Algebra lineal

1
Algebra lineal
2
Temario

•  
• Matemáticas I
•  
• Programa
•  
• Algebra de matrices
• 1.1 Matrices
• 1.2 Matrices especiales
• 1.3 Operaciones con matrices
• 1.4 Matrices por bloques
•  

3
Temario

•  
• Matemáticas I
•  
• Programa
•  
•  
• Sistemas de ecuaciones lineales
• 2.1 Algoritmo de Gauss
• 2.2 Algoritmo de Gauss-Jordan
• 2.3 Existencia de soluciones
• 2.4 Operaciones elementales por filas y matrices
  elementales
• 2.5 Factorización LU
• 2.6 Geometría de ecuaciones lineales
•  

4
Temario

•  
• Matemáticas I
•  
• Programa
•   
• Determinantes
• 3.1 Definición
• 3.2 Propiedades
• 3.3 Determinantes e inversas
• 3.4 Regla de Cramer
• 3.5 Determinantes y matrices por bloques
• 3.6 Interpretación geométrica
•  

5
Temario

•  
• Matemáticas I
•  
• Programa
•  
• Espacios vectoriales
• Elementos de álgebra abstracta
• Grupos
• Todo sobre homomorfismos
• Anillos
• Campos
• 4.1 Espacios vectoriales
• 4.2 Subespacios vectoriales
• 4.3 Combinaciones lineales
• 4.4 Dependencia e independencia lineal
• 4.5 Base y dimensión
• 4.6 Kernel, imagen, espacio columna y espacio
  fila de una matriz
• 4.7 Ecuaciones lineales y espacios vectoriales
• 4.8 Cambio de base

6
Temario

•  
• Matemáticas I
•  
• Programa
•  
• Espacios vectoriales con producto interno
• 5.1 Producto interno
• 5.2 Desigualdad de Cauchy-Schwarz
• 5.3 Ortogonalidad
• 5.4 Procedimiento de Gram-Schmidt
• 5.5 Espacios normados
•  

7
Temario

•  
• Matemáticas I
•  
• Programa
•   
• Transformaciones lineales
• 6.1 Definición
• 6.2 Propiedades
• 6.3 Kernel e imagen de una transformación lineal
• 6.4 Representación matricial de una
  transformación lineal
• 6.5 Isomorfismos
• 6.6 Operaciones con transformaciones lineales
• 6.7 Algebra de transformaciones lineales
•  

8
Temario

•  
• Matemáticas I
•  
• Programa
• Valores propios y vectores propios
• 7.1 Definición y propiedades
• 7.2 Teorema de Cayley-Hamilton
• 7.3 Diagonalización de matrices
•  

9
Temario

•  
• Matemáticas I
•  
• Programa
•  
• Formas canónicas
• 8.1 Forma canónica de Jordan
• 8.2 Forma canónica racional
•  
• Descomposición en valores singulares
•  
• Pseudoinversa
•  
• Funciones de matrices
•  
• Matrices definidas positivas

10
Temario

•  
• Matemáticas I
•  
• Bibliografía
•  
•  
•         B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear
  algebra, Prentice Hall.
•         S. Grossman, Linear algebra, McGraw
  Hill.
•         F.R. Gantmacher, Matrix Theory,
  Chelsea Publishing Co.
•         G. Strang, Linear algebra and its
  applications, Harcourt Brace Jovanovich
  Publishers.
•         S. Lipschutz, Algebra lineal, McGraw
  Hill.
•  
•  
•  

11
Meta y objetivo

• Uso indiscriminado del álgebra lineal en el modo
  de pensar del ingeniero

12
1. Algebra de Matrices

• 1.1 Matrices
• 1.2 Matrices especiales
• 1.3 Operaciones con matrices
• 1.4 Matrices por bloques

13
(No Transcript)
14
(No Transcript)
15
(No Transcript)
16
(No Transcript)
17
(No Transcript)
18
(No Transcript)
19
Matrices por bloques
20
Matrices por bloques
21
En este momento

