempo)
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Esercizio carrelli ferroviari
Carro arriva con
E una cosa possibile? Descrivere in termini di
trasferimento di energia e momento lineare
Carri connessi continuano con velocità comune
Segue che
E possibile, in quanto viene dissipata energia!
Energia cinetica-gt energia di calore
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Esercizio elica a vento
Problema supponiamo che il vento abbia la
velocità v1 molto prima dellelica e dopo averla
attraversata abbia velocità v3. A quale velocità
attraversa lelica?
Lelica è considerata un disco che estrae energia
dal flusso in modo uniforme.
Soluzione

• Il modulo della forza del vento sullelica e
  dellelica sul vento sono uguali.
• La forza fra un volume daria e lelica la
  chiameremo F.
• La lunghezza del volume (nel direzione del
  flusso) la chiameremo Dx
• Il tempo in cui il volume attraversa lelica lo
  chiameremo Dt
• La velocità dellaria che attraversa lelica
  risulta v2 Dx/Dt

Dobbiamo determinare il rapporto fra Dx e Dt per
risolvere il problema.
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Consideriamo anche che
Vuol dire la velocità dellaria che attraversa
lelica è la media fra la velocità molto prima e
molto dopo lelica.
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v
elica
x
potenza energia/tempo
Più alto v, più alta la potenza! perchè non
possiamo alzare v sopra
Perchè in tal caso Dt si abbassa, mentre Dx
rimane uguale Il flusso daria perderebbe troppo
poco momento paragonato con la perdita denergia
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Di conseguenza se vogliamo aumentare v2,
dobbiamo estrarre il momento lineare di eccesso
forza
vento
controforza
Vela esterna
La vela esterna non si muove, Dx0
Viene solamente estratto momento lineare
gt v può aumentare
14
(No Transcript)
15
E Una pallottola da 30 g, con velocità iniziale
di 500 m/s penetra per 12 cm in una parete di
muratura prima di fermarsi Di quanto si riduce
lenergia della pallottola? Qual è la forza
media che ha agito sulla pallottola mentre
entrava nella parete? Quanto tempo ha impiegato
la pallottola per fermarsi?
Usiamo il sistema di riferimento del Laboratorio
per descrivere il moto la parete è ferma in
tale sistema
Lenergia meccanica totale coincide con lenergia
cinetica. Nellipotesi di un moto orizzontale
come mostrato in figura, non cè variazione
dellenergia potenziale della forza peso
Circa 100 mila volte il peso
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tempo impiegato dalla pallottola per fermarsi
La quantità di moto finale è nulla Quella
iniziale ha solo la componente x
Il proiettile impiega 3.2 centesimi di secondo
per fermarsi
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La pallottola (da m30 g, viene sparata
orizzontalmente con velocità di 500 m/s) contro
un blocco di legno di massa M4kg appeso ad una
fune di lunghezza L2m. Determinare la perdita
di energia meccanica nellurto. Se la pallottola
è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm,
stimare la forza media che ha frenato la
pallottola rispetto al blocco e la durata
dellurto
Da paragonare con 3750 J
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Urto centrale elastico-bersaglio fermo

