Coordenadas en el espacio

1
Coordenadas en el espacio
(x, y, z) son las coordenadas de P respecto
del sistema de referencia S.
2
Ejes coordenados. Planos coordenados

• Los tres vectores de la base B determinan con el
  origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ.

• Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos
  coordenados del sistema de referencia.

3
Coordenadas de un vector libre
4
Coordenadas del punto medio de un segmento
5
Determinación de una recta. Ecuación vectorial
6
Determinación de una recta. Ecuaciones
paramétricas
7
Ecuaciones de la recta en forma continua
8
Ecuaciones de los ejes en forma vectorial,
paramétrica y continua
9
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
(b1, b2, b3)
(a1, a2, a3)
Por tanto la ecuación de la recta será (x, y, z)
(a1, a2, a3) t (b1a1, b2a2, b3a3 )
10
Ecuación vectorial del plano
11
Ecuaciones paramétricas y general del plano
El desarrollo de este determinante conduce a la
ecuación general del plano
Ax By Cz D 0
12
Ecuaciones de los planos cartesianos
13
Ecuación normal del plano
Sea M un punto cualquiera del plano a, y sea (A,
B, C) un vector normal al plano.
Desarrollando la expresión anterior
obtenemos (A, B, C) . (x x1 , y y1 , z z1
) 0 A( x x1 ) B(z z1 ) C(z z1 ) 0 o
bien A x B y C z D 0 donde A, B, y C son
las componentes del vector normal al plano
14
Ecuación del plano que pasa por tres puntos
La determinación lineal de dicho plano será
Por lo tanto su ecuación se obtendrá
desarrollando el siguiente determinante
15
Posiciones relativas de dos planos
Sean p ax by cz d 0 y p' a'x b'y
c'z d' 0. Estudiar las posiciones relativas
de ambos planos equivale a estudiar el número de
soluciones del sistema que forman sus ecuaciones.
Sean A y B las matrices asociadas a dicho
sistema.
3
2
1
Sistema compatible indeterminado de rango 2
Sistema compatible indeterminado de rango 1
Sistema incompatible
rango(A) rango(B) 1
rango(A) rango(B) 2
rango(A) 1 rango(B) 2
16
Posiciones relativas de tres planos (I)
Sean p ax by cz d 0 y p' a'x b'y
c'z d' 0 y p" a"x b"y c"z d" 0 .
Estudiar las posiciones relativas de ambos planos
equivale a estudiar el número de soluciones del
sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B
las matrices asociadas a dicho sistema.
1
2a
2b
Dos planos coincidentes y un tercero secante a
ellos
Tres planos distintos
Triedro
Los tres planos tienen un punto en común
Los tres planos tienen una recta en común
Los tres planos tienen una recta en común
Sistema compatible Determinado de rango 3
Sistema compatible indeterminado de rango 2
Sistema compatible indeterminado de rango 2
rango(A) rango(B) 2
rango(A) rango(B) 2
rango(A) rango(B) 3
17
Posiciones relativas de tres planos (II)
Sean p ax by cz d 0 y p' a'x b'y
c'z d' 0 y p" a"x b"y c"z d" 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambos
planos equivale a estudiar el número de
soluciones del sistema que forman sus ecuaciones.
Sean A y B las matrices asociadas a dicho
sistema.
3
4b
4a
Dos planos paralelos y un tercero secante a ellos
Prisma
Tres planos coincidentes
Los tres planos tienen infinitos puntos en común
Los tres planos no tienen puntos en común
Los tres planos no tienen puntos en común
Sistema compatible indeterminado de rango 1
Sistema incompatible
Sistema incompatible
rango(A) rango(B) 1
rango(A) 2 rango(B) 3
rango(A) 2 rango(B) 3
18
Posiciones relativas de tres planos (III)
Sean p ax by cz d 0 y p' a'x b'y
c'z d' 0 y p" a"x b"y c"z d"
0. Estudiar las posiciones relativas de ambos
planos equivale a estudiar el número de
soluciones del sistema que forman sus ecuaciones.
Sean A y B las matrices asociadas a dicho
sistema.
5b
5a
Dos planos coincidentes y un tercero paralelo a
ellos
Tres planos paralelos
Los tres planos no tienen puntos en común
Los tres planos no tienen puntos en común
Sistema incompatible
Sistema incompatible
rango(A) 1 rango(B) 2
rango(A) 1 rango(B) 2
19
Ecuación de la recta como intersección de planos
Sean p ax by cz d 0 y p' a'x b'y
c'z d' 0 dos planos no paralelos. Los puntos
de la recta intersección son aquellos que
verifican simultáneamente las ecuaciones de ambos
planos. Por ello la ecuación de la recta r será
Para obtener las ecuaciones paramétricas de la
recta es suficiente obtener la solución general
del sistema indeterminado que forman las
ecuaciones generales de los dos planos.
20
Posiciones relativas de una recta y un plano
Sean p ax by cz d 0 y y la recta r dada
como intersección de p' a'x b'y c'z d' 0
y p"a"x b"y c"z d" 0 . Estudiar las
posiciones relativas de recta y plano equivale a
estudiar el número de soluciones del sistema que
forman las tres ecuaciones anteriores. Sean A y
B las matrices asociadas a dicho sistema.
1
2
3
Recta y plano secantes
Recta y plano paralelos
Recta contenida en el plano
Sistema compatible determinado
Sistema compatible indeterminado de rango 2
Sistema incompatible
rango(A) 2 rango (B) 3
rango(A) rango (B) 3
rango(A) 2 rango (B) 2
21
Posiciones relativas de dos rectas (I)
Sea r dada como intersección de los planos a1x
a2y a3z a4 0 y b1x b2y b3z b4 0.
Sea la recta s dada como intersección de c1x
c2y c3z c4 0 y d1x d2y d3z d4 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambas
rectas equivale a estudiar el número de
soluciones del sistema que forman las cuatro
ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices
asociadas a dicho sistema.
1
2
Rectas secantes
Rectas coincidentes
Las dos rectas tienen un punto en común
Las rectas tienen todos sus puntos comunes
Sistema compatible determinado
Sistema compatible indeterminado de rango 2
rango(A) rango(B) 3
rango(A) rango(B) 2
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Posiciones relativas de dos rectas (II)
Sea r dada como intersección de los planos a1x
a2y a3z a4 0 y b1x b2y b3z b4 0.
Sea la recta s dada como intersección de c1x
c2y c3z c4 0 y d1x d2y d3z d4 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambas
rectas equivale a estudiar el número de
soluciones del sistema que forman las cuatro
ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices
asociadas a dicho sistema.
4
3
Rectas paralelas
Rectas que se cruzan
Las rectas no tienen puntos en común
Las rectas no tienen puntos en común
Sistema incompatible
Sistema incompatible
rango(A) 2 rango(B) 3
rango(A) 3 rango(B) 4