• Ya sabemos operar con matrices

22
2. Sistemas de Ecuaciones

• 2.1 Algoritmo de Gauss
• 2.2 Algoritmo de Gauss-Jordan
• 2.3 Existencia de soluciones
• 2.4 Operaciones elementales por filas y matrices
  elementales
• 2.5 Factorización LU
• 2.6 Geometría de ecuaciones lineales

23
Sistema de ecuaciones lineales
a11x1a12x2...a1nxnb1 . . . an1x1an2x2...ann
xnbn
24
Sistema de ecuaciones lineales
2x13x22 x1x23
x22/3-(2/3)x1 x23-x1
3-x12/3-(2/3)x1
3-2/3 x1-(2/3)x1
2.3330.333x1
x17
x2-4
25
Sistema de ecuaciones lineales
2x13x22 x1x23
x22/3-(2/3)x1 x23-x1
(7,-4)
26
Algoritmo de Gauss
2x13x22 x1x23

27
Algoritmo de Gauss





28
Algoritmo de Gauss



Inversa
Original
29
Notas
Si el sistema tiene soluciones ? Consistente Si
el sistema no tiene soluciones ?
Inconsistente Cada ecuación es la ecuación de una
recta. Si todas las rectas se intersectan en al
menos un punto, el sistema es consistente, caso
contrario es inconsistente Operaciones
elementales ? multiplicar un renglón por una
constante diferente de cero intercambiar
renglones sumar un múltiplo de un renglón a otro
renglón Definición. Se dice que una matriz de nn
es una matriz elemental si es posible obtenerla a
partir de la matriz identidad In de nn mediante
una sola operación elemental en los renglones
30
Notas
En el método de Gauss sólo se utilizaron matrices
elementales
31
Inversa de una matriz


Si se tiene la inversa ...
32
Inversa de una matriz
La inversa de una matriz cuadrada A se define
como la matriz B que ABBAI y se denota como
A-1 Teorema. Si B Y C son invesras de A,
entonces BC Demo. BAI ? (BA)CIC ?
(BA)CB(AC)BIBC
33
Inversa de una matriz

• Teorema. Si A y B tienen inversa y son del mismo
  tamaño, entonces
• AB tiene inversa
• (AB)-1B-1A-1
• Demo
• Demostrar que (AB)(B-1A-1)(B-1A-1)(AB)I
• (AB)(B-1A-1)A(BB-1)A-1AIA-1I
• (B-1A-1)(AB)B-1(AA-1)BI

34
Inversa de una matriz
Notar que una matriz elemental tiene inversa.
Esto es cierto ya que es una operación elemental
por la matriz identidad. Definición. Si
AE1E2...EnB con Ei elementales, entonces A es
equivalente a B por renglones Teorema. Si A es
una matriz cuadrada, entonces las siguientes
afirmaciones son ciertas a) A tiene inversa b)
AX0 únicamente tiene la solución trivial c) A es
equivalente por renglones a I
35
Inversa de una matriz
Demo a) ? b) Si A tiene inversa ? AX0 ?
A-1AXA-100 ? X0 es la única solución b)? c)
AX0, donde la única solución es X0 ? se puede
llevar por Gauss a la forma IX0, pero para
llevar a esta forma se tienen que utilizar
matrices elementales, i.e. ? EnEn-1...E1AI,
como las Ei tienen inversa, entonces E1-1E2-1...En
-1IA c) ? a) Como A es quivalente a I, entonces
E1-1E2-1...En-1IA, y por tanto A-1 EnEn-1...E1I
36
En este momento

• Ya resolvemos sistemas de ecuaciones y conocemos
  cosas de la inversa.

37
3. Determinantes

• Determinantes
• 3.1 Definición
• 3.2 Propiedades
• 3.3 Determinantes e inversas
• 3.4 Regla de Cramer
• 3.5 Determinantes y matrices por bloques
• 3.6 Interpretación geométrica
•  

38
Permutaciones

• Conjunto n1,2,...,n, el conjunto de las
  permutaciones de n es Sn.
• Una permutación ??Sn se escribe como