• Per risolvere il sistema conviene metterlo in
  questa forma

• Dividendo membro a membro la seconda per la prima

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Il Principio della minima azione
Bastano per il esame. Però 1) In situazioni
complicate, con tante forze diverse che puntano
in direzioni diverse, sarebbe molto difficile
valutare per esempio 2) F-F più precisamente
vuol dire per ogni forza cè allo stesso tempo
una contro forza nella teoria di relatività (e
nellelettromagnetismo) non è banale stabilire
cosa vuol dire allo stesso tempo 3) Se si
lavora con onde, invece di punti di massa, come
applicare Si usa un metodo più generale
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Si definisce T energia cinetica, V energia
potenziale L viene chiamato funzione di
Lagrange Legge della minima azione ogni
processo avviene così che estremo (minimo o
massimo) () ha la dimensione di
una azione
() Non per lesame
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Attrito
Gli esseri umani cercano da 3000 anni di capire
come funziona il mondo. Perchè hanno trovato
solo 200-300 anni fa?
Forse perchè la conservazione di energia (e
momento) sono contro intuitivi nella vita
quotidiana lenergia NON sembra MAI
conservata Perchè un corpo che si muove libero da
forze esterne si trova raramente, cè sempre la
forza di attrito.
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Attrito statico il corpo non è in moto
Al massimo
Forza fra corpo e superficie
Attrito dinamico corpo scivola
Forza fra corpo e superficie
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Esercizio
per
v cost.
per
accelera
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• Una forza F di 400 N è necessaria per mettere in
  moto una scatola di massa
• m40 kg sopra un pavimento di calcestruzzo.
• a) Qual è il coefficiente di attrito
  statico tra la scatola ed il pavimento?
• b) Se il coefficiente di attrito dinamico tra
  una cassa di 20 kg ed il pavimento è di
• 0,30, quale forza orizzontale è
  necessaria per muovere la cassa a velocità
• costante sul pavimento?
• Per trovare il coefficiente di attrito statico,
  occorre eguagliare la forza che spinge la
• scatola, alla forza di attrito che oppone
  resistenza al moto
• dove m è il coefficiente di attrito
  statico. Da questa eguaglianza risulta
• b) Si chiami md il coefficiente di attrito
  dinamico. Allora deve essere

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Supponete di avere un tappo metallico appoggiato
su un piano che è stato inclinato di un angolo
q rispetto al piano orizzontale. Dopo vari
tentativi si trova che quando q è aumentato
fino a 17, il tappo comincia a scivolare lungo
il piano. Quale è il coefficiente di attrito
statico ms tra il tappo ed il piano
inclinato?
Il tappo può cominciare a scivolare quando la
forza di attrito statico raggiunge il suo massimo
valore, e questo valore eguaglia quello della
forza peso applicata al tappo. Si deve
avere Quindi
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Esercizio
Potenza di unasse rotante
Per una ferrari importano però due cose 1)
potenza e 2) momento di forza
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Momento di una forza
Il momento di forza dice quando fortemente una
forza vuol far rotare una asse
asse
leva
Molto fortemente
Non fa girare
Forza preme fortemente
Stessa cosa
Se disegniamo la freccia rossa (forza) nel centro
dellasse, vediamo subito il prodotto vettoriale
Fa girare poco
