STATISTIQUE INFERENTIELLE

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STATISTIQUE INFERENTIELLE

• STAGE ACADEMIQUE
• LA REUNION

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PLAN DE LEXPOSE

• 1ière PARTIE GÉNÉRALITÉS
• I. INTRODUCTION
• II. SITUATIONS PROBLEMES
• III. LA STATISTIQUE INFERENTIELLE
• IV. LE PROGRAMME DE SECONDE
• 2ième PARTIE LA THÉORIE DE LECHANTILLONNAGE
• I. LOI NORMALE
• II. THEORIE DE LECHANTILLONNAGE
• III. PRISE DE DECISION
• IV. THEORIE DE LESTIMATION
• V. ESTIMATION DUNE PROPORTION
• VI. EVALUATION DE TRAVAUX AVEC TIC
• 3ième PARTIE APPROFONDISSEMENT
• I. TESTS STATISTIQUES
• II. COMPLEMENTS

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2ième PARTIELATHÉORIE
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I. LA LOI NORMALE

• PLAGES DE NORMALITE

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POURQUOI ABORDER LA LOI NORMALE?

• Elle tient son importance, en mathématiques, dun
  des théorèmes fondamentaux de la Théorie des
  Probabilités le théorème Central Limite.
• Ce théorème établit une propriété qui va
  justifier l'importance considérable de la loi
  normale, à la fois comme modèle pour décrire des
  situations pratiques, mais aussi comme outil
  théorique.

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THEOREME FONDAMENTAL THEOREME CENTRAL LIMITE

• Soit n variables aléatoires X1,X2,,Xn
• - indépendantes,
• - de même loi,
• - de même espérance mathématique m,
• - de même variance ,
• Alors, lorsque n est  suffisamment  grand, la
  loi de probabilité de la variable aléatoire
  Moyenne Mn (X1X2Xn)/n tend en loi vers la
  loi normale .

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INTERPRETATION

• Ce théorème établit la convergence en loi d'une
  suite de variables aléatoires vers la loi
  normale. Intuitivement, ce résultat affirme que
  toute somme de variables aléatoires indépendantes
  et identiquement distribuées tend vers une
  variable aléatoire gaussienne.
• En s'éloignant de la théorie, on peut dire que
  bon nombre de phénomènes naturels sont dûs à la
  superposition de causes nombreuses, plus ou moins
  indépendantes.
• Il en résulte que la loi normale les représente
  de manière raisonnablement efficace, mais il
  sagit plutôt dune modélisation.

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DANS LA VIE COURANTE

• Des variables concernant des phénomènes naturels
  ou démographiques, comme les débits annuels
  moyens dun fleuve sur au moins 5O ans,
  lespérance de vie dune population, peuvent être
  approchés par la loi normale.
• Les variables biologiques, comme le taux de
  triglycérides dans le sang, le taux de
  cholestérol, la glycémie, sont modélisées par des
  gaussiennes.
• Cependant, on peut dire qu'aucun phénomène
  concret n'est vraiment gaussien car il ne peut
  dépasser certaines limites.

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INTERET DE LA LOI NORMALE DANS LES CALCULS

• La loi Normale a de  bonnes  propriétés
  mathématiques.
• Cest une loi de probabilité symétrique,
• La somme de v.a gaussiennes est une v.a
  gaussienne,
• La moyenne de v.a gaussiennes est une v.a
  gaussienne,
• On possède la table de sa fonction de
  répartition.
• Nous allons aborder rapidement ses propriétés.

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LA LOI NORMALE ou LOI DE LAPLACE-GAUSS
11
LOI NORMALE CENTREE REDUITE

• Théorème changement de variable

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TABLE DE LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE

• Intérêt de ce théorème ramener toute loi normale
  à la loi normale centrée réduite.
• Pour calculer les valeurs de la table de la loi
  N(01) on utilise le fait que cest une loi de
  probabilité, et ses propriétés de symétrie.
• La table de la loi N(01) permettra donc de
  calculer les valeurs de toutes les fonctions de
  répartition de toutes les lois normales.

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BOÎTES EN CARTON

• Une entreprise fabrique en série des boîtes en
  carton.
• On note X la variable aléatoire qui prend pour
  valeur la hauteur dune boîte en carton.
• On admet que X suit la loi normale de moyenne 2,5
  cm et décart type 0,2 cm.
• 1. Calculer la probabilité quune boîte, choisie
  au hasard dans la production, ait une hauteur
  inférieure à 2,25cm.
• 2. Déterminer le réel a tel que la probabilité
  que X soit inférieure à a, ait pour valeur 0,67.

14
RESOLUTION

• 1. X suit une loi normale avec m2,5 et s0,2
  soit N(2,50,2).
• La probabilité cherchée est P(Xlt2,25).
• On effectue le changement de variable T(X-m)/s
  soit T(X-2,5)/0,2 doù
• P(Xlt2,25) P(Tlt(2,25-2,5)/0,2)
• P(Tlt-1,25)
• 1-P(Tlt1,25) par symétrie de la
  loi de T
• 1-0,8944
• 0,1056

15
RESOLUTION suite

• 2. le problème revient à résoudre léquation P(X
  lt a) 0,67.
• A laide du changement de variable, ceci équivaut
  à
• P(T lt (a 2,5)/0,2) 0,67
• Or, daprès la table, on a P(T lt t) 0,67 pour
• t 0,44.
• On résout donc (a 2,5)/0,2 0,44
• a 0,440,2 2,5
• Ce qui donne a 2,588.

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PLAGES DE NORMALITE

• X v.a suivant N(m, s ) et T v.a suivant N(01)
• Les intervalles suivants ou plages de normalité
  se calculent grâce aux égalités ci-dessous,
  obtenues grâce à la table de la loi N(01)
• P(m-s ltXltm s) P(-1ltTlt1) 0,68.
• P(m-1,6 s ltXltm1,6 s) P(-1,6ltTlt1,6) 0,90.
• P(m-1,96 s ltXltm1,96 s) P(-1,96ltTlt1,96) 0,95.
• P(m-3,09 s ltXltm3,09 s) P(-3,09ltTlt3,09) 0,99.

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PLAGE DE NORMALITE LOI NORMALE CENTREE REDUITE

• On considère la v.a X suivant N(m, s ), et la v.a
  T suivant N(01).
• Légalité
• P(m-1,96 s lt X lt m1,96 s) P(-1,96 lt T lt 1,96)
  0,95,
• signifie que T se trouve dans lintervalle
  -1,96 1,96, avec une probabilité égale à
  0,95.

95
0,95.
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SIGNIFICATION

• On appelle intervalle de normalité au niveau de
  confiance de 95, lintervalle de centre m dans
  lequel on peut sattendre à trouver 95 des
  observations.
• Pour toutes les v.a gaussiennes, lintervalle de
  normalité au niveau de confiance de 95 est
• I m - 1,96 s m 1,96 s .
• On lui préfère souvent m - 2 s m 2 s qui
  contient au moins 95 des observations.

19
II. THEORIE DE LÉCHANTILLONNAGE
20
INTRODUCTION

• Avant daborder la théorie de léchantillonnage,
  il nous faut rappeler quelques définitions et
  propriétés concernant les opérations sur les
  variables aléatoires.
• On considère par exemple le problème suivant
• Pour améliorer le stockage dun produit, un
  supermarché fait une étude sur la vente de packs
  de 6 bouteilles deau de marques A et B.
• X la v.a mesure le nb de packs deau de marque A
  achetés
• Y la v.a mesure le nb de packs deau de marque B
  achetés.
• La probabilité P(Xxi et Yyi) est donnée par le
  tableau

X Y 1 2 3
1 0,1 0,2 0,2
2 0,1 0,3 0,1
21
SOMME DE VARIABLES ALEATOIRES

• Soit X et Y deux v.a.
• La somme XY est une v.a S SXY.
• La loi de probabilité de S est obtenue en
  associant, à chaque valeur s de S, la somme des
  probabilités correspondantes à tous les couples
  dont la somme des termes est égale à s.
• Dans le cas de lexemple précédent, la v.a S
  mesure le nombre de packs des marques A et B
  achetés.

