Rectas y Planos

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Rectas y Planos

• Cálculo IV (Ing)

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Ecuación de la Recta
Una recta puede ser determinada, de una manera
única por un punto y un vector director
P
L
u
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Cómo sabemos que un punto P(x,y,z) está sobre
la recta L?
P
Po
L
tu
u
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Ecuación de la recta L que pasa por el punto
P0(xo,yo,zo) con vector director u(a,b,c)
El punto P(x,y,z) ?L si y sólo si P-Po ?? u, es
decir, si P-Potu, t ?? ? (x-xo, y-yo, z-zo)t
(a,b,c).
Ecuaciones paramétricas de la recta L
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Ecuación de la recta L que pasa por el punto
P0(xo,yo,zo) con vector director u(a,b,c)
Si las coordenadas del vector director u(a,b,c)
son todas no nulas, abc?0 ,entonces
Ecuación simétrica de la recta L
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Qué sucede si una de las coordenadas del vector
director es cero?, Cuál sería la ecuación de la
recta?
Si a 0 entonces
Si b 0 entonces
Si c 0 entonces
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Posiciones relativas entre dos rectas

• Paralelas Sus vectores directores son paralelos
• Perpendiculares Sus vectores directores son
  perpendiculares
• Oblicuas Cuando las rectas no son paralelas y no
  se intersectan .
• Se Cruzan Cuando las rectas no son paralelas y
  se intersectan

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Ejemplo
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por
los puntos P(2,3,-4) y Q(3,-2,5)
Solución El vector director de la recta está
dado por
Por lo tanto, la ecuación de la recta viene dada
por
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Ejemplo Encuentre la ecuación de la recta L que
contiene al punto P(2,3,-2) y es paralela a la
recta
Solución Dos rectas son paralelas si sus
vectores directores son paralelos, por lo tanto,
podemos tomar como vector director de de L el
mismo vector director de la recta dada que es
v(3,6,2)
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(No Transcript)
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Ejemplo Encuentre la intersección de las rectas
Solucióndebemos encontrar los valores de s y t
que satisfagan las ecuaciones
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Sustituyendo los valores de t y s en ,
resulta33
Por lo tanto las rectas se cruzan y el punto de
intersección es (2,-1,-3)
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Ecuación del Plano
Cómo podemos determinar, de una manera única, un
plano en el espacio?

• Tres puntos no alineados

Q
P
R
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Un punto P y un vector normal N
N
N
P
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Cuál es la condición geométrica que debe
satisfacer un punto P(x,y,z) para estar en el
plano ? que pasa por P0 y tiene como vector
normal a N?
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P (x,y,z)
N
P-Po
P0
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Ecuación del plano ? que pasa por el punto
P(x0,y0,z0) y es perpendicular al vector normal
N(A,B,C)
Un punto P(x,y,z)?? si y solo si
esto es,
Si llamamos
Ecuación Normal del Plano
entonces
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Ejemplo Calcular el plano que pasa por los
puntos P(2,0,1), Q(1,2,0) y R(-3,2,1)
Solución
La ecuación del plano es
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Ejemplo Encuentre el plano que pasa por el punto
P(-2,3,4) y es perpendicular a la recta que pasa
por Q(4,-2,59 y R(0,2,4)
SoluciónEl vector normal de la recta es el
vector normal del plano, como la recta pasa por
los puntos Q y R su vector director es
Por lo tanto, la ecuación del plano es
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Ejemplo Encontrar la ecuación del Plano que
contiene a la recta
y pasa por el origen.
Solución Tomemos un punto de la recta Q(3,1,2) y
formemos el segmento de recta
N
P(0,0,0)
u
v
Luego,
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Ecuación del plano 2x-4y-z0
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Ejemplo Hallar la recta intersección de los
planos
Solución de las ecuaciones de los planos podemos
concluir que
Como
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Ya tenemos el vector director de la recta
intersección, solo nos queda calcular un punto
sobre la recta. Para calcularlo tomemos x 0,
entonces
Así el punto es P(0,0,1) , y la ecuación de la
recta
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Ejemplo Hallar la distancia del punto Q(1,2,3)
al plano
Solución Tomemos un punto del plano P(1,1,1)
formamos el segmento PQ(0,1,2) , luego
Q
P