Optimisation statistique de stratifi

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Optimisation statistiquede stratifiés composites

• Laurent Grosset (Grosset_at_emse.fr)R. Le RicheR.
  Haftka

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Plan

• Présentation générale de loptimisation
  statistique
• Modèle simple cas linéaire
• Application à un problème doptimisation de
  stratifiés composites
• Introduction de variables intermédiaires pour
  améliorer le modèle
• Résumé, prochains développements de la recherche

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Introduction

• Algorithmes génétiques basés sur une simulation
  dun phénomène naturel (sélection naturelle),
  mais pas de justification mathématique
• Baluja, Mühlenbein modèles statistiques des
  AGs. Proposent des algorithmes où les opérateurs
  standards (croisement, mutation) sont remplacés
  par un modèle statistique

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Références

• Baluja, S., 1994,  Population-based Incremental
  Learning 
• Mühlenbein, H., 1996, Univariate Marginal
  Distribution Algorithm, Factorized Distribution
  Algorithm
• Pelikan, M., 1999, Bayesian Optimization Algorithm

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Passage dune formulation classique à une
formulation statistique

• Formulation classiquetrouver

• Formulation statistiquetrouver

Utiliser la fonction coût pour mettre à jour
lesprobabilités revient à utiliser le gradient
de laformulation statistique (cf. méthode de la
plus forte pente)
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Principe de loptimisation statistique

• Un modèle probabiliste associe à chaque point
  notre croyance quil est loptimum (compte tenu
  de létat de connaissance)
• Le modèle est utilisé pour guider la recherche en
  générant des points qui ont une forte probabilité
  dêtre bons
• Le modèle est affiné à chaque itération en
  fonction des nouvelles observations

Générateur depoints modèleP(X optimumdonnées)
Mise à jour
Population depoints X
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Exemple une variable

• Au début de loptimisation pas dinformation
  sur la localisation de loptimum
• A chaque itération de nouveaux points sont
  visités
• A chaque itération un modèle probabiliste peut
  être construit/mis à jour

Première génération de points
Seconde génération de points
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Algorithme général
Initialisationde la distributionde probabilité
Créationde lapopulation
Mise à jourdumodèle
Sélection

• Choix algorithmiques
• Comment représenter la distribution de
  probabilité?
• Comment sélectionner les bons individus?
• Comment mettre à jour le modèle

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Mise en œuvre dans le cas discret

• N variables discrètes X1, X2,,XN qui peuvent
  prendre m valeurs discrètes
• mN combinaisons possibles ? mN 1 nombres pour
  décrire toute la distribution!
• On réduit le nombre de paramètres en supposant
  des relations dindépendance entre les variables

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Exemple 4 variables, 3 valeurs

• Distribution complète
• P(A,B,C) 81 combinaisons 80 paramètres
• Modèle chaîne
• P(A,B,C)P(A)P(BA)P(CB)P(DC) 20 paramètres
• Modèle indépendant
• P(A,B,C)P(A)P(B)P(C)P(D)
• 8 paramètres

A
B
C
D
A
C
D
B
A
C
D
B
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Modèle probabiliste à variables indépendantes

• Pour réduire le nombre de paramètres à
  identifier, on suppose les variables
  indépendantes la probabilité dune variable est
  indépendante de la valeur des autres variables
• La probabilité dun point x (x1x2xN) est
  obtenue par
• Comme la probabilité dune variable ne dépend pas
  de la valeur des autres variables, chaque
  probabilité peut se calculer séparément

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Apprentissage des probabilités

• Les probabilités sont obtenues en évaluant la
  fréquence de chaque valeur dans la population des
  bons individus
• Sélection
• Troncature garde les n meilleurs (ex. meilleur
  moitié)
• Proportionnelle à la fonction coût probabilité
  de sélection proportionnelle à f
• Proportionnelle au rang dans la population
  probabilité de sélection proportionnelle au rang

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Exemple de calcul de probabilités
Probabilité
1. Meilleure moitié
Population
1 2 3 4 5
1 2/3 0 1/3 1/3 0
2 1/3 2/3 0 2/3 1
3 0 1/3 2/3 0 0
1
1
3
3
1
2
2
1
2
3
2
2
3
2
2
1
2
2
2. Rang
4
2
2
1
3
2
1 2 3 4 5
1 11/21 0 1/3 6/21 2/21
2 10/21 13/21 0 11/21 19/21
3 0 8/21 2/3 4/21 0
5
2
3
3
2
1
6
2
2
3
3
2
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Mise à jour du modèle

• Pour calibrer le niveau de mémoire du modèle, on
  utilise la formule
• m élevé grande inertie m faible grande
  capacité dadaptation mais sensibilité à de
  mauvaises générations
• Dans notre cas meilleur résultat obtenu pour m 0

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Optimisation de stratifiés composites variables

• Les propriétés mécaniques dun stratifié
  dépendent
• Des propriétés des matériaux
• De lépaisseur des couches (plis)
• De lorientation des fibres
• Ces variables sont souvent discrètes, à cause de
  contraintes de fabrication

x
q
y
z
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Optimisation de stratifiés composites fonction
coût et contraintes