22

• Si on considère en rouge la somme

X Y 1 2 3
1 0,1 s2 0,2 s3 0,2 s4
2 0,1 s3 0,3 s4 0,1 s5

• La loi de probabilité de S est donnée par le
  tableau

S 2 3 4 5
P(Ssi) 0,1 0,3 0,5 0,1
23
THEOREMES

• SXY
• E(S)E(X)E(Y)
• Si X et Y sont indépendantes V(S)V(X)V(Y).
• De même DX-Y est une v.a.
• E(D)E(X)-E(Y), et
• Si X et Y sont indépendantes V(D)V(X)V(Y).

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COROLLAIRE

• Soit X une variable aléatoire et n variables
  aléatoires X1,X2,,Xn indépendantes et de même
  loi que X.
• Alors, la v.a  Moyenne des Xn  Yn, définie par
  Yn (X1X2Xn)/n.
• Vérifie
• E(Yn)E(S(Xi)/n)(SE(Xi))/nnE(X)/nE(X).
• V(Yn)V(S(Xi)/n)(SV(Xi))/n²(nV(X))/n²V(X)/n.
• s(Yn)s(X)/vn.

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THEOREME FONDAMENTAL LOI FAIBLE DES GRANDS
NOMBRES

• ou THEOREME DE BERNOULLI
• Soit X une variable aléatoire et n variables
  aléatoires X1,X2,,Xn de même loi que X.
• Alors, la v.a Yn, définie par
• Yn (X1X2Xn)/n
• tend en probabilité vers lespérance
  mathématique de X, c.a.d E(X).
• Rem Yn est la v.a Moyenne des XnE(Xn).

26
COMMENTAIRE

• La loi des grands nombre donne une justification
  de lapproche fréquentiste des probabilités.
• Si on prend une expérience aléatoire à deux
  issues, succès et échec, cest-à-dire une épreuve
  de Bernoulli.
• On obtient une v.a X tq E(X)p, où p est un
  nombre fixé en théorie.
• Par exemple pour le lancer dun dé équilibré avec
  comme succès obtenir un 6, la théorie nous
  apprend que E(X)1/6.
• En répétant n fois cette expérience aléatoire, on
  obtient n v.a X1, X2, , Xn, v.a de même loi de
  probabilité, avec E(X1)E(X2)E(Xn)p.
• Pour connaître le nombre de succès, on étudie la
  v.a Yn  fréquence des succès (Nombre de
  succès)/(Nombre dexp aléatoire)(X1X2Xn)/n.
• YnE(Xn), et E(Yn)p.
• La loi des grands nombres dit que, quand n tend
  vers linfini, la limite de
• P(l Yn p llt e) 1, pour un e arbitrairement
  petit.
• Dans lexemple choisi, Yn(Nombre de 6)/(Nombre
  de lancers).
• Le théorème dit que, plus n est grand, plus E(Yn)
  se rapproche de la valeur théorique p1/6. Ce qui
  est assez intuitif.

27
ILLUSTRATION

• Pour illustrer la loi faible des grands nombre,
  nous proposons ci-après un programme sur Algobox
  qui simule le lancer dune pièce de monnaie
  équilibrée, pour des échantillons de taille
  croissante, de 1 à 1000.
• Après avoir fait tourner le programme, on voit
  bien la fréquence moyenne converger vers la
  probabilité de  face  (ce pourrait être
  symétriquement de  pile ) qui est de 0,5.
• Pour aider à la compréhension du programme, nous
  avons introduit des commentaires explicatifs
  écrits en rouge.

28
PROGRAMME ALGOBOX

• 1 VARIABLES
• 2 x EST_DU_TYPE LISTE
• 3 y EST_DU_TYPE LISTE
• 4 i EST_DU_TYPE NOMBRE
• 5 nbalea EST_DU_TYPE NOMBRE
• 6 n EST_DU_TYPE LISTE
• 7 DEBUT_ALGORITHME
• 8 //abscisse du 1ier point vaut 0
• 9 x0 PREND_LA_VALEUR 0
• 10 //i est la taille de l'échantillon
• 11 i PREND_LA_VALEUR 0
• 12 //nbalea est la valeur du tirage aléatoire 0
  (pile) ou 1 (face)
• 13 nbalea PREND_LA_VALEUR floor(2random())
• 16 //n0 valeur du 1ier tirage aléatoire
• 17 n0 PREND_LA_VALEUR nbalea
• 18 //ordonnée du 1ier point vaut n0
• 19 y0 PREND_LA_VALEUR n0

• 20 //simulations fréquences en fonction de la
  taille de l'échantillon, boucle allant dune
  taille 2 jusqu'à 1000
• 21 POUR i ALLANT_DE 1 A 999
• 22 DEBUT_POUR
• 23 nbalea PREND_LA_VALEUR floor(2random())
• 26 //xi abscisse du i1 ième point
• 27 xi PREND_LA_VALEUR i
• 28 //ni est la valeur i1 ième tirage plus ceux
  des précédents
• 29 ni PREND_LA_VALEUR nbaleani-1
• 30 //yi ordonnée du point qui a pour valeur la
  fréquence moyenne de "face" sur les i1 tirages
• 31 yi PREND_LA_VALEUR ni/(i1)
• 32 TRACER_POINT (xi,yi)
• 33 FIN_POUR
• 34 FIN_ALGORITHME

29
THEOREME DE DE MOIVRE-LAPLACE

• Convergence en loi de la loi Binomiale vers la
  loi de Laplace-Gauss
• Xn étant une suite de v.a binomiales B(np),
  alors la suite de v.a
• (Xn-np)/( v(npq)) tend en loi vers N(01).
• Rappel Si XB(np)
• Alors E(X)np et V(X)np(1-p)npq.

30
COMMENTAIRE

• Lorsque n est assez grand, on prend en pratique
  n30, p voisin de 0, plt0.1, et np5 et nq5, on
  peut approximer la loi Binomiale B(n,p) par la
  loi normale N(m s) avec mnp et sv(npq).
• Létude de somme de v.a indépendantes et de même
  loi joue un rôle capital en statistique, cest le
  théorème Central Limite qui établit la
  convergence vers la loi de Gauss sous des
  hypothèses peu contraignantes.
• Nous le rappelons une nouvelle fois, pour en
  donner ensuite ses applications aux lois
  déchantillonnage.

31
THEOREME FONDAMENTALTHEOREME CENTRAL LIMITE

• Soit n variables aléatoires X1,X2,,Xn
• - indépendantes,
• - de même loi,
• - de même espérance mathématique m,
• - de même variance ,
• Alors, lorsque n est suffisamment grand, la loi
  de probabilité de la variable aléatoire Moyenne
  Mn (X1X2Xn)/n tend en loi vers la loi
  normale .

32
THEORIE DE LECHANTILLONNAGE

• Comme on la vu, en statistique, il est en
  général impossible détudier un caractère sur
  toute une population de taille élevée,
  cest-à-dire de faire un recensement.
• Avant daborder le problème de lestimation de
  paramètres inconnus de la population, il est
  indispensable de commencer par létude de
  léchantillonnage.
• Dans ce cas, les paramètres du caractère étudié
  dans la population sont connus, et on en déduit
  les propriétés sur lensemble des échantillons
  prélevés dans la population.
• Nous nenvisagerons que des échantillons
  aléatoires, cest-à-dire que tout élément de
  léchantillon est choisi au hasard, et de plus,
  les choix sont indépendants car supposés avec
  remise.