39
Composición
?
?
? ?
? ?
40
Inversas
?
? -1
? -1
41
Transposición
?
Todos permanecen iguales, excepto dos que se
intercambiaron
42
Ciclos
(1 4) (2 6 5 3)
?
?(1)4, ?(4)1 -- ?(2)6, ?(6)5, ?(5)3, ?(3)2
Toda permutación se puede escribir como el
producto de ciclos
43
Ciclos
Chequen lo siguiente. Todo ciclo se puede
escribir como un producto de transposiciones ejem
plo (4 5 3 2 1)(2 1)(3 1)(5 1)(4 1) No es
única, pero todas las representaciones son pares
o impares en el número de transposiciones ? una
permutación es par o impar. Definición. El signo
de una permutación es () 1 si es par (-1) si es
impar
44
Determinante
Aaij de nn, el determinante de A se define
como Det(A)
a1?(1)a2?(2)...an?(n)
45
Determinante
Ejemplo. Sea A una matriz de 33, entonces S3
tiene 6 elementos (3!)
Las permutaciones de arriba son pares, las de
abajo impares.
Det(A)a11a22a33a12a23a31a13a21a32-a12a21a33-a13
a22a31-a11a23a32
46
Propiedades
47
En este momento

• Entendemos lo que es el determinante

48
4. Espacios vectoriales
49
Espacios vectoriales

• Elementos de álgebra abstracta
• Grupos
• Todo sobre homomorfismos
• Anillos
• Campos

50
Algebra abstracta

• Grupo G(S,)
• S? Conjunto de elementos
• ? Operación binaria
• abc, a,b,c ? S
• Existe e ? S, ? aeeaa
• Existe a-1 ? S ? a-1ae

51
Es grupo?

• Los naturales con , ?
• Z4, ?, Z4, ?
• Los reales con , ?
• Los racionales con , ?

52
Homomorfismos

• Dos grupos (S1,), (S2,)
• HS1?S2
• H(ab)H(a)H(b)
• H(e1e1)H(e1)H(e1)
• H(e1) e2 H(e1) ?
• H(e1)H(e1)-1 e2 H(e1) H(e1)-1e2
• H(e1) e2

53
Propiedad

• H(x-1)H(x)-1
• H(x) H(x-1)H(xx-1)H(e1)e2
• ? H(x-1)H(x)-1

54
Imagen

• Im(H)yH(a)y, a?S1
• ? Son elementos de S2

55
Kernel

• Ker(H)xH(x)e1
• ? son elementos de S1

56
El kernel es una medida de la inyectividad de la
función

• Suponer que H(x)H(y) ?
• H(x)H(y)-1e2 ?
• H(xy-1)e2
• ? si y-1?x-1
• ? hay más de un elemento en el kernel de H y por
  lo tanto no es inyectiva H.

57
La imagen es grupo

• Sean a,b ? Im(H). ?
• abH(x)H(y)H(xy) ? ab también está en la
  imagen de H.
• H(e1)e2 ? la identidad está en la imagen
• Si a está en Im(H) ? H(x)a ? H(x-1) es el
  inverso de a.

58
El kernel es grupo

• Sean a,b ? Ker(H). ?
• abH(a)H(b)e2e2 ? H(ab)e2
• ab también está en el kernel de H.
• H(e1)e2 ? la identidad está en el kernel
• Si a está en Ker(H) ? H(a)e2 ?
• H(aa-1)H(a)H(a-1)e2e2 a-1 está en el kernel

59
Subgrupos

• Si G(S,) es un grupo, entonces H(R,) es un
  subgrupo de G ssi
• H(R,) tiene las características de un grupo.
• R es un subconjunto de S

60
Coconjuntos

• Si H(R,) es un subgrupo de G entonces para todo
  a elemento de G, el conjunto aH es llamado el
  coconjunto izquierdo de a debido a H.