• Critères doptimisation
• Poids ou coût
• Charge de flambement
• Fréquences propres
• Résistance
• Les problèmes doptimisation de stratifiés sont
  des problèmes combinatoires

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Problème test non couplé

• Problème maximiser la rigidité longitudinale
  A11
• Solution toutes les fibres alignées selon x
  0/0/ 0/0/ 0/0/ 0/0/ 0/0
• Particularité ce problème est découplé car on
  augmente A11 en diminuant nimporte quel angle
  indépendamment de la valeur des autres angles

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Résultats sur le problème test

• Les algorithmes probabilistes sont plus efficaces
  que lAG
• AG 400 analyses pour 80 de fiabilité
•  Half Rank  200 analyses pour 80 de
  fiabilité
• La sélection basée sur le rang est plus efficace
  que la sélection basée sur la troncature

Fiabilité de loptimisation probabilité
datteindre loptimum après un certain nombre
danalyses
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Problème couplé

• Problème maximiser rigidité longitudinale
  A11contraintes rigidité transversale A22 ?
  A22min rigidité en cisaillement A66 ? A66min
• Optimum 02/?153/?30/?45/908 ou une de ses
  permutations
• Particularité ce problème comporte des
  interactions entre les variables car si une
  variable a pour valeur 02, la probabilité de 0
  pour les autres variables sera nulle

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Avec couplage

• Seule la méthode  Half Rank  reste plus
  performante que lAG
• À part  Bayesian updating , les méthodes
  statistiques restent compétitives par rapport à
  lAG? résultats encourageants qui montrent
  quil y a une marge de progression

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Commentaires

• Modèle très simple, facile à mettre en œuvre
• Problème modèle basé sur lhypothèse
  dindépendance des variables ? pas vérifié en
  général
• Prendre en compte le couplage modèle
  probabiliste plus complexe, type réseau
  bayesien ? difficile à mettre en œuvre
• Autre alternative introduire des variables
  intermédiaires qui synthétisent les couplages

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Introduction de variables intermédiaires

• V1 et V2 sont des fonctions de tous les Xi.
• Chaque région dans lespace des V prend en compte
  la contribution de chaque variable
• Si on impose une distribution sur les V, on
  favorise des combinaisons de X

X1
X2
X3
XN
V1
V2
F
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Effet du changement de variable sur les
distributions

• Principe
• On construit un probabilité de distribution des
  variables intermédiaires
• On utilise cette probabilité pour présélectionner
  des points qui satisfont les conditions de
  couplage
• Deux effets
• Effet de couplage des variables
• Effet dû au changement de variable
• Cas des composites paramètres de stratification
  

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Modification de lalgorithme
Initialisationde la distributionde probabilité
Créationde lapopulation
Mise à jourdumodèle
Sélection

• On crée plus de points que nécessaire
• On sélectionne les points susceptible dêtre bons
  à laide des variables intermédiaires

Présélection basée sur les variable
intermédiaires
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Utilisation des paramètres de stratification

1. À chaque itération on calcule la moyenne et
   matrice de covariance des bons individus
2. À litération suivante, on construit une
   gaussienne à partir des ces valeurs
3. Les points candidats générés par le modèle
   linéaire sont filtrés par la gaussienne

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Effet du changement de variable
V1(?)
p(V1)
p(?)
?
?
V1
Distribution danslespace des ?
Changement de variable
Distribution danslespace des V

• Le changement de variable favorise des points
  situés près des extrémités 1 et 1

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Résultats amélioration de lefficacité
Présélection bénéfique
Présélection néfaste

• La fiabilité est améliorée par lutilisation des
  paramètres de stratification

• Nombre de cas où la présélection a un effet
  positif lemporte sur le nombre de cas ou leffet
  est négatif

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Problèmes rencontrés, questions

• Algorithme trop conservateur freine le progrès
  car les points qui séloignent trop du point
  courant sont exclus
• Cela a-t-il du sens de fitter une gaussienne
  compte tenu de la taille des populations (lt10)?
• Lamélioration observée est-elle spécifique aux
  paramètres de stratification? Tout changement de
  variable donnerait-il le même résultat?

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Résumé

• Modèles linéaires
• Facile à mettre en œuvre
• Peu de paramètres à régler
• Ne prennent pas en compte les couplages entre
  variables
• Modèle à variable intermédiaire
• Prend en compte des interactions entre variables
• Apportent une amélioration

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Directions de recherche

• Utiliser un modèle probabiliste plus complexe qui
  prend en compte le couplage entre les variables
• Modèle Chaîne
• Réseau bayesien
• Réfléchir à limportance de la taille des
  populations, rôle de la mutation
• Au lieu de fournir UN point optimum,
  loptimisation fournit une densité de
  probabilité. Comment les interpréter et les
  utiliser
• Fiabilité de loptimum, sensibilité
• Relation au problème physique