33
LOI DECHANTILLONNAGE DE LA MOYENNE

• On considère une population de taille N élevée,
  une variable aléatoire X définissant le caractère
  étudié, avec E(X)m, et s(X) s .
• On prélève un échantillon de taille n, nltltN,
  c.a.d on procède à n épreuves indépendantes
  auxquelles correspondent n v.a X1,X2,,Xn, de
  même loi que X.
• Soit la v.a Yn(X1X2Xn)/n, elle associe à tout
  échantillon de taille n, la v.a Moyenne de
  léchantillon.
• Daprès le théorème central Limite, la v.a Yn
  suit  approximativement  une loi Normale.

34
EN PRATIQUE

• Valeurs caractéristiques de cette loi
• E(Yn)m et V(Yn)s²/n ou bien s(Yn)s/vn.
• En pratique, quand n devient grand, ngt30, la
  loi de Yn peut être approchée par la loi normale
  N(m,s/vn).

35
LOI DECHANTILLONNAGE DE LA FREQUENCE

• On étudie, dans une population de taille N
  élevée, un caractère à deux éventualités,
  cest-à-dire une épreuve de Bernoulli.
• On obtient une v.a X tq E(X)p, et V(X)p(1-p).
• On prélève un échantillon de taille n, nltltN,
  (épreuve répétée n fois de façon identique et
  indépendante).
• On obtient n v.a X1,X2,,Xn de même moi que X.
• La v.a Fn(X1X2Xn)/n associe à tout
  échantillon de taille n la fréquence de succès
  sur cet échantillon.
• Alors E(Fn)p et V(Fn)(p(1-p))/n.
• Quand n devient grand (ngt50), la loi de Fn
  peut être approchée par la loi normale
  .

36
EN PRATIQUE

• On prélève indépendamment et avec remise n
  individus dune population séparée en deux
  sous-populations A et son complémentaire , de
  proportions respectives p et 1-p.
• Soit K le nombre dindividus de la
  sous-population A obtenus dans léchantillon. On
  sait que K suit une loi binomiale B(n , p).
• Notons F K/n, la fréquence empirique de A.
• F est la moyenne arithmétique de n v.a de
  Bernoulli de paramètre p, indépendantes.
• Donc E(F)p et V(F)(p(1-p))/n.
• Et si n est grand, F suit N(pv(p(1-p)/n)) en
  raison de la loi déchantillonnage de la
  fréquence (conséquence du théorème central
  limite).

37
LIEN AVEC LINTERVALLE DE FLUCTUATION

• Or on sait que, pour la loi normale N(m,s),
• lintervalle de fluctuation au seuil 95 est
• m-1,96s m1,96s.
• Donc, lintervalle de fluctuation à 95 de p est
• Environ 95 des échantillons aléatoires de taille
  n fournissent une fréquence comprise dans cet
  intervalle.
• Ce résultat est très important car il mesure la
  variabilité  naturelle  des phénomènes
  aléatoires.

38
APPROXIMATION DU PROGRAMME DE SECONDE

• Dans le programme de seconde, il est donné une
  version simplifiée de cet intervalle en le
  majorant .
• En effet, la fonction p?p(1-p) atteint son
  maximum pour p1/2, on a donc, pour tout p,
  p(1-p) 1/4 et on en déduit que
  
• Aussi lintervalle I1
  
• est inclus dans lintervalle I2
  .

39
VALEURS DE p

• Dans le programme de Seconde, il est mentionné,
  de plus, que p doit être compris entre 0,2 et
  0,8.
• La raison en est que lapproximation est trop
  grossière pour les valeurs de p inférieures à 0,2
  (ou supérieures à 0,8, puisquil y a symétrie de
  la formule p(1-p) ).
• Le tableau suivant compare les nombres
  1,96/v(p(1-p)/n) et 1/v(n), pour n25 et n100,
  et pour des valeurs de p entre 0,1 et 0,5.
• Rappelons que ces nombres ne sont toutefois pas
  supposés être égaux puisque I2 contient I1.
• Plus de 95 des échantillons aléatoires de taille
  n fournissent une fréquence appartenant à I2.

40
COMPARAISON DE CES DEUX NOMBRES
n n 25 n 25 n 100 n 100
p 1,96v( p(1-p)/n) 1/v(n) 1,96v(p(1-p)/n) 1/v(n)
P0,1 0,118 0,2 0,059 0,1
P0,2 0,157 0,2 0,078 0,1
P0,25 0,170 0,2 0,085 0,1
P0,3 0,180 0,2 0,090 0,1
P0,35 0,187 0,2 0,093 0,1
P0,4 0,192 0,2 0,096 0,1
P0,45 0,195 0,2 0,097 0,1
P0,5 0,196 0,2 0,098 0,1
41
FLUCTUATION DE LA FREQUENCE SELON LES ECHANTILLONS

• On peut expérimenter, par simulation à laide des
  T.I.C, quenviron plus de 95 des échantillons de
  taille n fournissent une fréquence comprise dans
  lintervalle
• .
• Pour p donné, on peut faire calculer les bornes
  de cet intervalle pour quelques valeurs de n, et
  faire remarquer quil faut multiplier la taille
  de léchantillon par k² pour diviser par k
  lamplitude de lintervalle.
• On pourra calculer lamplitude correspondant aux
  échantillons de taille 1000, souvent retenue dans
  les sondages.

42
EXEMPLE DAPPLICATION

• On considère un échantillon de 400 pièces issues
  dune fabrication où 10 sont défectueuses.
• Soit K la v.a qui mesure le nombre de pièces
  défectueuses, K est une v.a de Bernoulli
  B(4000,1).
• Notons F K/n, la fréquence empirique de
  lévénement  la pièce est défectueuse , sur un
  échantillon de taille n.
• F est la moyenne arithmétique de n v.a de
  Bernoulli de paramètre p, indépendantes.
• Donc E(F)p0,1 et V(F)(p(1-p))/n(0,10,9)/400.
• Quand n est grand, F suit N(pv(p(1-p)/n)), donc
  ici F suit
• N(0,1 v((0,10,9)/400)).
• Donc on peut sattendre à trouver dans 95 des
  cas, un pourcentage de défectueux dans
  léchantillon, compris entre
• 
  et
• C.a.d F est comprise entre 0,0706 et 0,1294.
• Ou encore, entre 7,1 et 12,9, dans 95 des cas.

43
III. PRISE DE DÉCISION

• SITUATIONS PROBLEMES

44
INTRODUCTION

• Dans les exercices qui suivent, on a besoin de
  générer des nombres pseudo-aléatoires, on
  rappelle ci-après quelques méthodes utilisées sur
  calculatrice et tableur.
• Le schéma de base pour simuler une v.a de
  Bernoulli est de simuler une urne bicolore, qui
  servira aussi à simuler le lancer dun dé.
• La plupart des calculatrices, même les modèles
   collège , et les tableurs sont pourvues dun
  générateur de nombres pseudo-aléatoires qui
  simule le tirage dun nombre décimal au hasard
  dans lintervalle 0, 1 (cest-à-dire une
  réalisation dune variable aléatoire de loi
  uniforme sur lintervalle 0, 1 ).
• Sur une calculatrice, ce générateur de nombres
  aléatoires correspond à la fonction  random 
  souvent notée rand ou Ran. Sur un tableur, il
  correspond à la fonction ALEA(), introduite avec
  des parenthèses vides.

