Ecuaci

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Ecuación general del círculo

• Ahora vamos a suponer que queremos encontrar el
  lugar geométrico de los puntos que equidistan 5
  unidades del punto Q(4, 3).

5
3
4
Vamos a llamar P(x, y) a uno de los puntos del
lugar geométrico. Entonces, tenemos que la
distancia de este punto a Q debe ser 5, es decir
d(P, Q)5
2
Que se escribe como
De donde,
Esta ecuación representa un círculo
La forma canónica o estándar del círculo de radio
r y con centro en C(a, b) es
r
b
C
a
3
Si desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación
anterior x2-2xaa2y2-2ybb2 x2y2(-2a)x(-2b)y
a2b2 notamos que a2b2r2
Si D-2a, E-2b y Fa2b2-r2
x2y2DxEyF0
Esta es la forma general de la ecuación del
círculo.
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Problema individual Encontrar el centro y
radio del círculo cuya ecuación
es 4x24y2-12x40y770 4(x2-3x)4(y2 10y)
-77 (x2-3x)(y2 10y) -77/4 (x2-3x9/4)(y2
10y25) -77/49/525 (x-3/2)2(y5)2 8
Entonces el centro es (3/2, -5) y el radio es
?82?2
5
Ejercicio en equipo Deducir una ecuación del
círculo que pasa por los puntos (1,5), (-2,3),
(2,1). Resuelva de manera analítica y gráfica.
Solución Sabemos que la ecuación deseada tiene
la forma siguiente
x2y2DxEyF0 Como los tres puntos dados
satisfacen la ecuación del círculo por estar en
él, tenemos 125D5EF0 49-2D3EF0
412D-EF0
6
Es decir, D5EF-26
-2D3EF-13 2D-EF-5Resolviendo el sistema
tenemos, D-9/5, E19/5, F-26/5Por lo
tanto la ecuación del círculo es
5x25y2-9x-19y-260
El ejemplo anterior demuestra el empleo de la
fórmula general para deducir la ecuación deseada.
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Solución alterna
Como los puntos (1,5) y (-2,3) se ubican en el
círculo, el segmento de uno a otro es una cuerda
del círculo que deseamos.
(1,5)
(-2,3)
(2,-1)
Para la cuerda que une a (1,5) con (-2,3), el
punto medio es (-1/2,4) y la pendiente m2/3.
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Entonces la ecuación de la mediatriz es
y-4-3/2(x1/2) de donde 6x4y13 (1)
Repetimos lo anterior con la cuerda de (1,5) a
(2,-1) m6 y la ecuación de la mediatriz es,
y-21/6(x-3/2), es decir 2x-12y-21 (2)
El centro se encuentra donde se cruzan (1) y (2),
es decir (9/10, 9/10)
El radio es la distancia del centro a cualquiera
de los puntos, por ejemplo (1,5). r?962/100

La ecuación de la circunferencia que buscamos
es (x-9/10)2(y-19/10)2962/100 o bien
5x25y2-9x-19y-260
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Diseño de un engrane. El siguiente ejercicio se
realizará en equipo. Ver archivo (Ejercicio
engrane.doc)
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Ejercicio en equipo

• Encontrar la ecuación de la recta tangente al
  círculo (x-3)2(y-12)2100 en el punto P(-5,6).

Recuerda Una recta es tangente a un círculo si
toca a éste en un solo punto. La recta tangente a
un circulo tiene la propiedad de ser
perpendicular al radio que une al centro del
círculo con el punto de tangencia. Esta propiedad
es la que nos permite encontrar la ecuación de la
recta tangente.
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Solución

• Primero debemos encontrar la pendiente del radio
  que une a P con el centro del círculo. El centro
  tiene coordenadas (3,12). La pendiente buscada es
  m3/4.
• De donde la pendiente de la recta tangente al
  círculo en P es 4/3 por tanto su ecuación es
• y-6-4/3(x-(-5)), o bien 4x3y20

12
6
-5
3
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Ejercicio en equipo

• Encontrar la ecuación del círculo que es tangente
  a la recta x-2y20 en el punto P(8,5) y pasa por
  Q(12,9)
• Solución El centro C(xo, yo) del círculo debe
  estar en la recta l que es perpendicular a la
  recta dada y que pasa por P. Como la recta dada
  tiene pendiente ½ , la recta l tiene pendiente
  m-2 por tanto su ecuación es y-5-2(x-8)
  2xy-210
• Por tanto las coordenadas de C satisfacen
• 2xoyo-210 (1)
• Como la distancia de C(xo, yo) a P(8,5) debe ser
  igual a la distancia de C(xo, yo) a Q(12,9), se
  tiene que

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• Elevando al cuadrado y simplificando tenemos
  xoyo-170 (2)
• Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por
  (1) y (2) encontramos las coordenadas del centro
  C(4,13) y el radio r?80
• Así la ecuación de la circunferencia es
  (x-4)2(y-13)280, o bien
  x2y2-8x-26y1050

13
5
8
4
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• Vamos ahora a discutir otra propiedad de la recta
  tangente que nos servirá también para definir las
  rectas tangentes a las otras cónicas.

• Sea P un punto de un círculo

y l la recta tangente al círculo que pasa por P.

• Observamos en la figura que todos los puntos de l
  distintos de P están en una sola de las dos
  regiones determinadas por el círculo, esto es, en
  la región de afuera, ya que si Q es otro punto de
  l, d(C,Q)gtd(C,P)

puesto que en el triángulo rectángulo CPQ, el
segmento CP es un cateto y el segmento CQ es la
hipotenusa.
P
C
l
Q
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• Además, una recta l es tangente a una cónica en
  un punto P de ella, si corta a la cónica
  únicamente en P y todos los demás puntos de l
  están en una sola de las regiones determinadas
  por la cónica. 
• Una recta es normal a una cónica en un punto P si
  es perpendicular a la recta tangente a la cónica
  que pasa por ese punto.