61
Coconjuntos

• El conjunto de todos los coconjuntos de un grupo
  G debido a un grupo H es llamado el grupo
  cociente G/H debido a que tiene las propiedades
  de un grupo
• Cada coconjunto de G/H es denotado como a (el
  elemento que le dió origen, H está fijo)

62
Coconjuntos

• Lo primero que hay que notar es que se puede
  establecer la siguiente relación de equivalencia
• ab ssi a-1b pertenece a H
• aa ? a está en aH,
• a-1ae, como en H está la identidad, entonces en
  aH está a

63
Coconjuntos

• Si ab entonces ba
• a-1b está en H
• ? (a-1b)-1 está en H
• ? b-1a está en H
• Además b está en aH
• a-1b está en H y e está en H y a está en aH
• a-1bh ?aa-1bah ? bah, i.e. es un elemento
  de aH

64
Coconjuntos

• Si ab y bc entonces ac ? a está en H
• a-1b, b-1c?H ? a-1c ? H
• Además c está en aH,
• Claro

65
Coconjuntos

• Como vemos, la relación anterior particiona el
  conjunto S del grupo G(S,).
• A su vez, cada partición es igual a un coconjunto
  de G/H, entonces los coconjuntos particionan a
  G/H
• si b ?aH? existe x ? H, tal que axb ?aH
• a-1axa-1bx ? H

66
Recordatorio

• TEOREMA. Sea L una partición del conjunto X.
  Defínase xRy si x, y?S para algún S ? L. Entonces
  R es reflexiva, simétrica y transitiva.

67
Recordatorio

• Demo.
• Sea x ? X. Como X ?L, x ? S para algún S ? L.
  Entonces xRx y R es reflexiva.
• Sup. xRy. Entonces x e y pertenecen a un S ? L.
  Como y y x pertenecen a S, yRx ? R es simétrica.
• Sup. xRy e yRx entonces x, y ? S ? L.
• y, z ? T ? L.
• Si S ? T ? y?S ? z?T pero L es disjunta por
  
• pares ? no es posible entonces S T ? x y z
  ? S
• ? xRz R es transitiva.

68
Recordatorio

• ? TEOREMA. Sea R una relación de equivalencia
  sobre un conjunto X. Para cada a ? X, sea
• a x ? X?xRa entonces
• L a ?a ? X es una partición de X
• Demo
• Para verificar que L es una partición de X
• i) X ?L
• ii) L es una familia disjunta por pares

69
Recordatorio

• Sea a ? X como aRa ? a ? a entonces X L
• gt Dem que si aRb ? a b
• - Sup aRb. Sea x ? a, entonces xRa. Como aRb y
  R es transitiva xRb. ? x ? b y a ? b.
• - Sup bRa. Sea x ? b, entonces xRb. Como bRa y
  R es transitiva, xRa. ? x ? a y b ? a
• gt Sup a, b ? L con a ? b. Probar a ?
  b ?.
• - Sup para algún x, x ? a ? b, entonces xRa
  y xRb, entonces xa y xb
  consecuentemente a b contradicción ? a
  ? b ? y L es disjunta por pares.

70
Grupos

• En el grupo G/H el elemento e funciona como la
  identidad.
• eaaea ? al menos el elemento ea
  está en la suma, pero este elemento está en a
• El inverso de a es a-1, al sumar aa-1 se
  genera el elemento e y por tanto e
• Además es cerrado

71
Sean X y Y dos conjuntos cualesquiera. Sea AX?Y
una función cualquiera. Entonces se puede definir
la relación Ker A de la siguiente forma x1x2
ssi A(x1)A(x2) Note que la relación Ker A es una
relación de equivalencia. Como es una relación de
equivalencia, entonces diremos que x1?x2 (mod Ker
A) x1 es equivalente a x2 módulo Ker A- -También
se dice que x1 es congruente a x2 vía Ker A o que
la relación Ker A es una congruencia-
72
Significado geométrico de esta relación
X
Y
clusters
y1
x1
x2
x3
y2
x4
y3
x5
y4
x6
Imagen de A
Observe que hay tantos clusters como imágenes de A
Podemos hacer el conjunto de los clusters
73
Significado geométrico de esta relación
clusters
A este conjunto lo llamaremos X/Ker A, o conjunto
cociente X/Ker A
c1x1, x2, x3
c2x4
c3x5, x6
(A menudo yo le llamo conjunto de clustercillos)
74
Significado geométrico de esta relación
X/Ker A
Noten que la relación Ker A está dando una medida
de la inyectividad de A. Si el número de clusters
es igual al número de elementos en X, entonces A
es inyectiva.
c1x1, x2, x3
c2x4
c3x5, x6
A los clusters se les llama coconjuntos (cosets)
y son justamente los subconjuntos de X sobre los
cuales A tiene diferente valor. También se les
suele llamar las fibras de A.
75
Significado geométrico de esta relación
Ejem. A(x)x módulo 4 -es el residuo de la
división, no la congruencia
X
1 5 9
3 7
Aquí está A
0 4 8
2 6
Y
X/Ker A
c21 5 9
1
3
0
c10 4 8
c43 7
c32 6
2
Como X/Ker A y la imagen de A tienen la misma
cantidad de elementos, entoces hay un isomorfismo
entre X/Ker A y Im(A) X/Ker A?Im(A)
76
Significado geométrico de esta relación
Proposición. Sea AX?Y y sea PAX?X/Ker A su
proyección canónica, entonces ?gX/ker A?im(A)
tal que Ag?PA, donde g es una biyección.
X
1 5 9
3 7
Aquí está A
0 4 8
2 6
PA
Y
X/Ker A
c21 5 9
1
3
0
c10 4 8
c43 7
c32 6
2
77
Demostración