45
SIMULATION DUN URNE BICOLORE

• À partir de ce générateur de nombres aléatoires,
  on peut facilement simuler un tirage au hasard
  dans une urne bicolore.
• Supposons que la proportion des boules dont la
  couleur nous intéresse soit, dans lurne de 30 .
• Sur un tableur, linstruction ALEA()0,30
  correspond au tirage au hasard dun nombre de
  lintervalle 0,30  1,30.
• En prenant la partie entière, le résultat vaut 0
  si le nombre appartient à 0,30  1 et 1 si le
  nombre appartient à 1  1,30.
• Compte-tenu des longueurs respectives de ces
  intervalles, on a 70 de chances davoir 0 et 30
  de chances davoir 1 (voir le graphique).

46
SIMULATION (suite)

• Sur une calculatrice, il suffit dentrer
  linstruction rand 0.3 ou Ran 0.3 et de
  faire plusieurs fois ENTER ou EXE pour simuler
  des tirages avec remise dans cette urne, en ne
  tenant compte que de la partie avant la virgule
  (0 ou 1).
• Sur un tableur, il suffit dentrer dans une
  cellule la formule ENT(ALEA()0,3) puis
  dapprocher le pointeur de la souris du coin
  inférieur droit de la cellule.
• Lorsque le pointeur de la souris prend la forme
  dune croix noire, on enfonce le bouton gauche
  puis on  glisse  vers le bas pour constituer un
  échantillon (on nomme  recopie  cette
  manipulation).
• On peut ensuite sélectionner léchantillon (avec
  le pointeur en forme de croix blanche) puis le
  recopier vers la droite (avec le pointeur en
  forme de croix noire) pour constituer plusieurs
  échantillons.

47
CONTRÔLE DE QUALITE

• Dans le contrôle de qualité industrielle, on
  sinterroge sur le réglage dune machine lorsque
  dans un lot de pièces produites, la fréquence des
  défauts observés est peu probable au regard du
  modèle indiquant une probabilité p de défauts.
• Cest-à-dire quon veut prendre une décision à
  partir de létude dun échantillon.
• Rappelons que dans ce cas on connaît les
  paramètres de la v.a mère, c.a.d ici la
  probabilité théorique de défauts dans la chaîne
  de fabrication.

48
DEFAUTS DE PEINTURE

• Dans une usine automobile, on contrôle les
  défauts de peinture de type
•  grains ponctuels sur le capot .
• Lorsque le processus est sous contrôle,
• on a 20  de ce type de défauts.
• Lors du contrôle aléatoire de 50 véhicules, on
  observe 26  de défauts
• (13 sur 50).
• Faut-il sinquiéter ?

49
RESOLUTION

• En supposant que la situation est sous contrôle,
  c.a.d que la proportion présentant ce défaut est
  de 0,20, un échantillon aléatoire de 50 véhicules
  présentera une proportion de défauts comprise,
  dans plus de 95 des cas, entre
• 0,20-1/v50 et 0,201/v50
• soit entre environ 6 et 34.
• Il ny a donc pas lieu de considérer une
  observation de 26 comme  anormale .

50
RESPECT DE LA PARITE

• Deux entreprises A et B recrutent dans un bassin
  demploi où il y a autant de femmes que dhommes,
  avec la contrainte du respect de la parité.
• Dans lentreprise A, il y a 100 employés dont 43
  femmes.
• Dans lentreprise B, il y a 2500 employés dont
  1150 femmes.
• Quelle est lentreprise qui respecte le mieux la
  parité ?

51
RESOLUTION

• Dans lentreprise A, il y a 100 employés dont 43
  femmes (soit 43) dans lentreprise B, il y a
  2500 employés dont 1150 femmes (soit 46).
• Or 46 est plus proche de 50 que 43, les
  chiffres parlent deux-mêmes, pourrait-on dire,
  et B respecte mieux la parité que A.
• Si on admet que la parité, cest exactement 50
  de femmes, il est vrai que B en est plus proche
  que A. Mais une telle définition a-t-elle ici un
  sens?
• La parité signifie que lidentité sexuelle
  nintervient pas au niveau du recrutement, c.a.d
  quau niveau du caractère étudié homme ou femme,
  les résultats observés pourraient être obtenus
  par choix, au hasard, des individus dans la
  population.

52
RESOLUTION (suite)

• Dans ce cadre, lentreprise A est assimilable à
  un échantillon de taille 100 du modèle de
  Bernoulli, avec p0,5, et lentreprise B à un
  échantillon de taille 2500.
• Lintervalle de fluctuation de p pour
  lentreprise A est 0,40,6, et pour
  lentreprise B de 0,480,52.
• La valeur 0,43 pour lentreprise A est dans
  lintervalle de fluctuation, alors que la valeur
  0,46 ne lest pas pour B.
• Autrement dit, pour B, la proportion de 46
  sobserve dans moins de 5 des échantillons
  obtenus selon le modèle accordant une probabilité
  égale dobtenir un homme et une femme.
• On peut alors rejeter lhypothèse selon laquelle
  cette entreprise respecte la parité.

53
ECHANTILLON CONFORME OU REPRESENTATIF

• Un échantillon est représentatif ou conforme si f
  , la fréquence de léchantillon, appartient à
  lintervalle de fluctuation de la fréquence
  théorique p à un niveau de confiance donné.
• Les problèmes qui précèdent reviennent donc à se
  demander si un échantillon est conforme.
• Ce type de problème se prête bien à lécriture
  dun algorithme qui permettra de savoir si
  léchantillon est conforme.
• Dans lalgorithme suivant, on entre la fréquence
  de léchantillon, et en réponse on a la prise de
  décision léchantillon est conforme ou pas, au
  risque de 5.
• Cet algorithme comporte un contrôle de saisie.
• On peut également écrire un algorithme où on
  entrerait le nombre de personnes qui ont le
  caractère étudié, et qui calculerait également f
  .

54
ALLERGIE

• Dans une population de grand effectif, on a
  observé que 40 des individus sont allergiques à
  un médicament A.
• Dans un échantillon de 100 individus, 31 révèlent
  une allergie à A.
• Au seuil de 5, peut-on déduire que léchantillon
  est représentatif de la population pour
  lallergie A?

55
RESOLUTION

• On détermine lintervalle
• Ce qui donne
• Comme f 0,31 appartient à cet intervalle, on
  accepte H0 au seuil de 5.
• Conclusion léchantillon est représentatif de la
  population allergique à A.

56
ALGORITHMEECHANTILLON CONFORME

• Déclaration
• Variable p, f en Numérique
• Variable n en Entier
• Entrée
• Afficher Entrer la valeur de la proportion du
  caractère dans la population totale
• Lire p
• Afficher Entrer la taille de léchantillon
• Lire n
• TantQue nlt25
• Afficher Léchantillon est trop petit.
  Recommencer
• Afficher Entrer la taille de
  léchantillon
• Lire n
• FinTantQue
• Afficher Entrer la valeur de la fréquence dans
  léchantillon
• Lire f
• Traitement et Sortie
• Si ((p-1/racine(n))ltf) et (flt(p1/racine(n)))
  Alors
• Ecrire Au risque de 5, léchantillon est
  représentatif
• Sinon Ecrire Au risque de 5, léchantillon
  nest pas représentatif

57
PROGRAMME ALGOBOXECHANTILLON CONFORME

• 1 VARIABLES
• 2 p EST_DU_TYPE NOMBRE
• 3 f EST_DU_TYPE NOMBRE
• 4 n EST_DU_TYPE NOMBRE
• 5 DEBUT_ALGORITHME
• 6 AFFICHER "Entrer la proportion du caractère, en
  valeur décimale, dans la population totale"
• 7 LIRE p
• 8 AFFICHER "Entrer la taille de l'échantillon"
• 9 LIRE n
• 10 TANT_QUE (nlt25) FAIRE
• 11 DEBUT_TANT_QUE
• 12 AFFICHER "La taille de l'échantillon
  est trop petite. Recommencer."
• 13 AFFICHER "Entrer la taille de
  l'échantillon"
• 14 LIRE n
• 15 FIN_TANT_QUE

