A partir de la ecuaci

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A partir de la ecuación de Newton, se puede
inferir una funcion potencial. Consecuencias
conceptuales y practicas
(x1,v1)
(x2,v2)

• Hay una función ADITIVA de la velocidad y de la
  posición (Energía) que permanece constante
• La fuerza es menos la derivada espacial de esta
  función.
• La velocidad es una función exclusiva del
  espacio. Basta saber donde esta una partícula ( y
  su energía inicial, para conocer su velocidad.
• Si recorremos un camino cerrado, cuando volvemos
  al punto original, nada ha cambiado (es decir la
  velocidad es la misma, la posición la misma, la
  física (las fuerzas) la misma y por lo tanto todo
  se repite, resultando en oscilaciones. En
  particular, no es demasiado difícil oscilar en un
  mundo no disipativo. Basta volver a pasar en
  algún momento por el punto de origen.

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A partir de la ecuación de Newton, se puede
inferir una funcion potencial. Consecuencias
conceptuales y practicas
(x1,v1)
(x2,v2)

• Hay una función ADITIVA de la velocidad y de la
  posición (Energía) que permanece constante
• La fuerza es menos la derivada espacial de esta
  función.
• La velocidad es una función exclusiva del
  espacio. Basta saber donde esta una partícula ( y
  su energía inicial, para conocer su velocidad.
• Si recorremos un camino cerrado, cuando volvemos
  al punto original, nada ha cambiado (es decir la
  velocidad es la misma, la posición la misma, la
  física (las fuerzas) la misma y por lo tanto todo
  se repite, resultando en oscilaciones. En
  particular, no es demasiado difícil oscilar en un
  mundo no disipativo. Basta volver a pasar en
  algún momento por el punto de origen.

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A partir de la ecuación de Newton, se puede
inferir una funcion potencial. Consecuencias
conceptuales y practicas
(x1,v1)
(x2,v2)

• Hay una función ADITIVA de la velocidad y de la
  posición (Energía) que permanece constante
• La fuerza es menos la derivada espacial de esta
  función.
• La velocidad es una función exclusiva del
  espacio. Basta saber donde esta una partícula ( y
  su energía inicial, para conocer su velocidad.
• Si recorremos un camino cerrado, cuando volvemos
  al punto original, nada ha cambiado (es decir la
  velocidad es la misma, la posición la misma, la
  física (las fuerzas) la misma y por lo tanto todo
  se repite, resultando en oscilaciones. En
  particular, no es demasiado difícil oscilar en un
  mundo no disipativo. Basta volver a pasar en
  algún momento por el punto de origen.

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Dos potenciales importantes Introduciendo el
mundo elástico como el equilibrio puntual
generico o la resistencia a alejarse.
U(x)
G(Superf) -mg U(x)mgx
U(x)
Resorte -kx
Cuales son los aspectos comunes y las
diferencias fundamentales entre estos dos
potenciales?
5
VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA
En un punto dado del espacio, una función no
puede más que

• Tener un máximo. (Equlibrio inestable)
• Tener un mínimo (Equlibrio estable)
• Ser constante. (Punto indiferente)
• Crecer o decrecer (Punto de aceleración)

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VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA
En un punto dado del espacio, una función no
puede más que

• Tener un máximo. (Equlibrio inestable)
• Tener un mínimo (Equlibrio estable)
• Ser constante. (Punto indiferente)
• Crecer o decrecer (Punto de aceleración)

Movimiento genérico en la línea resulta de una
yuxtaposición de estos operadores elementales.
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VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA
En un punto dado del espacio, una función no
puede más que

• Tener un máximo. (Equlibrio inestable)
• Tener un mínimo (Equlibrio estable)
• Ser constante. (Punto indiferente)
• Crecer o decrecer (Punto de aceleración)

