Soluciones en Serie de Ecuaciones Lineales

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Soluciones en Serie de Ecuaciones Lineales

• CAPÍTULO 5

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Contenidos

• 5.1 Soluciones respecto a puntos ordinarios
• 5.2 Soluciones respecto a puntos singulres
• 5.3 Funciones Especiales

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5.1 Soluciones Respecto a Puntos Ordinarios

• Repaso de Series de PotenciasRecuerde del
  cálculo una serie de potencias en x a es de la
  formaSe dice que es una serie de potencias
  centrada en a.

4

• Convergencia
• Existe
• Intervalo de ConvergenciaEl conjunto de números
  reales x para los cuales la serie converge.
• Radio de ConvergenciaSi R es el radio de
  convergencia, la serie de potencias converge para
  x a lt R y diverge para x a gt R.

5

• Convergencia AbsolutaDentro de su intervalo de
  convergencia, una serie de potencias converge
  absolutamente. Esto es, la siguiente serie
  converge
• Prueba de RelaciónSuponiendo cn ? 0 para todo n,
  y Si L lt 1, esta serie converge absolutamente,
  si L gt 1, esta serie diverge, si L 1, el
  criterio no es concluyente.

6

• Una Serie de Potencias Define una
  FunciónSuponemos entonces
• Propiedad de IdentidadSi todo cn 0, entonces
  la serie 0.

7

• Analítica en un PuntoUna función f s analítica
  en un punto a, si se puede representar mediante
  una serie de potencias en x a con un radio de
  convergencia positivo. Por ejemplo (2)

8

• Aritmética de Series de PotenciasLas series de
  potencia se combinan mediante operaciones de
  suma, multiplicación y división.

9
Ejemplo 1

• Escribir
  como una sola serie de potencias.
• SoluciónComoSe establece k n 2 para la
  primera serie y k n 1 para la segunda
  serie,

10
Ejemplo 1 (2)

• Entonces podemos obtener el lado derecho
  como (3)
• Ahora obtenemos (4)

11
Una Solución

• Suponga que la ED lineal (5)se escribe
  como (6)

12
Coeficientes Polinomiales

• Como P y Q en (6) son funciones racionales, P
  a1(x)/a2(x), Q a0(x)/a2(x)Se deduce que x
  x0 es un punto ordinario de (5) si a2(x0) ? 0.

13

• Una solución en serie converge al menos en un
  intervalo definido por x x0 lt R, donde R es
  la distancia desde x0 hasta el punto singular
  más próximo.

14
Ejemplo 2

• Resolver
• SoluciónSabemos que no hay puntos ordinarios
  finitos. Ahora, y Luego de la ED se
  obtiene (7)

15
Ejemplo 2 (2)

• Por el resultado obtenido en (4), (8)Co
  mo (8) es idénticamente cero, es necesario que
  todos los coeficientes sean cero, 2c2 0,
  y (9)Ahora (9) es una relación de
  concurrencia, puesto que (k 1)(k 2) ? 0,
  entonces desde (9)
• (10)

16
Ejemplo 2 (3)

• Así obtenemos

17
Ejemplo 2 (4)

• y así sucesivamente.

18
Ejemplo 2 (5)

• Entonces las soluciones en series de potencias
  son y c0y1 c1y2

19
Ejemplo 2 (6)

20
Ejemplo 3

• Resolver
• SoluciónPuesto que x2 1 0, x i, -i son
  puntos singulares. Una solución en serie de
  potencias centrada en 0 convergerá al menos para
  x lt 1. Usando al forma en serie de potencia de
  y, y y y,

21
Ejemplo 3 (2)
22
Ejemplo 3 (3)

• De lo anterior, tenems 2c2-c0 0, 6c3 0 ,
  yAsí c2 c0/2, ck2 (1 k)ck/(k 2)Luego
  

23
Ejemplo 3 (4)

• y así sucesivamente.