• 16 AFFICHER "Entrer la fréquence du caractère, en
  valeur décimale, dans l'échantillon"
• 17 LIRE f
• 18 SI (((p-1/sqrt(n))ltf) ET (flt(p1/sqrt(n)))
  ALORS
• 19 DEBUT_SI
• 20 AFFICHER "Au risque de 5, cet
  échantillon est représentatif de la population"
• 21 FIN_SI
• 22 SINON
• 23 DEBUT_SINON
• 24 AFFICHER "Au risque de 5, cet
  échantillon n'est pas représentatif de la
  population"
• 25 FIN_SINON
• 26 FIN_ALGORITHME

58
MALADIE DES REINS

• A lhôpital, on peut lire une affiche où il est
  écrit  1 français sur 20 est malade des reins
  et ne le sait pas. Pensez à vous faire
  dépister .
• On considère deux échantillons, le premier de
  taille 1000, constitué de personnes entre 0 et 35
  ans et le second de taille 2000, constitué de
  personnes entre 36 et 80 ans.
• Pour, le premier 18 personnes ont des problèmes
  de reins, pour le second, il sont 120.
• Dire, pour chaque échantillon sil est
  représentatif de la population française.

59
EXECUTIONS

• 2ième échantillon
• . n2000, p0.05, f 120/2000
• Algorithme lancé
• Entrer la proportion du caractère, en valeur
  décimale, dans la population totale
• Entrer la taille de l'échantillon
• Entrer la fréquence du caractère, en valeur
  décimale, dans l'échantillon
• Au risque de 5, cet échantillon est
  représentatif de la population
• Algorithme terminé

• 1ier échantillon
• n1000, p0.05, et f18/1000
• Algorithme lancé
• Entrer la proportion du caractère, en valeur
  décimale, dans la population totale
• Entrer la taille de l'échantillon
• Entrer la fréquence du caractère, en valeur
  décimale, dans l'échantillon
• Au risque de 5, cet échantillon n'est pas
  représentatif de la population
• Algorithme terminé

60
EN RESUME

• Le raisonnement pour apprécier si une fréquence
  observée f sur un échantillon de taille n est
  compatible ou non avec un modèle de Bernoulli de
  probabilité p, est le suivant
• on regarde si cette fréquence est dans
  lintervalle de fluctuation à 0,95 relatif aux
  échantillons de taille n du modèle.
• Cest-à-dire si lécart entre f et p est
  probable, au sens où le hasard produirait un tel
  écart dans 95 des échantillons envisageables.
• Si f est en dehors de lintervalle de
  fluctuation, on considère que lobservation nest
  pas compatible avec le modèle, en ce sens avec un
  tel modèle elle ne sobserverait que dans 5 des
  échantillons de taille n (avec un risque de
  prendre la mauvaise décision dans 5 des cas).
• Ce type de raisonnement est à la base de ce quon
  appelle parfois la  preuve statistique .

61
TAUX ANORMAL DE LEUCEMIES

• Une petite ville des États-Unis a connu 9 cas de
  leucémie chez de jeunes garçons en lespace de 10
  années.
• Doit-on, comme lont alors affirmé les autorités,
  en accuser le hasard ?
• Woburn est une petite ville industrielle du
  Massachusetts, au Nord-Est des États-Unis.
• Du milieu à la fin des années 1970, la communauté
  locale sémeut dun grand nombre de leucémies
  infantiles survenant en particulier chez les
  garçons dans certains quartiers de la ville.
• Les familles se lancent alors dans lexploration
  des causes et constatent la présence de décharges
  et de friches industrielles ainsi que lexistence
  de polluants.
• Dans un premier temps, les experts
  gouvernementaux concluent quil ny a rien
  détrange.
• Mais les familles sobstinent et saisissent leurs
  propres experts.
• Une étude statistique montre quil se passe sans
  doute quelque chose  détrange .

62
TABLEAU DE DONNEES

• Le tableau suivant résume les données
  statistiques concernant les garçons de moins de
  15 ans, pour la période 1969-1979 (Source 
  Massachusetts Department of Public Health).

Population des garçons de moins de 15 ans à Woburn selon le recensement de 1970  n Nombre de cas de leucémie infantile observés chez les garçons à Woburn entre 1969 et 1979 Fréquence des leucémies aux Etats-Unis (garçons)  p
5 969 9 0,000 52
63
RESOLUTION

• La question statistique qui se pose est de savoir
  si le hasard seul peut raisonnablement expliquer
  le nombre de leucémies observées chez les jeunes
  garçons de Woburn, considérés comme résultant
  dun échantillon prélevé dans la population
  américaine.
• Les conditions requises pour appliquer le
  résultat du cours ne sont pas toutes respectées
  ici (p nest pas comprise entre 0,2 et 0,8). Il
  faut donc observer de plus près la fluctuation
  déchantillonnage.
• La population des États-Unis étant très grande
  par rapport à celle de Woburn, on peut considérer
  que léchantillon résulte dun tirage avec remise
  et simuler des tirages de taille n avec le
  tableur.

64
GENERATION DE NOMBRE ALEATOIRE

• On simule sur le tableur 100 échantillons de
  taille n 5 969 prélevés au hasard dans une
  population de garçons où la probabilité de
  leucémie est p 0,000 52 (cas  normal ) en
  utilisant linstruction  ENT(ALEA()0,000 52)
  .
• Linstruction ALEA() génère un nombre aléatoire
  dans lintervalle 0, 1.
• Or, choisir un réel au hasard entre 0 et 1, cest
  le choisir suivant la loi uniforme sur 01.
• Linstruction ALEA()0,000 52 génère donc un
  nombre aléatoire dans lintervalle 0,000 52 
  1,000 52.
• Linstruction ENT(ALEA()0,000 52), où ENT
  désigne la partie entière, vaut donc la plupart
  du temps 0  non malade  (en fait avec une
  probabilité égale à 1-0,000520,99948),et vaut 1
   malade  avec la probabilité égale à 0,000 52.
• Sur chaque échantillon, en faisant la somme, on
  obtient le nombre de cas observés, sous
  lhypothèse dune probabilité  normale .

65
SIMULATION SUR TABLEUR

• On représente ensuite sur un graphique les 100
  résultats observés sur les échantillons ainsi
  simulés.
• Les simulations montrent que le nombre de cas
  observés à Woburn (9 cas) est extrêmement rare
  (de lordre de 1 des simulations sur un grand
  nombre dessais), sous lhypothèse dune
  probabilité  normale . On peut donc rejeter
  lhypothèse que léchantillon soit compatible
  avec le modèle.
• Il est donc raisonnable de penser que le niveau
  très  significativement  élevé des leucémies
  infantiles observées chez les garçons de Woburn
  nest pas dû au hasard.
• Ce taux anormalement élevé de leucémies est
  officiellement confirmé par le Département de
  Santé Publique du Massachusetts en avril 1980.
  Les soupçons se portent alors sur la qualité de
  leau de la nappe phréatique qui, par des
  forages, alimente la ville. On découvre ainsi le
  syndrome du trichloréthylène.