Movimiento genérico en la línea resulta de una
yuxtaposición de estos operadores elementales.
A partir de una función potencial uno puede LEER
el movimiento y conocer en pleno detalle todos
sus aspectos cualitativos. Por lo tanto, el
problema del movimiento en una dimensión, con
fuerzas conservativas esta, esencialmente,
resuelto. En lo que sigue extenderemos este
problema a un mundo que será mas complejo por 1)
La dimensionalidad del espacio (pasar de la línea
al plano) lo cual introduce una relación entre la
geometría y la dinámica. 2) La introducción de
fuerzas no conservativas que, veremos, no
permiten utilizar una función temporal.
8
La logica del movimiento en 1 dimension en el
espacio de las fuerzas.
Como es el movimiento si (a y b gt 0), si (a lt 0
y b gt 0), si (a gt 0 y b lt 0) si (a lt 0 y b lt 0)?
9
SISTEMAS DINAMICOS Formas canonicas de
movimiento.
a
?
b
b0
10
SISTEMAS DINAMICOS Formas canonicas de
movimiento.
a
b
b0
11
SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
b
?
b0
12
SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
b
b0
13
SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
b
b0
14
SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
?
b
b0
15
SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
x0
b
b0
16
SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
x0
x-a/b
b
b0
17
SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
x0
x-a/b
b
?
b0
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SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
x0
x-a/b
b
x0
b0
19
SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
x0
x-a/b
b
x0
b0
20
SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
?
x0
x-a/b
b
x0
b0
21
SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
x0
x-a/b
x0
b
x0
b0
22
SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
x0
x-a/b
x0
x-a/b
b
x0
b0
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SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
x0
x-a/b
x0
x-a/b
b
?
x0
b0
24
SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
x0
x-a/b
x0
x-a/b
b
x0
x0
b0
25
SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento Moraleja 1
a
x0
x-a/b
x0
x-a/b
b
Sistema Lineal, un único comportamiento
Atractivo (Oscilaciones) o Expulsión (Divergencia)
x0
b0
26
SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento. Moraleja 2
a
La estabilidad (atractivo o repulsivo) esta dado
solo por el termino lineal (a).
x0
x-a/b
x0
x-a/b
b
x0
x0
b0
27
SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
El comportamiento asintotico depende del termino
con mayor exponente (b) (en este caso 2) Si este
es par, no todas las soluciones no son acotadas.
x0
x-a/b
x0
x-a/b
b
x0
x0
b0
28
SISTEMAS DINAMICOS Formas canónicas de
movimiento.
a
F0
b
b0
29
Formas canónicas de movimiento Una
representación correcta y adecuada (entendiendo
todo en un golpe de ojo)
a
b
b0
30
La logica del movimiento en 1 dimension en el
espacio de las fuerzas.
Como es el movimiento en este campo de fuerzas?
El movimiento es acotado?
31
La logica del movimiento en 1 dimension en el
espacio de las fuerzas.
Como es el movimiento en este campo de fuerzas?
32
La logica del movimiento en 1 dimension en el
espacio de las fuerzas.
33
La logica del movimiento en 1 dimension en el
espacio de las fuerzas.
Como es el movimiento en este campo de fuerzas?
Existen distintos estados cualitativos de
movimiento?
34
La logica del movimiento en 1 dimension en el
espacio de las fuerzas.
Como es el movimiento en este campo de fuerzas?
Existen distintos estados cualitativos de
movimiento?
35
La logica del movimiento en 1 dimension en el
espacio de las fuerzas.
Problema resuelto? Encontramos todos los puntos
de equlibrio?
36
La logica del movimiento en 1 dimension en el
espacio de las fuerzas.
De hecho este potencial tiene infinitos mínimos
(con sus correspondientes barreras)
37
La logica del movimiento en 1 dimension en el
espacio de las fuerzas.
Que soluciones existen en este rango?
38
La logica del movimiento en 1 dimension en el
espacio de las fuerzas.
Energía mayor que la barrera
Energía menor que la barrera
Que soluciones existen en este rango?
39
La logica del movimiento en 1 dimension en el
espacio de las fuerzas.
Si esta es la posición inicial, que sabemos de la
energía
Que soluciones existen en este rango?
40
La logica del movimiento en 1 dimension en el
espacio de las fuerzas.
EU(x)T gt U(x)
U(x)
La energía es mayor o igual que el valor de U en
xo. Esto se debe al hecho de que T nunca es
negativa
Que soluciones existen en este rango?
41
La logica del movimiento en 1 dimension en el
espacio de las fuerzas.
Cuales son las trayectorias cualitativas de estas
dos masas?
42
UNA VEZ MAS VENTAJA PRACTICA Y CONCRETA
En un punto dado del espacio, una función no
puede más que