• Definir g(z)A(x) ssi zPA(x). Se afirma que g(z)
  es función
• Cubre todo X. Como A es función, entonces a cubre
  todo X, y por la definición anterior, g también
  cubrirá todo X
• Un valor de X/Ker A no está asociado a dos
  valores de Y. Suponer que si es así, (z,y1),
  (z,y2)?g.
• Entonces y1?y2. Por la definición de g se tiene
• z PA(x1), y1A(x1) y además
• z PA(x2), y2A(x2)
• Como PA(x1), PA(x2) implica que A(x1) A(x2)
• Entonces y1y2, una contradicción, entonces
• Un valor de X/Ker A no está asociado a dos
  valores de Y
• Por tanto g(z) si es función.

78
Demostración

• Ahora veremos que g es una biyección.
• g es inyectiva. Suponer que no es así, i.e.
  (z,y),(z,y)?g
• Entonces z?z
• Entonces zPA(x) y zPA(x)
• Además A(x)A(x)y.
• Como tienen la misma y, entonces PA(x)PA(x),
  una contradicción. Por tanto es inyectiva.
• g es sobre. Como gX/Ker A?Im(A), sólo abarca las
  imágenes de A. Por definición de g, cualquier
  imagen de A tiene una preimagen en X/Ker A. Por
  lo tanto g es sobre.
• Como es inyectiva y sobre, es una biyección.

79
Demostración

• Por definición AgoPA

80
Significado geométrico de esta relación
,... Y ahora
Definición. Se dice que una relación R1 refina
(es más fina) a R2 y se escribe R1?R2 si (x,y)?R1
entonces (x,y)?R2. En otras palabras, todo
coconjunto de R1 es un subconjunto de algún
coconjunto de R2.
1 5 9
1 5 9
3 7
3 7
0 4 8
0 4 8
2 6
2 6
81
Significado geométrico de esta relación

• Ahora se generalizarán estos conceptos
• Proposición. Sea fX?Y y sea ? una partición del
  conjunto X,
• donde Ker f ??. Entonces existe un único mapa
  gX/??Y tal
• que fg?P?.
• En pocas palabras, dice que si existe una
  partición más fina que
• la que deja la función, entonces es posible
  recuperar la informa-
• ción de la función vía la partición más fina (que
  en este caso se
• llama ?).

82
Significado geométrico de esta relación
X
1 5 9
Aquí está f
0 4 8
3 7
2 6
Y
Aquí está Ker f (son los círculos que forman las
clases de equivalencia)
1
0
83
Significado geométrico de esta relación
X
1 5 9
Aquí está f
0 4 8
3 7
2 6
Y
Aquí está ? (son los rectángulos que forman las
clases de equivalencia), Se puede ver que Ker f ??
1
0
84
Significado geométrico de esta relación
X
1 5 9
Aquí está f
0 4 8
3 7
Aquí está Pf
2 6
Y
e10 2 4 6 8
e21 3 5 7 9
1
0
85
Significado geométrico de esta relación
X
1 5 9
Aquí está f
0 4 8
3 7
Aquí está Pf
2 6
Y
e10 2 4 6 8
e21 3 5 7 9
1
0
e21 5 9
Aquí está P?
e10 4 8
e43 7
e32 6
86
Significado geométrico de esta relación
X
1 5 9
Aquí está f
0 4 8
3 7
Aquí está Pf
2 6
Y
e10 2 4 6 8
e21 3 5 7 9
1
0
e21 5 9
Aquí está P?
e10 4 8
e43 7
Aquí está g
e32 6
87
Demostración
Significado geométrico de esta relación