24
Ejemplo 3 (5)

• Por tanto,

25
Ejemplo 4

• Si se busca una solución en serie de potencias
  y(x) para obtenemos c2 c0/2 y la relación de
  recurrencia esExaminando la fórmula se ve que
  c3, c4, c5, se expresan en términos de c1 y c2.
  Sin embargo es más complicado. Para
  simplificarlo, podemso elegir primero c0 ? 0, c1
  0. En este caso tenemos

26
Ejemplo 4 (2)

• y así sucesivamente. Después, elegimos c0 0,
  c1 ? 0, entonces

27
Ejemplo 4 (3)

• y así sucesivamente. Así tenemos y c0y1 c1y2,
  donde

28
Ejemplo 5

• Resolver
• SoluciónVemos que x 0 es un punto ordinario de
  la ecuación. Usando la serie de Maclaurin para
  cos x, y empleando , hallmos

29
Ejemplo 5 (2)

• Se deduce quey así sucesivamente. Se obtiene
  c2 -1/2c0, c3 -1/6c1, c4 1/12c0, c5
  1/30c1,. Agrupando términos llegamos a la
  solución general y c0y1 c1y2, donde la
  convergencia es x lt ?, y

30
5.2 Soluciones Respecto a Puntos Singulares

• Una DefiniciónUn punto singular x0 de una ED
  lineal (1)se clasifica más bien como
  regular o irregular. La clasificación depende
  de (2)

31
(No Transcript)
32
Coeficintes Polinomiales

• Si x x0 aparece a lo sumo a la primera potencia
  en el denominador de P(x) y a lo sumo a la
  segunda potencia en el denominador de Q(x),
  entonces x x0 es un punto singular regular.
• Si (2) se multiplica por(x x0)2,
  (3)donde p, q son analíticas en x
  x0

33
Ejemplo 1

• Se debe aclarar que x 2, x 2 son puntos
  sinulares de (x2 4)2y 3(x 2)y 5y
  0Según (2), tenemos

34
Ejemplo 1 (2)

• Para x 2, la potencia de (x 2) en el
  denominador de P es 1, y la potencia de (x 2)
  en el denominador de Q es 2. Así x 2 es un
  punto singular regular.Para x -2, la potencia
  de (x 2) en el denominador de P y Q es 2.Así x
  - 2 es un punto singular irregular.

35
TEOREMA 5.2
Si x x0 es un punto singular regular de (1),
entonces existe al menos una solución de la
forma (4)donde el número r es una
constante por determinar. La serie converge al
menos en algún intervalo 0 lt x x0 lt R.
Teorema de Frobenius
36
Ejemplo 2 Método de Frobenius

• Debido a que x 0 es un punto singular regular
  de (5)tratamos de hallar una
  solución.Ahora,

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Ejemplo 2 (2)
38
Ejemplo 2 (3)

• Lo cual implica que r(3r 2)c0 0 (k r
  1)(3k 3r 1)ck1 ck 0, k 0, 1, 2,
  Debido a que no se gana nada haciendo c0 0,
  r(3r 2) 0 (6)y (7)De (6),
  r 0, 2/3, cuando se sustituye en (7),

39
Ejemplo 2 (4)

• r1 2/3, k 0,1,2, (8)
• r2 0, k 0,1,2, (9)

40
Ejemplo 2 (5)

• De (8) De (9)

41
Ejemplo 2 (6)

• Los dos conjuntos contienen el mismo múltiplo c0.
  Si se omite este término, tenemos (10)
  (11)

42
Ejemplo 2 (7)

• Mediante el criterio de la razón, (10) y (11)
  convergen para todo valor finito de x, esto es,
  x lt ?. Asimismo, de la forma de (10) y (11),
  son linealmente independientes. Así la solución
  es y(x) C1y1(x) C2y2(x), 0 lt x lt ?

43
Ecuación Indicial

• La ecuación (6) se llama ecuación indicial, donde
  los valores de r se llaman raíces indiciales, o
  exponentes.
• Si x 0 es un punto singular regular de (1),
  entonces p xP y q x2Q son analíticas en
  x 0.