66
METHODE DETAILLEE

• On construit 100 échantillons de taille 5969 où
  chaque colonne contient un échantillon, et chaque
  cellule contient linstruction ENT(ALEA()0,000
  52).
• On crée une ligne où on fait la somme de chaque
  colonne, cette ligne contient le cas de leucémies
  dans chaque échantillon.
• On crée ensuite un graphique où on aura en
  abscisse chaque échantillon et en ordonnée le
  nombre de cas de leucémies.

67
IV. THEORIE DE LÉSTIMATION
68
PROBLEMATIQUE

• La problématique est ici tout autre.
• On ne connaît pas un ou des paramètres dune v.a
  liée à une population mère.
• On veut estimer les valeurs caractéristiques
  inconnues de cette v.a, à laide de létude dun
  échantillon deffectif n (ngt30) issu de cette
  population.

69
ESTIMATION

• On suppose vérifiée lhypothèse déchantillonnage
  aléatoire simple.
• Deux types destimation
• - Lestimation ponctuelle
• - Lestimation par intervalle de confiance.
• Ceci en vue dune prise de décision à partir dun
  échantillon.

70
ESTIMATION PONCTUELLE

• Les lois de grands nombres justifient lusage de
  comme estimation de m, et lusage de s² comme
  estimation de s²car tend p.s vers m et S²
  tend p.s vers s².
• De même la fréquence empirique f dun événement
  est une estimation de sa probabilité.
• Les v.a , S², et F sont appelées estimateurs
  de m, s², et p respectivement.

71
ESTIMATEUR

• Soit t un paramètre à estimer, et T un
  estimateur.
• Qualités dun estimateur
• - Il doit être convergent quand n tend vers
  linfini, T doit tendre vers t.
• - Il doit être précis converger assez vite.
• - Il doit être sans biais cest-à-dire E(T) doit
  être égal à t.
• Le biais
• Lerreur destimation entre T et t est la v.a T
  - t.
• On décompose la différence T - t (T -
  E(T))(E(T) - t)
• T-E(T) représente les fluctuations aléatoires
  de T autour de sa valeur moyenne.
• E(T)-t est assimilable à une erreur
  systématique due au fait que T varie autour de sa
  valeur centrale E(T), et non autour de t.
• La quantité E(T)-t sappelle le biais.
• Il est donc souhaitable dutiliser des
  estimateurs sans biais tq E(T)t.

72
THEOREMES SUR LESTIMATION

• 1) Si (X1, . . . ,Xn) est un échantillon d'une
  loi quelconque de moyenne m, alors X (X1 . . .
  Xn)/n est un estimateur sans biais de m.
• 2) En particulier, si (X1, . . . ,Xn) est un
  échantillon de Bernoulli B(p), p ? 0, 1, alorsF
  (X1 . . . Xn)/n est un estimateur sans
  biais de p.
• 3) Si (X1, . . . ,Xn) est un échantillon d'une
  loi quelconque de variance s² finie, alors S²
  (1/n) S(Xi - X )² est un estimateur biaisé de
  s².
• En effet ES² ((n - 1)/n)s².
• Par contre l'estimateur corrigé
• S²corr (n/n - 1)S²(1/(n - 1)) S(Xi - X )²
  est sans biais.
• Pour une démonstration de lestimation de la
  variance et du biais, voir un cours de
  statistique de luniversité de Brest à ladresse
• http//www.math.univ-brest.fr/perso/catherine.rain
  er/polystat.pdf

73
APPLICATIONA LECHANTILLONNAGE

• On considère une v.a X définissant le caractère
  étudié, avec E(X)m et .
• Léchantillon a pour moyenne et pour écart
  type s.
• - La meilleure estimation de m est .
• - La meilleure estimation de est
  ,
• où le coefficient est une
  correction du biais.
• On considère une population où chaque élément
  peut, ou non, posséder une propriété.
• Soit p la proportion déléments de la population
  mère et f la proportion déléments de
  léchantillon possédant cette propriété.
• - La meilleure estimation de p est f.

74
ENGRENAGES

• Une usine fabrique des engrenages.
• On mesure en mm le diamètre de 100 engrenages
• La moyenne de léchantillon est 23,644 mm, son
  écart type est 0,018.
• Une estimation de la moyenne de la production
  totale est donc 23,644 mm, et une estimation de
  lécart type de la production totale est
• 0,018v(100/99)0,0181.

Diamètre 23,5923,61 23,6123,63 23,6323,65 23,6523,67 23,6723,68
Effectif 6 8 51 30 5
75
ENGRENAGES (suite)

• Dans un échantillon de 150 pièces, on a relevé 3
  pièces défectueuses.
• Une estimation du nombre de pièces défectueuses
  dans la production est 3/1500,02 soit 2.
• On peut donc estimer que 2 des pièces produites
  sont défectueuses.

76
ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE

• Lestimation ponctuelle est souvent peu réaliste,
  il est donc plus intéressant de fournir une
  fourchette destimation, et de plus lestimation
  ponctuelle nindique pas le risque que lon a de
  se tromper.
• Il sagit de déterminer un intervalle contenant
  la valeur de la moyenne ou de la fréquence avec
  un risque derreur décidé à lavance.
• Puis de prendre des décisions sur la population
  mère à partir de létude dun ou de plusieurs
  échantillons.

77
INTERVALLE DE CONFIANCE DE LA MOYENNE

• La loi déchantillonnage de la moyenne est la loi
  normale .
• La moyenne m est supposée inconnue et on a
  calculé la moyenne dun échantillon de
  taille n.
• Lintervalle de confiance de m au risque de 5
  est lintervalle centré en
• .

78
DEMONSTRATION

• La loi déchantillonnage de la moyenne est
  la loi normale N(m,s/vn).
• Soit Y la v.a Y suit la
  loi N(01).
• Soit a le risque derreur ou seuil de risque, a
  est une probabilité fixée à lavance (par exemple
  a 0,05).
• La probabilité pour que Y nappartienne pas à
  -tt est P(lYlgtt)a ou encore P(lYllt t)1-a.
• Ceci donne P(-tlt Ylt t)1-a
• Soit
• Cest à dire
  
• 
  

79
INTERPRETATION

• On a obtenu ce
  qui signifie
• que pour 100(1-a) des échantillons,
• m appartient à lintervalle
  .
• Cet intervalle est lintervalle de confiance de
  la moyenne au seuil de risque a.
• On dit que 1-a est le coefficient de confiance.
• t est le nombre tel que , et se
  lit dans la table de la loi N(0,1).
• On a

a 0,01 0,05 0,10
t 2,58 1,96 1,645
80
AMPOULES ELECTRIQUES

• On suppose que la durée de vie dune ampoule
  électrique, exprimée en heures, suit la loi
  normale de moyenne M inconnue et décart type s
  20.
• Une étude sur un échantillon de 16 ampoules donne
  une moyenne de vie égale à 3000.
• Déterminer lintervalle de confiance de m au
  seuil de 10.
• Résolution
• a0,1 doù t1,645.
• Un intervalle de confiance de M est
• 3000-1,645(20/v16) 30001,645(20/v16)
• 2991 3009.

81
INTERVALLE DE CONFIANCE DE LA FREQUENCE

• La loi déchantillonnage de la fréquence est la
  loi normale .
• p étant inconnu, lécart type
  est remplacé par son estimation ponctuelle
• Par analogie avec la méthode précédente,
  lintervalle de confiance de la fréquence au
  risque 5 est lintervalle centré en f

82
SONDAGE DANS LES TRANSPORTS

• Un sondage dans une commune révèle que sur les
  500 personnes interrogées, 42 des personnes sont
  mécontentes de lorganisation des transports.
• Déterminer au seuil de risque de 5, un
  intervalle de confiance du pourcentage de
  personnes mécontentes dans la commune.