• Definir g(z)f(x) ssi zP?(x). Además para cada
  zkxixi?Ai?? existe una clase
  xixif(xi)y donde zk?xi
• como Ker f??, entonces xi puede ser
  particionado en z1,...,zn
• g es una función.
• Como zk pertenece a algún xi, entonces este
  g(zk) será igual a f(xi), o sea todo elemento de
  X/? será asociado con un valor en Y. X/? está
  cubierto.
• Si (zk,yi), (zk,yj)?g, implica que zk?xi y
  zk?xj, pero por 2) esto no es cierto, por lo
  tanto cada zk se asocia con uno y sólo un valor
  de Y.

88
Demostración
Significado geométrico de esta relación

• Por la definición de g, se tiene que f(x)g
  ?P?(x)
• Suponer que existe g(z) tal que fg?P?
• Sea x?X g(P?(x)) f(x) g(P?(x)) entonces gg.

89
Significado geométrico de esta relación

• Proposición. Sea fX?Y y gX?Z y sea Ker f?Ker g.
  Entonces
• existe un mapa hZ?Y tal que fh?g. Más aún, h
  está solamente
• definida en la imagen de g esto es la
  restricción hg(X).
• Intuitivamente dice que la imagen de g deja
  suficiente información
• para poder relacionar cada elemento de Z con uno
  y sólo uno de Y.

90
Significado geométrico de esta relación
X
1 5 9
Aquí está f
0 4 8
3 7
Y
2 6
1
0
Aquí está Pf
Hay una función isomórfica ?
e2
e1
X/Ker f
91
Significado geométrico de esta relación
X
1 5 9
Aquí está g
0 4 8
3 7
Z
2 6
1
3
0
Aquí está Pg
2
Hay una función isomórfica ?
e1
e3
e2
X/Ker g
e4
92
Significado geométrico de esta relación
X
1 5 9
0 4 8
3 7
2 6

• El Ker f? Ker g

93
Significado geométrico de esta relación
X
1 5 9
Aquí está f
Aquí está g
0 4 8
3 7
Y
Z
2 6
1
1
3
0
0
2
Aquí está h
?
?
e2
e1
e3
e1
e2
e4
X/Ker f
X/Ker g
94
Demostración
Significado geométrico de esta relación

• h(z)f(x) ssi zg(x)
• xixif(xi)y como Ker f?Ker g implica que
  xi puede ser particionado en z1,...,zn tal que
  g(xi) zi y por tanto h(zi)y. Por la definición,
  h está definida en la imagen de g.
• Como en el caso anterior h asigna a cada zi un
  único valor en Y.
• Por la definición de h se tiene que h(g(x)f(x).
  Se ve que se cumple, ya que como Ker f?Ker g, un
  x?g-1(zi)? x?f-1(y)

95
Demostración
Significado geométrico de esta relación

• Suponer que existe h(z) tal que fh?g
• Sea x?X h(g(x)) f(x) h(g(x)) entonces hh.

96
Significado geométrico de esta relación

• Proposición. Si ?,? son dos particiones tal que
  ???, entonces existe una única función fX/??X/?
  tal que P?f?P?.

97
Significado geométrico de esta relación
X
1 5 9
0 4 8
3 7
2 6
X
X
1 5 9
1 5 9
0 4 8
0 4 8
3 7
3 7
2 6
2 6
La partición ?
La partición ?
98
Significado geométrico de esta relación
X
1 5 9
0 4 8
3 7
2 6
Aquí está P?
Aquí está P?
X/?
X/?
e2
e2
e1
e1
e4
e3
99
Significado geométrico de esta relación
X
1 5 9
0 4 8
3 7
2 6
Aquí está P?
Aquí está P?
X/?
X/?
e2
e2
e1
e1
e4
e3
Aquí está f
100
Congruencias de sistemas dinámicos

• Un sistema dinámico sobre un conjunto X es un
  mapa ?X?X con la siguiente interpretación. Los
  elementos x?X son llamados estados y ? es llamada
  función de transición de estados.
• ?k es la k-ésima composición de ?s

101
Congruencias de sistemas dinámicos

• Sea ? una partición de X con proyección canónica
  P ? X?X/ ? . ? es una congruencia para ? si
  existe un mapa ? X/ ? ?X/ ? tal que
• ? ? P ? P ? ? ?

