Teoria Cinetica dei gas

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Teoria Cinetica dei gas

• (Unesposizione elementare)

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Le tappe fondamentali dellinterpretazione
cinetica del calore
Daniel Bernoulli spiegazione della legge di
Boyle col modello cinetico (pressione di un gas
come risultato degli urti delle molecole sulle
pareti del contenitore) (ignorata per il
prevalere del modello statico proposto da
Newton)
1738
1820

• John Herapath riproposta dei risultati di
  Bernoulli,
• calcolo della velocità di una molecola
  didrogeno

1827
Robert Brown scoperta del moto Browniano

• J.R.Joule equivalenza tra calore ed energia
  meccanica
• abbandono definitivo della teoria del calorico
• riproposta del lavoro di Herapath

1848
R.Clausius sulla natura di quel particolare
moto che chiamiamo calore fondamenti della
moderna teoria cinetica
1856
J.C.Maxwell - Ludwig Boltzmann sviluppo
dettagliato della teoria matematica Meccanica
statistica
1861
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Le tappe fondamentali dellinterpretazione
cinetica del calore
J.Perrin studio del moto browniano e
determinazione del numero di Avogadro
1900
Otto Stern - Zartmann - etc. conferme
sperimentali della legge di Maxwell per la
distribuzione statistica delle velocità molecolari
1920
nascita e sviluppo della Meccanica Quantistica
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La teoria cinetica classica costituisce
lultimo trionfo della meccanica newtoniana nella
descrizione dei fenomeni naturali anche i
fenomeni microscopici possono essere affrontati
e spiegati sulla base delle leggi di Newton e
dei principi di conservazione
Alcune sue previsioni non sono però in accordo
con i dati sperimentali solo lo sviluppo della
meccanica quantistica ha potuto fornire una
descrizione pienamente soddisfacente dei fenomeni
su scala atomica
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Il modello meccanico di un gas
Al contrario di quel che avviene per i liquidi ed
i solidi, il comportamento dei gas appare
indipendente dalla specie chimica. La bassissima
densità, la capacità di espandersi
illimitatamente, il comportamento semplice e
regolare al variare di temperatura e pressione
portano a concludere che, nello stato gassoso, le
molecole siano sostanzialmente indipendenti e
libere, che le forze fra di esse agiscano, a
breve distanza, solo nellurto. Ciò conduce a
formulare un primo modello meccanico fondato
sulle seguenti ipotesi

• Le molecole sono assimilabili a sfere rigide

• Il loro numero è così elevato da essere
  statisticamente significativo

• Le loro dimensioni sono trascurabili rispetto
  alla distanza media fra esse in altri termini il
  volume complessivo delle molecole è trascurabile
  rispetto al volume totale occupato dal gas