83
RESOLUTION

• Dans léchantillon, la fréquence de personnes
  mécontentes est f0,42.
• La taille de léchantillon est n500,lintervalle
  de confiance de la fréquence est donc
• 
  
• Le pourcentage de personnes mécontentes dans la
  commune a une probabilité égale à 95 de se
  trouver dans lintervalle 37,6744,21.

84
V. ÉSTIMATION DUNE PROPORTION

• SITUATIONS PROBLEMES

85
PROGRAMMEDE SECONDE

• On peut modéliser de nombreuses situations
  aléatoires à laide de lurne de Bernoulli, c.a.d
  comprenant deux sortes de boules.
• La situation de référence est une urne contenant
  plusieurs centaines de boules rouges et blanches,
  dans une proportion inconnue p de boules rouges.
• On cherche à estimer p à partir dun échantillon
  de taille n.
• On note X la v.a correspondant au nombre de
  boules rouges dans léchantillon. X est une v.a
  binomiale et on note F la v.a X/n.
• On considère un échantillon de taille n, parmi
  tous ceux quon aurait pu obtenir. f est une
  réalisation de F.
• On sait quenviron 95 des fréquences observées
  sont dans lintervalle p-1/vn p1/vn.

86
INTERVALLE DE CONFIANCE

• Comme P(p-1/vn F p1/vn) 0,95 équivaut à
• P(F-1/vn p F1/vn) 0,95
• Lappartenance f à p-1/vn p1/vn équivaut à
  celle de p à
• f-1/vn f1/vn, appelée fourchette de sondage.
• Ceci permet de dire que, parmi tous les
  échantillons de taille n possibles, 95 des
  intervalles associés f-1/vn f1/vn contiennent
  le nombre p.
• Pour exprimer lidée quavant tirage de
  léchantillon on avait 95 de chances dobtenir
  une fourchette f-1/vn f1/vn qui contienne p,
  on dira que le fourchette obtenue, une fois
  léchantillon tiré, est un intervalle de
  confiance au niveau 95 de p.
• Il ne dépend que de la taille n de
  léchantillon et non de la taille de la
  population.

87
ESTIMATION DE p INCONNUE

• A la problématique  combien faut-il tirer de
  boules dans une urne de Bernoulli pour pouvoir
  faire une estimation de sa composition avec une
  précision donnée à priori? , on peut répondre
  en tirant n boules avec remise, on obtient une
  estimation de par un intervalle damplitude 2/vn,
  avec une confiance de plus de 95.
• Si on tire 1000 boules (avec remise), on a une
  estimation de p, à plus de 95, par un intervalle
  damplitude 6.
• Si par exemple le tirage de 1000 boules fournit
  une fréquence de boules rouges égale à 0,47, on
  peut estimer avec plus de 95 de confiance, que
  la proportion p de boules rouges dans lurne est
  comprise entre 0,44 et 0,50.
• Les sondages, par exemple, sont souvent pratiqués
  sur un échantillon de 1000 personnes.

88
SOMME DE DEUX DÉS

• Lapproche fréquentiste des probabilités est une
  application de la loi faible des grands nombres.
• En voici un grand classique
• On lance deux dés équilibrés dont les faces sont
  numérotées 1, 2, 3, 4, 5 et 6. On additionne les
  nombres lus sur les faces supérieures. On gagne
  si on obtient 9. Quelle est la probabilité de
  gagner ?

89
RESOLUTION

• A ce stade, les élèves ne connaissant pas la
  probabilité dapparition du 9.
• Ils peuvent simuler des échantillons de taille de
  plus en plus grande et estimer la probabilité
  dapparition du 9.
• On peut ensuite comparer les résultats avec la
  probabilité effective, trouvée à laide dun
  arbre.
• La probabilité théorique est de 1/9 soit environ
  0,11111.

90
SUR TABLEUR

• La simulation du lancer dun dé se fait par
  linstruction ENT(6ALEA()1).
• Ceci car ALEA() fournit un nombre aléatoire entre
  0 et1 (1 non compris).
• 6ALEA() fournit un nombre aléatoire entre 0 et 6
  (6 non compris).
• Donc en opérant la translation de 1, on a
  ENT(6ALEA()1) fournit un nombre entier de 1 à
  6.
• Manipulation sur tableur
• Dans la colonne A on numérote les échantillons,
  par exemple à partir de la ligne 4.
• En colonnes B et C , on simule des lancers.
• En colonne D, on écrit le test du type
  SI(SOMME(B4C49)10)).
• Si le test est vérifié, la valeur correspondante
  est 1, sinon elle vaut 0.

91
SUR TABLEUR (suite)

• En colonne E, on calcule les fréquences
• - la fréquence du premier échantillon sur la
  1ière ligne,
• - la fréquence du 1ier et du 2ième échantillon
  sur la 2ième ligne,
• - la fréquence du 1ier, du 2ième et du 3ième
  échantillon sur la 3ième ligne.
• Le premier échantillon considéré est donc de
  taille 1, le 2ième de taille 2, le 3ième de
  taille 3, et ainsi de suite jusquà 100.
• Dans la colonne E, on a écrit, en 3ième ligne
  SOMME(D4D6)/A6.
• On voit quà partir dune certaine valeur de n,
  la fréquence tend vers la probabilité théorique.

92
FLUCTUATIONS DECHANTILLONNAGE

• Si on fait plusieurs simulations, on peut
  observer des fluctuations déchantillonnage
  relativement importantes en augmentant la taille
  des échantillons jusquà 100.

93
Fluctuations déchantillonnage en augmentant la
taille des échantillons jusquà 5000
94
SONDAGE

• Un candidat à une élection effectue un sondage
  dans sa circonscription comportant 85842
  électeurs  sur 1068 personnes interrogées, 550
  déclarent vouloir voter pour ce candidat.
• Pour gagner les élections au premier tour, un
  candidat doit obtenir 50 des voix.
• Le candidat affirme   si les élections avaient
  eu lieu le jour du sondage et si les réponses au
  sondage étaient sincères, alors jaurai été élu
  au premier tour .
• Quen pensez-vous ?

95
RESOLUTION

• Nous sommes dans les conditions requises par le
  cours, n vaut 1068.
• Ici, f 0,51498 et n 1068 donc la fourchette
  de sondage est 0,4843  0,5456 au niveau 0,95.
• Daprès la fourchette de sondage, p a 95 de
  chance dêtre dans cet intervalle.
• Donc on ne peut pas certifier que p sera
  supérieur ou égal à 0,5.
• Laffirmation du candidat est très hâtive, on ne
  peut pas laccepter.

96
PREMIER TOUR DES PRESIDENTIELLES 2002

• Voici un extrait darticle, publié dans le
  journal  Le Monde  par le statisticien Michel
  Lejeune, après le premier tour de lélection
  présidentielle de 2002.
•  Pour les rares scientifiques qui savent comment
  sont produites les estimations, il était clair
  que l'écart des intentions de vote entre les
  candidats Le Pen et Jospin rendait tout à fait
  plausible le scénario qui s'est réalisé. En
  effet, certains des derniers sondages indiquaient
  18  pour Jospin et 14  pour Le Pen. Si l'on se
  réfère à un sondage qui serait effectué dans des
  conditions idéales ..., on obtient sur de tels
  pourcentages une incertitude de plus ou moins 3
  étant donné la taille de l'échantillon .... 

97
PRESIDENTIELLES 2002 ÉNONCÉ

• 1. Si lon tient compte de lincertitude liée au
  sondage, entre quels pourcentages pourraient se
  situer réellement (à 95  de confiance) les deux
  candidats lorsque le sondage donne 18  pour lun
  et 14  pour lautre ?
• 2. Représenter sur un même graphique les deux
   fourchettes  calculées à la question
  précédente. Peut-on prévoir lordre des
  candidats ?
• Au premier tour de lélection présidentielle de
  2002, L. Jospin a obtenu 16,18  des voix et
  J.-M. Le Pen 16,86 .
• 3. Expliquer la phrase  l'écart des intentions
  de vote entre les candidats Le Pen et Jospin
  rendait tout à fait plausible le scénario qui
  s'est réalisé .