?
X
X
P ?
P ?
?
X/Ker ?
X/Ker ?
102
Congruencias de sistemas dinámicos

• Recordando resultados previos
• ? es una congruencia de ? ssi
• Ker P ?? Ker (P ? ? ? )

X
X
?
P ?
P ?
?
X/Ker ?
X/Ker ?
103
Anillos

• Un anillo R(S,,) es un conjunto con dos
  operaciones binarias.
• (S,) es un grupo conmutativo (grupo abeliano)
• (S,) es un semigrupo (se le pide cerrado, pero
  no unidad ni inversas)

104
Anillos

• En un anillo se deben cumplir las propiedades
  distributivas
• a(ba)abac
• (bc)abaca

105
Anillos

• En un anillo elemento identidad de (S,) será
  denotado como 0.
• Si (S,) forma un grupo para sus elementos no 0,
  es llamado anillo de división.

106
Anillos

• Un anillo de división, (S,) si es conmutativo
  será llamado Campo

107
Anillos

• Por ser anillo se tiene
• a00a0
• a0a(00)a0a0
• a0(-(a0))a0?0a0
• a(-b)-(ab)(-a)b
• 0a0a(b(-b))aba(-b)
• -aba(-b)
• a(b-c)ab-ac
• a(b-c)a(b(-c))aba(-c)ab-ac

108
Espacios vectoriales

• Espacios vectoriales
• Subespacios vectoriales
• Combinaciones lineales
• Dependencia e independencia lineal
• Base y dimensión

109
Espacios vectoriales

• Un espacio vectorial E(V,F)
• Es un conjunto de elementos llamados vectores
  sobre un campo F donde
• xyyx y pertenece a V
• x(yz)(xy)z
• Existe el vector 0, tal que 0xx0x
• Para cada vector x existe el x, tal que x-x0

110
Espacios vectoriales

• Cada elemento dol campo es llamado un escalar
• µ(xy) µxµy
• µx xµ
• (µ1 µ2)x µ1(x) µ2(y)
• 1xx ? 1 la unidad multiplicativa del campo

111
Espacios vectoriales

• ejemplos

112
Espacios vectoriales

• Teorema
• 0vv00
• 0v0v0v-0v(00)v-0v0v-0v0
• (-1)v-v
• v(-1)v1v(-1)v(1-1)v0v0
• Agregando v a ambos lados se tiene el resultado

113
Subespacio

• Sea (V,F) un espacio, entonces (S,F) es un
  subespacio de (V,F) si preserva todas las
  características de espacio y S es un subconjunto
  de V

114
Subespacio

• ejemplos

115
Creación de espacios

• Teorema.
• Espacio vectorial (V,F)
• S subconjunto de V
• Si v1,vn están en S, entonces también
  ?1v1?nvn, donde ?i son elementos del campo
• (S,F) es un subespacio
• Demo en clase por los alumnos

116
Creación de espacios

• Preguntas importantes
• En qué condiciones dos conjuntos S1, S2 crean el
  mismo espacio vectorial?
• Cúal es la cardinalidad mínima de Q?S tal que Q
  y S crean el mismo espacio vectorial?
• Cúando S crea el mismo espacio que contiene a
  los vectores de S?

117
Dependencia e independencia lineal

• Definición. Sea Sv1,v2,...vn un conjunto de
  vectores. El vector y?1v1?2v2...?nvn donde
  los coeficientes son escalares será llamada
  combinación lineal de S.

118
Dependencia e independencia lineal

• Definición. Sea Sv1,v2,...vn un conjunto de
  vectores. S es linealmente independiente si
  ?1v1?2v2...?nvn0 tiene como única solución la
  trivial. De lo contrario se llamarán linealmente
  dependientes.