44

• Así los desarrollos en serie de potencia p(x)
  xP(x) a0a1xa2x2 q(x) x2Q(x)
  b0b1xb2x2 (12)son válidos en intervalos que
  tienen un radio de convergancia positivo.
  Multiplicando (2) por x2, tenemos (13)T
  ras ciertas sustituciones, hallmaos la ecución
  indicial, r(r 1) a0r b0 0 (14)

45
Ejemplo 3

• Resolver
• SoluciónSea ,
  entonces

46
Ejemplo 3 (2)

• Lo cual implica r(2r 1) 0 (15) (16
  )

47
Ejemplo 3 (3)

• De (15), tenemos r1 ½ , r2 0.Para r1 ½ ,
  dividimos entre k 3/2 en (16) para
  obtener (17) Para r2 0 , (16) se
  convierte en (18)

48
Ejemplo 3 (4)

• De (17) De (18)

49
Ejemplo 3 (5)

• Así para r1 ½ para r2 0 y en (0, ?),
  la solución es y(x) C1y1 C2y2.

50
Ejemplo 4

• Resolver
• SoluciónDe xP 0, x2Q x, y el hecho de que 0
  y x sean sus propias series de potencias
  centradas en 0, se concluye a0 0, b0 0.
  Luego de la forma (14) tenemos r(r 1) 0, r1
  1, r2 0. En otras palabras, sólo hay una
  solución en serie

51
Tres casos

• (1) Si r1, r2 son distintas y la diferencia r1 -
  r2 no es un entero positivo, entonces existen dos
  soluciones linealmente independientes de la
  ecuación (1) de la forma

52

• (2) Si r1 r2 N, donde N es un entero
  positivo, entonces existen dos soluciones
  linealmente independientes de la ecuación (1) de
  la forma

53

• (3) Si r1 r2, entonces existen dos soluciones
  linealmente independientes de la ecuación (1) de
  la forma

54
Determinación de una Segunda Solución

• Si ya conocemos una solución y1, la segunda puede
  obtenerse de la siguiente manera

55
Ejemplo 5

• Hallar la solución general de
• SoluciónDe la solución conocida del Ejemplo
  4,podemos usar (23) para hallar y2(x). Use un
  CAS para operaciones complicadas.

56
Ejemplo 5 (2)
57
5.3 Funciones Especiales

• Ecuación de Bessel de orden v (1)donde
  v ? 0, y x 0 es un punto singular regular de
  (1). Las soluciones de (1) se llaman funciones de
  Bessel.
• Lengenders Equation de order n (2)donde
  n es un entero no negativo, y x 0 es un punto
  ordinario de (2). Las soluciones de (2) se llaman
  funciones de Legendre.

58
La Solución de la Ecuación de Bessel

• Puesto que x 0 es un punto singular regular,
  sabemos que existe al menos una solución de la
  forma . Entonces
  de (1), (3)

59

• De (3) tenemos la ecuación indicial r2 v2 0,
  r1 v, r2 -v. Cuando r1 v, tenemos (1
  2v)c1 0 (k 2)(k 2 2v)ck2 ck 0ó
  (4)La elección de c1 0 implica c3
  c5 c7 0, así que para k 0, 2, 4, .,
  dejando que sea k 2 2n, n 1,
  2, 3, , tenemos (5)

60

• Así (6)

61

• Elegimos c0 como valor específico donde ?(1
  v) es la función gamma. Vease el Apéndice II. Hay
  una relación importante ?(1 ?) ??(?)Así
  que podemos reducir el denominador de (6)

62

• De ahí que podemos poner (6) como

63
Funciones de Bessel de Primera Clase

• Podemos definir Jv(x) mediante (7)y
  (8)En otras palabras, la solución
  general de (1) en (0, ?) es y c1Jv(x)
  c2J-v(x), v ? entero (9)
• Fig 5.3

64
Fig 5.3

65
Ejemplo 1

• Considere la ED Hallamos v ½, y la solución
  general en (0, ?) es

66
Funciones de Bessel de Segunda Clase

• Si v ? entero, entonces (10)y la
  función Jv(x) son soluciones linealmente
  independientes de (1). Otra solución de (1) es
  y c1Jv(x) c2Yv(x).
• Como v ? m, m un entero, (10) tiene la forma 0/0.
  De la regla de LHopital, la funcióny Jv(x)
  soluciones linealmente independientes de

67

• De ahí que para cada valor de v, la solución
  general de (1) es (11)Yv(x) se llama
  función de Bessel de segunda clase de orden v.
  Fig 5.4 ilustra y0(x) y y1(x).