• Lurto delle molecole con le pareti del
  contenitore è elastico

• Tutte le molecole sono di ugual massa

• Il moto delle molecole non ha direzioni
  privilegiate

Le molecole non si urtano fra loro
e infine
Labbandono di questultima ipotesi porta ad un
sostanziale raffinamento del modello, con
conseguenze estremamente significative
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Applichiamo al modello le leggi di Newton
(la risultante delle forze applicate ad un corpo
è uguale alla variazione, nel tempo, della sua
quantità di moto)
Si pensi ad una sola pallina di massa m in moto
con velocità v entro una scatola cubica di lato
L
Nellurto contro la parete di destra,
perpendicolare allasse X, essa subisce una
variazione della quantità di moto
forza agente sulla particella in un urto
forza agente sulla parete in un urto
( 3 principio della dinamica)
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Lintervallo di tempo tra due urti consecutivi è
L
La forza esercitata in media da una particella è
dunque
La pressione sulla faccia (di area SL2) della
scatola (di volume VL3) è
Per una particella si ha dunque
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Per N particelle invece
(ove è il valore medio del
quadrato delle componenti della velocità lungo
lasse X)
Ma, essendo ogni direzione ugualmente probabile,
E quindi
il prodotto pressione per volume di un gas è
proporzionale allenergia cinetica media delle
molecole
Legge di Joule-Clausius
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Teoria Cinetica (ipotesi teorica)
Equazione di stato dei gas (risultato
sperimentale)
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La temperatura assoluta risulta dunque (se la
deduzione è corretta !), essere proporzionale
alla sola energia cinetica media del moto
molecolare
avendo definito con k la costante di Boltzmann
(costante universale)
Acquista un significato chiaro la nozione di
temperatura assoluta !
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Calcolo delle velocità molecolari
A che velocità si muove, in media, una molecola
di Ossigeno ( O2 ) a temperatura ambiente ?
(T27 C 300 K)
se
Velocità quadratica media (radice quadrata della
media dei quadrati delle velocità)
massa molecolare
per lOssigeno
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e una molecola dIdrogeno ( H2 ) ?
a parità di temperatura lenergia cinetica media
è la stessa, ma la velocità media è inversamente
proporzionale alla radice quadrata della massa
molecolare (abbiamo abbandonato lipotesi di
masse uguali)
Se le cose stanno così allora .
una molecola 100 volte più pesante di quella di
ossigeno avrebbe comunque la velocità di circa
50 m/s e percorrerebbe un locale di 5 metri di
lunghezza ben 10 volte in un secondo !!!! che sia
proprio così ?
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Lesperienza ci dice che il profumo del caffè non
ci arriva così in fretta !!
Fai clic sulla foto
prova tu ad immaginare altre analoghe situazioni
Questo fenomeno di propagazione di un gas in un
altro (diffusione) appare in realtà decisamente
più lento.
Come si possono conciliare queste osservazioni
con le previsioni della teoria cinetica ?
Rinunciando allipotesi che le dimensioni delle
molecole siano tanto piccole da rendere
trascurabile la probabilità di un urto fra esse
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Se si assume che le dimensioni delle molecole
siano finite , per esempio sfere di raggio r ,
allora il percorso di ciascuna molecola sarà una
successione casuale di moti rettilinei uniformi,
di lunghezza e direzione differenti, tra un urto
e laltro, percorsi ciascuno con velocità
diversa, dipendente dalle modalità con cui
avviene lurto con unaltra molecola.
Più grandi sono le molecole, più è probabile
lurto reciproco !
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Si può dimostrare che la frequenza durto (numero
di collisioni al secondo) è data da
r raggio molecolare n numero di molecole
per unità di volume velocità media
e che il cammino libero medio (distanza media
percorsa tra un urto e il successivo) è
Nel 1856 R.Clausius determinò, proprio in base
alle velocità di diffusione dei gas e ad altri
dati sperimentali, lordine di grandezza delle
dimensioni molecolari
Si tratta della prima misura indiretta delle
dimensioni di particelle microscopiche, fino ad
allora solamente ipotizzate !
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Negli urti tra molecole si hanno continui scambi
di energia cinetica ma il valore medio per
molecola di tale energia e quello complessivo
restano costanti. Si deve a J.C.Maxwell il
calcolo della distribuzione statistica delle
velocità molecolari in un gas (nellesempio
Ossigeno), il cui andamento dipende solo dalla
temperatura
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Qualche osservazione sui calori specifici dei gas
La temperatura di un gas è direttamente
proporzionale allenergia cinetica media delle
molecole. Infatti da
si ottiene
Consideriamo un gas che passa dalla temperatura
T1 alla temperatura T2 (superiore) e calcoliamo
la variazione di temperatura. Otteniamo
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Consideriamo ora il calore Q fornito, a volume
costante, al gas. Tale calore è direttamente
proporzionale alla massa del gas e alla
variazione della temperatura
Notiamo che la temperatura è legata solo
allenergia cinetica delle particelle mentre il
calore è associato allenergia cinetica e al
numero N di particelle. Il calore fornito al gas
viene impiegato per aumentare il contenuto
energetico complessivo. Questo contenuto
energetico complessivo è indicato con il termine
Energia Interna
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Un rifornimento o una sottrazione di calore di
calore a un gas ne aumenta o ne diminuisce
lenergia interna, in assenza di lavoro
meccanico. La corrispondenza fra energia cinetica
delle particelle e temperatura unitamente alla
identificazione dellenergia cinetica totale del
gas con la sua energia interna conduce alla
definizione
funzione matematica che dipende solo dalla
temperatura
Se lenergia interna non è dovuta solo
allenergia cinetica ma, come avviene nei gas
biatomici o poliatomici, entrano in gioco anche
le forze intermolecolari e intramolecolari, il
modello non va più bene
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Abbiamo già visto che
allora per una mole di gas
e per n moli
quindi
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Una variazione dellenergia interna determina una
variazione della temperatura, nellipotesi di
volume costante, secondo la legge
Per la legge della calorimetria
nel nostro caso
se consideriamo una mole di gas invece di m
grammi otteniamo
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Per una mole di gas monoatomico il calore
specifico a volume costante è
valore confermato dai risultati delle misure
sperimentali
Per i gas poliatomici in generale il calore
fornito va ad incrementare anche lenergia dovuta
a moti di rotazione e vibrazione e non solo
lenergia cinetica di traslazione quindi ci
aspetteremmo di trovare valori molto diversi,
invece cè ancora molta regolarità. Il modello
prevede
gas biatomici
gas triatomici
laccordo con i valori sperimentali continua a
essere abbastanza buono
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Per i solidi il modello è molto più complicato ma
si arriva comunque a prevedere, per il calore
specifico molare, un valore di circa
Questa caratteristica fu messa in evidenza verso
il 1820 dai fisici francesi Dulong e Petit e da
essi prende il nome di
Legge di Dulong e Petit
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Bibliografia

• Questa presentazione è stata ottenuta modificando
  e integrando Teoria Cinetica (unesposizione
  elementare) di G.A. Carnaghi docente al Liceo
  D. Crespi di Busto Arsizio (http//www.liceocres
  pi.it).
• Ho inoltre utilizzato il testo di Bergamaschini,
  Marazzini e Mazzoni Lindagine del mondo fisico
  volume C edito da Carlo Signorelli.

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I ritratti

• Nelle pagine successive I ritratti di alcuni
  degli scienziati che sono stati citati. In questa
  pagina
• Boltzmann

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Avogadro Bernoulli Brown
Clausius
27
Joule MaxwellStern
Perrin