• Tener un máximo. (Equlibrio inestable)
• Tener un mínimo (Equlibrio estable)
• Ser constante. (Punto indiferente)
• Crecer o decrecer (Punto de aceleración)

Movimiento genérico en la línea resulta de una
yuxtaposición de estos operadores elementales.
A partir de una función potencial uno puede LEER
el movimiento y conocer en pleno detalle todos
sus aspectos cualitativos. Por lo tanto, el
problema del movimiento en una dimensión, con
fuerzas conservativas esta, esencialmente,
resuelto. En lo que sigue extenderemos este
problema a un mundo que será mas complejo por 1)
La dimensionalidad del espacio (pasar de la línea
al plano) lo cual introduce una relación entre la
geometría y la dinámica. 2) La introducción de
fuerzas no conservativas que, veremos, no
permiten utilizar una función temporal.
43
Diferencial de energía en varias (dos)
dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo
de su dirección.
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Diferencial de energía en varias (dos)
dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo
de su dirección.
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Diferencial de energía en varias (dos)
dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo
de su dirección.
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Diferencial de energía en varias (dos)
dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo
de su dirección.
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Diferencial de energía en varias (dos)
dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo
de su dirección.
O aun reordenando términos
Diferencial de Trabajo (por definición) y aquí se
adivina la relevancia de esta cantidad.
Diferencial de Energía Cinetica
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Diferencial de energía en varias (dos)
dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo
de su dirección.
En general se puede resolver el problema en la
dirección de movimiento. Esto es trivial (ha de
hacerse una sola vez) cuando el movimiento es
rectilíneo, independientemente de la dirección de
la fuerzs. Cuando el movimiento es curvo el
problema es iterativo porque para hacer esta
proyección hace falta conocer la trayectoria para
la cual hace falta conocer las fuerzas y así
siguiendo
La proyección de la fuerza que contribuye al
trabajo (y de hecho, en este caso, al movimiento)
porque el plano ejerce una fuerza igual y
contraria con lo que todas la fuerzas resultante
son paralelas a la dirección de movimiento. En un
caso genérico, fuerzas transversales pueden
contribuir al movimiento (modificando la
dirección, sin realizar trabajo)
49
Primer manifestación de la direccionalidad El
signo
Un campo de fuerzas constante
Trayectoria forzada en un campo constante Cuál
es el trabajo de esta fuerza?
(x1,v1)
(x2,v2)
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Primer manifestación de la direccionalidad El
signo
Un campo de fuerzas constante
Trayectoria forzada en un campo constante Cuál
es el trabajo de esta fuerza?
(x1,v1)
(x2,v2)
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Mapas Escalares La anatomía de la función
abs(xy)
A lo largo de curvas
En coordenadas polares
Imagenes del mapa
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Gradiente, la dirección (y cantidad de cambio, de
una función escalar)
53
Mapas Escalares La anatomía de la función
xexp(r2)
Dos representaciones equivalentes de las ternas
(x,y,f(x,y))
Las curvas de nivel, o las direcciones a lo largo
de las cuales una función no cambia y aquellas,
ortogonales, de máximo cambio.
54
Inferir la tendencia al cambio a partir de una
función potencial
55
Inferir la tendencia al cambio a partir de una
función potencial
Función Potencial y campo gradiente, dos
conceptos hermanaos. El gradiente es el vector
formado por el valor de cambio (con signo) en
cada dirección. Apunta entonces en la dirección
donde la función mas crece. La fuerza es inversa
al gradiente y cambia el momento (alterando la
tendencia a mantener la velocidad constante).
Nótese que el momento evoluciona en dirección de
los pozos de potencial. Nótese también que el
movimiento no converge a los pozos (es decir, no
se estaciona en un mínimo) porque la partícula
tiene inercia. Un pozo suficientemente profundo
atrapa una particula que oscila en este pozo.