98
RESOLUTION

• 1. Pour L. Jospin, entre 15  et 21 . Pour J.-M.
  Le Pen, entre 11  et 17 .
• 2. Un dessin possible.
• Si on utilise ces fourchettes, on ne peut pas
  prévoir lordre des candidats car elles ont une
  partie commune.
• 3. La phrase correspond au fait que les
  pourcentages obtenus à lélection sont situés
  dans les fourchettes du sondage.

99
VI. ÉVALUATION DE TRAVAUX AVEC TIC
100
INTRODUCTION

• Les problèmes qui suivent sont des évaluations de
  travaux faits avec des TIC, du type  Epreuve
  pratique .
• On trouve de très bons documents de ce type à
  ladresse
• http//mslp.ac-dijon.fr/spip.php?article202
• Dans le premier problème, on détaille, à la fin,
  les compétences mises en jeu dans la résolution
  de cette activité.
• On rappelle les 4 compétences de base
• o C1 savoir utiliser et compléter ses
  connaissances
• o C2 sinformer, rechercher, extraire et
  organiser de linformation utile (écrite, orale,
  observable, numérique)
• o C3 raisonner, argumenter, pratiquer une
  démarche scientifique, démontrer
• o C4 communiquer à laide de langages et
  doutils adaptés.
• On peut décliner ces 4 compétences dans le
  domaine du travail avec les TIC.
• On essaiera, dans tous les cas, de développer
  lautonomie et linitiative chez lélève.

101
SURRESERVATION

• Une compagnie aérienne dispose dun avion de 100
  places et vend 107 réservations.
• Lobjectif est dévaluer la probabilité de
  surréservation de cette compagnie, autrement dit
  le risque que plus de 100 passagers se présentent
  à lembarquement.

102

• 1. On suppose que toute personne réservant une
  place davion a une chance sur 10 de ne pas se
  présenter à lembarquement.
• Réaliser une simulation du nombre de personnes se
  présentant à lembarquement dun vol de 100
  places pour 107 réservations, sur un échantillon
  aléatoire obtenu à laide dun tableur.
• Pour cela, dans une feuille de calcul du tableur
  
• saisir  ENT(ALEA()0,9)  dans la cellule A1 et
  recopier cette formule vers la droite jusquen
  DC1 pour obtenir 107 réalisations ,
• saisir  SOMME(A1DC1)  dans la cellule DD1.
• Appel n 1  Appeler le professeur pour valider
  cette simulation.
• 2. Réaliser une simulation du nombre de personnes
  se présentant à lembarquement de 1 000 vols de
  100 places pour 107 réservations à chaque vol.
• Appel n 2  Appeler le professeur pour valider
  cette simulation.
• 3. Déterminer, pour cette simulation de 1 000
  vols, la proportion des cas où leffectif des
  passagers se présentant à lembarquement est
  supérieur à 100. Pour cela 
• - dans une cellule de votre choix, utiliser la
  formule  NB.SI(DD1DD1000"gt100") ,
• - dans une cellule de votre choix, en déduire la
  fréquence demandée.
• Appel n 3  Appeler le professeur pour valider
  ces calculs.
• 4. a) En utilisant la touche F9, réaliser
  plusieurs simulations, puis évaluer la
  probabilité que plus de 100 personnes se
  présentent à lembarquement.
• b) Évaluer, en pourcentage, le risque de
  surréservation pour la compagnie aérienne.
• Appel n 4  Appeler le professeur pour lui
  donner les réponses.

103
RESOLUTION

• Tout type de tableur convient, par exemple Excel
  ou OpenOffice Calc.
• Il suffit dinscrire la formule
   ENT(ALEA()0,9)  dans la cellule A1, de la
  recopier horizontalement pour quelle soit
  calculée 107 fois, puis deffectuer la somme.
• Lélève doit comprendre que lorsque la formule
  affiche 1, le passager se présente à
  lembarquement et lorsquelle affiche 0, le
  passager ne se présente pas.
• Il sagit de sélectionner les cellules de la
  simulation de la question 1. puis de recopier
  vers le bas.
• Linstruction NB.SI fournit un effectif. On
  sattache à la différence qui est faite entre
  effectif et fréquence.
• Lélève doit comprendre que la probabilité de
  surréservation est la valeur autour de laquelle
  fluctuent les fréquences lorsquon appuie sur la
  touche F9.
• On accepte toute évaluation comprise entre 0,06
  et 0,10.
• Signalons pour le professeur que le calcul de
  cette probabilité peut seffectuer par la formule
   1-LOI.BINOMIALE(1001070,9VRAI)  qui donne
  comme réponse environ 0,08 (ou 8 ).

104
SIMULATION SUR TABLEUR
105
Question COMPETENCES EVALUEES
1 Lélève est capable de réaliser la simulation
Lélève comprend le sens de laffichage 1 ou 0 de linstruction  ENT(ALEA()0,9)  
2 Lélève est capable de réaliser la simulation de taille 1 000.
3 Lélève connaît la différence de sens entre effectif et fréquence et est capable de calculer la fréquence.
4 Lélève identifie la probabilité comme linvariant autour duquel fluctuent les fréquences observées.
Lélève donne une évaluation convenable de la probabilité.
Lélève sait exprimer, en pourcentages, le risque de surréservation.
Sur tout le TP Lélève tire profit des indications éventuellement données à loral. Ces indications peuvent être des aides logicielles nécessaires pour réaliser ce quil a prévu.
106
CRAPS

• Le Craps est un jeu d'argent venant des
  États-Unis qui se joue avec deux dés à six faces.
  
• Les paris portent sur les combinaisons
  successives obtenues avec la somme des faces des
  deux dés.Il faut jeter deux dés à six faces sur
  une table avec des parois verticales de 40 cm de
  hauteur pour que les dés ne sortent pas de l'aire
  de jeu.
• Le total des 2 faces opposées de chacun des deux
  dés doit toujours être égale à 7  16, 25, 34.
• Au premier lancer, le lanceur perd sa mise s'il 2
  (11) ou 3 (21) ou 12 (66). On dit qu'il a fait
  un Craps.
• Source  wikipedia.org

107

• Est-il plus facile d'obtenir un total de 6 ou de
  7 avec deux dés ?
• 1. Simulation de lancés de deux dés et calcul des
  fréquences d'apparition des sommes des faces
  obtenues.
• 1.1. Lancer le tableur (Excel ou Open Office
  Calc) et 
• ? écrire, dans la cellule A1, l'expression 
  Simulation de 10 lancés d'une paire de dés 
• ? ajuster la largeur de la colonne 
• ? entrer, dans la cellule A2, la formule 
  ENT(ALEA()61)ENT(ALEA()61).
• ? incrémenter la cellule A2, jusqu'à la cellule
  A11 (soit 10 cases correspondant aux 10 premiers
  lancés) 
• ? écrire, dans la cellule C6, l'expression  Nombr
  e de 6  
• ? entrer, dans la cellule D6, la formule 
  NB.SI(A2A116) 
• ? écrire, dans la cellule C7, l'expression  Nombr
  e de 7  
• ? entrer, dans la cellule D7, la formule 
  NB.SI(A2A117) 
• ? appuyer plusieurs fois sur la touche F9 afin de
  faire afficher d'autres lancés.
• Cette simulation permet-elle répondre au problème
  posé ?