Descrive quanto fortemente una forza vuol far
rotare una asse momento di forza
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Attenzione ogni libro usa la sua nomenclatura,
invece di f si trova anche t, M, D
Ci ricordiamo
Sempre quando si tratta di un movimento intorno
ad unasse, è più conveniente usare il momento di
forza invece della forza. Esempio nel caso
statico momento e contro-momento devono essere
uguale (opposto)
0
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Rotazione
Per descrivere la cinematica di un punto di
massa, abbiamo precedentemente usato le
variabili v (velocità), m (massa), F (forza), p
(momento lineare) Si potrebbe usare queste
variabili anche per discutere il moto rotatorio
la fisica è sempre quella, però, è più facile
usare variabili più adatte al problema
E facendo così, si scopre una nuova proprietà del
nostro mondo!
30
Visto il discorso fatto precedentemente, è chiaro
che useremo la velocità angolare, w dj /dt ,
invece di v
Con questa scelta e visto che
la energia cinetica
diventa
Che ha la stessa forma come prima, se
sostituiamo non solo v con w, ma anche m con una
nuova variabile che chiamiamo , con
Momento di inerzia
31
Attenzione! Quando ero studente ho fatto
confusione, la massa (sorgente della forza di
inerzia) viene chiamata massa, Invece
viene chiamata momento di inerzia. Forse
sarebbe meglio chiamare inerzia
traslazionale e
inerzia rotazionale
o simile
(Halliday, pag.219)
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Momento di inerzia, I, per un punto di massa m
asse di rotazione
Per un oggetto composto da tanti punti
r distanza (minima)dalla asse di rotazione
Per corpo continuo
Il momento di inerzia di un corpo dipende sempre
dalla asse di rotazione. Non per lesame nel
caso generale, se non vogliamo fare riferimento
ad una certa asse, dobbiamo usare il tensore
33
Riassunto A questo punto abbiamo sostituito le
variabili
velocità forza massa
velocità angolare momento di forza momento di
inerzia
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Manca ancora la sostituzione per il momento
lineare
Il momento lineare è definito così
Visto che abbiamo già scelto la sostituzione per
F
La nuova variabile la chiamiamo -deve
obbedire
Dalla seconda legge di Newton
segue
e di conseguenza
Momento angolare
Il momento angolare è una azione
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A questo punto conosciamo la nuova variabile, che
deve sostituire p, è
Però, nella sua definizione si trova sempre p!
Come possiamo sostituire
?
Per i moduli sappiamo
(1)
Per la direzione sappiamo per w conta solo la
componente di velocità perpendicolare a r.
(2)
(1) e (2) gt
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e con
e
due lucidi fa abbiamo anche visto che
gt Legge di Newton
Moto lineare
rotazione
37
Insomma
Movimento lineare
rotazione
velocità
Velocità angolare
forza
momento di forza
massa
momento di inerzia
Con questi nuove variabili segue
momento lineare
momento angolare
38
Per lesame Si deve saper usare il prodotto
vettoriale in generale Però, per calcoli del
movimento rotatorio non sarà necessario, Basta
considerare
etc
39
Dl(mondo) cost.
Se lo spazio è invariante sotto rotazione, il
momento angolare è conservato
40
Precedentemente abbiamo visto che la velocità non
è una proprietà del punto di massa, ma dipende
dallosservatore Il momento angolare di un punto
di massa non dipende dall osservatore, ma è una
proprietà del corpo
41
Le proprietà del mondo