68
Fig 5.4

69
Ejemplo 2

• Considere la ED Hallamos v 3, y de (11) la
  solución general en (0, ?) es

70
EDs Solubles en Términos de Funciones de Bessel

• Sea t ?x, ? gt 0, en (12)entonc
  es por la regla de la cadena,

71

• Así, (12) pasa a serLa solución de la
  anterior ED es y
  c1Jv(t) c2Yv(t)Sea t ?x, tenemos y
  c1Jv(?x) c2Yv(?x) (13)

72

• Otra ecuación se llama ecuación de Bessel
  modificada de orden v, (14)
• Ahora dejamos que sea t ix, entonces (14) se
  transforma en
• Las soluciones son Jv(ix) y Yv(ix). Una solución
  de valores reales, llamada función de Bessel
  modificada de primera clase de orden v se define
  como (15)

73

• Análogamente a (10), la función de Bessel
  modificada de segunda clase de orden v ? entero
  se define como (16)y para cualquier v
  n entero, Puesto que Iv y Kv son linealmente
  independientes en (0, ?), la solución general de
  (14) es (17)

74

• Consideramos otra ED importante (18)La
  solución general de (18) es (19)Aquí
  no se especifican los detalles.

75
Ejemplo 3

• Hallar la solución general de en (0, ?)
• SoluciónEscribiendo la ED como recurriendo to
  (18) 1 2a 3, b2c2 9, 2c 2 -1, a2
  p2c2 0luego a -1, c ½ . Además tomamos b
  6, p 2.De (19) la solución es

76
Ejemplo 4

• Recordamos el modelo de la Sec. 3.8 Se debe
  comprobar que tomandose tiene

77
Ejemplo 4 (2)

• La solución de la nueva ecuación es x
  c1J0(s) c2Y0(s),Si volvemos a
  sustituirobtenemos la solución.

78
Propiedades

• (1)
• (2)
• (3)
• (4)

79
Ejemplo 5

• Obtener la fórmula
• SoluciónDe la ecuación (7) se deduce

80
Ejemplo 5 (2)
81

• El resultado del ejemplo 5 puede escribirse
  como que es una ED lineal en Jv(x).
  Multiplicando ambos lados por el factor de
  integración x-v, se obtiene (20)Se
  puede demostrar que (21)Cuando y 0,
  se deduce del (14) que (22)

82
Funciones de Bessel Esféricas

• Cuando el orden v es la mitad de un entero impar,
  esto es, ?1/2, ?3/2, ?5/2, ..La función de
  Bessel de primera clase Jv(x) puede expresarse
  como función de Bessel esférica Como ?(1 ?)
  ??(?) y ?(1/2) ?½, entonces

83

• De ahí quey

84
La Solución de Ecuación de Legendre

• Como x 0 es un punto ordinario de (2),
  usamosDespués de sustituir y simplificar,
  obtenemos o en las formas siguientes

85

• Usando (25), para al menos x lt 1,
  obtenemos

86

• Observaciones Si n es un entero par, la
  primera serie termina, mientras que y2 es una
  serie infinita. Si n es un entero impar, la
  serie y2 termina con xn.

87
Polinomios de Legendre

• Los siguientes polinomios de orden n son
  polinomios de Legendre (27)

88

• Son a su vez soluciones particulares de las EDs.
  (28)
• Fig 5.5

89
Fig 5.5
90
Propiedades

• (1)
• (2)
• (3)
• (4)
• (5)

91
Relación de Recurrencia

• Sin comprobación, tenemos (29)que es
  válida para k 1, 2, 3, Otra fórmula puede
  generar los polinomios de Legendre por
  diferenciación. La fórmula de Rodrigues para
  estos polinomios es (30)