5.3 Funciones Especiales

1
5.3 Funciones Especiales

• Ecuación de Bessel de orden v (1)donde
  v ? 0, y x 0 es un punto singular regular de
  (1). Las soluciones de (1) se llaman funciones de
  Bessel.
• Lengenders Equation de order n (2)donde
  n es un entero no negativo, y x 0 es un punto
  ordinario de (2). Las soluciones de (2) se llaman
  funciones de Legendre.

2
La Solución de la Ecuación de Bessel

• Puesto que x 0 es un punto singular regular,
  sabemos que existe al menos una solución de la
  forma . Entonces
  de (1), (3)

3

• De (3) tenemos la ecuación indicial r2 v2 0,
  r1 v, r2 -v. Cuando r1 v, tenemos (1
  2v)c1 0 (k 2)(k 2 2v)ck2 ck 0ó
  (4)La elección de c1 0 implica c3
  c5 c7 0, así que para k 0, 2, 4, .,
  dejando que sea k 2 2n, n 1,
  2, 3, , tenemos (5)

4

• Así (6)

5

• Elegimos c0 como valor específico donde ?(1
  v) es la función gamma. Vease el Apéndice II. Hay
  una relación importante ?(1 ?) ??(?)Así
  que podemos reducir el denominador de (6)

6

• De ahí que podemos poner (6) como

7
Funciones de Bessel de Primera Clase

• Podemos definir Jv(x) mediante (7)y
  (8)En otras palabras, la solución
  general de (1) en (0, ?) es y c1Jv(x)
  c2J-v(x), v ? entero (9)
• Fig 5.3

8
Fig 5.3

9
Ejemplo 1

• Considere la ED Hallamos v ½, y la solución
  general en (0, ?) es

10
Funciones de Bessel de Segunda Clase

• Si v ? entero, entonces (10)y la
  función Jv(x) son soluciones linealmente
  independientes de (1). Otra solución de (1) es
  y c1Jv(x) c2Yv(x).
• Como v ? m, m un entero, (10) tiene la forma 0/0.
  De la regla de LHopital, la funcióny Jv(x)
  soluciones linealmente independientes de

11

• De ahí que para cada valor de v, la solución
  general de (1) es (11)Yv(x) se llama
  función de Bessel de segunda clase de orden v.
  Fig 5.4 ilustra y0(x) y y1(x).

12
Fig 5.4

13
Ejemplo 2

• Considere la ED Hallamos v 3, y de (11) la
  solución general en (0, ?) es

14
EDs Solubles en Términos de Funciones de Bessel

• Sea t ?x, ? gt 0, en (12)entonc
  es por la regla de la cadena,

15

• Así, (12) pasa a serLa solución de la
  anterior ED es y
  c1Jv(t) c2Yv(t)Sea t ?x, tenemos y
  c1Jv(?x) c2Yv(?x) (13)

16

• Otra ecuación se llama ecuación de Bessel
  modificada de orden v, (14)
• Ahora dejamos que sea t ix, entonces (14) se
  transforma en
• Las soluciones son Jv(ix) y Yv(ix). Una solución
  de valores reales, llamada función de Bessel
  modificada de primera clase de orden v se define
  como (15)

17

• Análogamente a (10), la función de Bessel
  modificada de segunda clase de orden v ? entero
  se define como (16)y para cualquier v
  n entero, Puesto que Iv y Kv son linealmente
  independientes en (0, ?), la solución general de
  (14) es (17)

18

• Consideramos otra ED importante (18)La
  solución general de (18) es (19)Aquí
  no se especifican los detalles.

19
Ejemplo 3

• Hallar la solución general de en (0, ?)
• SoluciónEscribiendo la ED como recurriendo to
  (18) 1 2a 3, b2c2 9, 2c 2 -1, a2
  p2c2 0luego a -1, c ½ . Además tomamos b
  6, p 2.De (19) la solución es

20
Ejemplo 4

• Recordamos el modelo de la Sec. 3.8 Se debe
  comprobar que tomandose tiene

21
Ejemplo 4 (2)

• La solución de la nueva ecuación es x
  c1J0(s) c2Y0(s),Si volvemos a
  sustituirobtenemos la solución.

22
Propiedades

• (1)
• (2)
• (3)
• (4)

23
Ejemplo 5

• Obtener la fórmula
• SoluciónDe la ecuación (7) se deduce

24
Ejemplo 5 (2)
25

• El resultado del ejemplo 5 puede escribirse
  como que es una ED lineal en Jv(x).
  Multiplicando ambos lados por el factor de
  integración x-v, se obtiene (20)Se
  puede demostrar que (21)Cuando y 0,
  se deduce del (14) que (22)

26
Funciones de Bessel Esféricas

• Cuando el orden v es la mitad de un entero impar,
  esto es, ?1/2, ?3/2, ?5/2, ..La función de
  Bessel de primera clase Jv(x) puede expresarse
  como función de Bessel esférica Como ?(1 ?)
  ??(?) y ?(1/2) ?½, entonces

27

• De ahí quey

28
La Solución de Ecuación de Legendre

• Como x 0 es un punto ordinario de (2),
  usamosDespués de sustituir y simplificar,
  obtenemos o en las formas siguientes

29

• Usando (25), para al menos x lt 1,
  obtenemos

30

• Observaciones Si n es un entero par, la
  primera serie termina, mientras que y2 es una
  serie infinita. Si n es un entero impar, la
  serie y2 termina con xn.

31
Polinomios de Legendre

• Los siguientes polinomios de orden n son
  polinomios de Legendre (27)

32

• Son a su vez soluciones particulares de las EDs.
  (28)
• Fig 5.5

33
Fig 5.5
34
Propiedades

• (1)
• (2)
• (3)
• (4)
• (5)

35
Relación de Recurrencia

• Sin comprobación, tenemos (29)que es
  válida para k 1, 2, 3, Otra fórmula puede
  generar los polinomios de Legendre por
  diferenciación. La fórmula de Rodrigues para
  estos polinomios es (30)