• Tutta la materia è composta da atomi.
• Gli atomi consistono di una shell di elettroni e
  un nucleo.
• Il nucleo è fatto di protoni e neutroni.
• Protoni e neutroni sono composti da quarks.
  p(uud) n(udd)
• Alla fine tutta la materia e composta da quarks e
  elettroni
• Fra i quarks e gli elettroni agiscono 3 diverse
  forze - debole W,Z
• elm. g
• forte gluoni

Elettroni e quarks hanno I portatori delle forze
hanno
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Le proprietà dellelica a vento

• Per ottimizzare le energie eoliche, vogliamo
  sapere
• In generale che potenza sviluppa una elica a
  vento a una certa velocità di rotazione (data una
  certa velocità del vento) se non sappiamo questa
  funzione P(w), non sappiamo che tipo di elica è
  ottimale, e non sappiamo scegliere il generatore
  giusto.
• In particolare che forza il vento deve creare
  per far cominciare a girare l elica se serve un
  uragano per mettere in moto lelica, essa sarebbe
  inutile.

Vogliamo conoscere il momento di forza creato dal
vento sulla elica e la potenza risultante per
tutte le velocità angolari, w, dellelica.
43
Abbiamo visto che la potenza di una asse per
esempio di unelica a vento può essere misurata
se si conosce
Sapere e con precisione è però
difficile
E molto più facile misurare Il momento di forza
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E scriviamo invece di (caso lineare)
Cominciamo la misura a
gt la elica gira libera, senza produrre
energia
Aumentando la forza frenante F, lelica sarà
rallentata sempre di più, w si abbassa
Possiamo aumentare la forza frenante solo fino a
quando diventa uguale alla forza del vento (per
esempio in una galleria a vento) la velocità
angolare corrispondente chiamiamo wu - per forze
frenanti più grandi, lelica si fermerà, perchè
il momento di forza del vento e più piccolo del
momento del forza frenante.
45
Così sembra, che non possiamo fare misura per w lt
wu. Questo sarebbe un grande problema, perchè per
ottimizzare unelica a vento, essa deve essere
costruita in modo tale, che cominci a girare il
più presto, quando cé un filo di vento perciò
vogliamo sapere, come si comporta nel momento di
partenza, che vuol dire a w piccoli.
Il problema può essere risolto se e solo se
prendiamo in considerazione non solo il momento
di forza causato dal vento e il momento di forza
frenante, ma anche il momento di forza causata
dalla accelerazione angolare del frenare.
con
46
Per valutare sperimentalmente
con
approssimiamo
dalla misura sperimentale osserviamo quanto
fortemente lelica rallenta in presenza del vento
invece può essere ottenuto con massa e forma
dellelica noti, o in alternativa misurando la
forza frenante e la risultante decelerazione
angolare in assenza di vento.
47
(No Transcript)
48
(No Transcript)
49
Un volano di diametro di 1.20 m gira a velocità
angolare di 200giri/min Qual è la sua velocità
angolare in rad/s? Qual è il modulo della
velocità lineare di un punto del bordo del
volano? Qual è laccelerazione angolare costante
necessaria per portare a 1000 giri/min in 60 s la
velocità angolare del volano? Qual è
laccelerazione tangenziale di un punto del bordo
del volano? Quanti giri compirà in questi 60 s?
50
Quanti giri compirà in questi 60 s?
51
Accelerazione centripeta (moto circolare uniforme)
con
52
Momento di inerzia di un punto materiale di massa
M
Momento di inerzia di un anello omogeneo di massa
M e raggio R rispetto al proprio asse
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Indichiamo con l la densità lineare dellanello
IMR2 come se la massa dellanello fosse
concetrata in un punto materiale a distanza R
dallasse.
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Momento di inerzia di un disco omogeneo di massa
M e raggio R rispetto al proprio asse
Supponiamo che il disco ruoti attorno un asse,
perpendicolare al disco passante per il suo
centro (asse del disco). Indichiamo con s la
densità superficiale del disco

• Suddividiamo il cerchio in tante corone circolari
  infinitesime e concentriche di spessore dr. A
  tutti gli effetti può essere considerato un
  anello di massa

• a cui corrisponde un momento di inerzia

• Applichiamo la definizione di momento di inerzia
  per i corpi continui

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Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto
ad un asse passante per un estremo
Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse,
perpendicolare alla sbarra passante per un suo
estremo. Indichiamo con l la densità lineare
della sbarra.

• Introduciamo un sistema di riferimento come in
  figura
• Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi
  di lunghezza dx,
• indichiamo con x la coordinata del primo estremo
  dellelemento infinitesimo
• La distanza dellelemento infinitesimo dallasse
  di rotazione sarà proprio il valore assoluto di x.

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Ciascuna delle tre pale del rotore di un
elicottero, mostrate in figura , è lunga 5.20m ed
ha una massa di 240 kg Qual è il momento di
inerzia del rotore rispetto allasse di
rotazione? (le pale possono essere considerate
come asticelle sottili) Qual è lenergia cinetica
rotazionale del rotore alla velocità angolare di
350 giri/min?
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Disco e blocco
Disco uniforme di massa M2.5 kg e raggio R20cm
montato su mozzo orizzontale fisso. Un blocco di
massa m1.2 kg appeso a un filo privo di massa
avvolto intorno al bordo del disco. Trovate
accelerazione di caduta del blocco, accelerazione
angolare del disco la tensione del filo
con
58
Insomma
Movimento lineare
rotazione
velocità
Velocità angolare
forza
momento di forza
massa
momento di inerzia
Con questi nuove variabili segue
momento lineare
momento angolare
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Disco e blocco
Disco uniforme di massa M2.5 kg e raggio R20cm
montato su mozzo orizzontale fisso. Un blocco di
massa m1.2 kg appeso a un filo privo di massa
avvolto intorno al bordo del disco. Trovate
accelerazione di caduta del blocco, accelerazione
angolare del disco la tensione del filo
con
60
Disco e blocco
Disco uniforme di massa M2.5 kg e raggio R20cm
montato su mozzo orizzontale fisso. Un blocco di
massa m1.2 kg appeso a un filo privo di massa
avvolto intorno al bordo del disco. Trovate
accelerazione di caduta del blocco, accelerazione
angolare del disco la tensione del filo
con
e