119
Dependencia e independencia lineal

• Definición. Sea Sv1,v2,...vn un conjunto de
  vectores. Si S es linealmente independiente,
  entonces el espacio creado por S será llamado
  espacio generado por S.

120
Dependencia e independencia lineal

• Sea Sv1,v2,...vn un conjunto de vectores. Para
  mostrar si es linealmente independiente se
  resuelve la ecuación
• v1 v2 ... vn 0

121
Dependencia e independencia lineal

• Entonces ya podemos aplicar Gauss para resolver
  el sistema y ver su solución
• Si la matriz v1 ...vn es de rango n entonces
  tiene solución única
• Si la matriz v1 ... vn es de rango menor a n,
  entonces tiene más de una solución.

122
Dependencia e independencia lineal

• Ejemplos en clase

123
Bases, Dimensión y coordenadas

• Definición. Sea (V,F) un espacio vectorial,
  entonces el conjunto Sv1, v2, ...vn será una
  base para (V,F) si S genera (V,F).
• S es linealmente independiente
• S genera (V,F)

124
Bases, Dimensión y coordenadas

• ejemplos de bases en diferentes espacios

125
Bases, Dimensión y coordenadas

• Notita. Si z es una C.L. (combinación lineal) de
  los vectores x1,...,xr y xi es una C.L. de los
  vectores y1,...,ys. Entonces z es una C.L. de los
  vectores y1,...,ys.
• za1x1...arxr
• za1(b11y1...b1sys)...ar(br1y1...brsys)
• Es una propiedad de transitividad

126
Bases, Dimensión y coordenadas

• Notita. Si algunos vectores x1,...,xn son
  linealmente dependientes (L.D.) entonces todo el
  sistema x1,...,xn son L.D.
• Suponer que x1,...,xk (kltn) son L.D. ?
  a1x1...akxk0 con ai diferente de nulo. ?
  a1x1...akxk0xk1...0xn0 es solución y el
  sistema es L.D.

127
Bases, Dimensión y coordenadas
Coordenadas

• La base Bv1, ..., vn es un conjunto, pero
  tiene un orden para facilitar trabajos futuros.
• Representación. Un vector v se puede reescribir
  en términos de una base.
• v?1v1?2v2...?nvn, a donde

Es la representación del vector
128
Bases, Dimensión y coordenadas

• Ejemplos de representación de vectores

129
Bases, Dimensión y coordenadas

• Teorema. La representación del vector es única
• v?1v1?2v2...?nvn ?1v1?2v2...?nvn?
• (?1-?1)v1... (?n-?n)vn0
• ? base ? L.I. entonces la única solución es cero?
  (?i-?i)0 ? ?i?i

130
Bases, Dimensión y coordenadas

• Notita. El teorema anterior es cierto si dice que
  za1x1...akxk los ai son únicos ssi los xi son
  L.I.

131
Bases, Dimensión y coordenadas

• Definición. Sea (V,F) un espacio vectorial. Dos
  subespacios de (V,F) (V1,F) y (V2,F) se dicen
  equivalentes si los vectores de uno se pueden
  escribir como C.L. del otro y viceversa.

132
Bases, Dimensión y coordenadas

• Teorema. Suponer que Bv1, ...,vp es una base
  para (V,F) y suponer que Du1,...,uq es un
  subconjunto L.I. en (V,F), entonces q?p
• Demostración.
• Como B es una base, entonces ui?D,(V,F) se puede
  expresar como una C.L. de B ?

133
Bases, Dimensión y coordenadas

• S1u1,e1,...,ep es L.I. ? Existe un vector que
  es C.L. de los anteriores, digamos que es ei.
• Por transitividad el resto u2,...,uq es una
  C.L. de S1-ei y se puede aplicar el mismo
  procedimiento
• Como se observa el procedimiento no puede
  eliminar todos los vp vectores antes de que los
  ui vectores se hayan agotado y q?p.

134
Bases, Dimensión y coordenadas

• Teorema. Número de vectores en la base. Suponer
  que para un espacio (V,F) se tiene una base con p
  vectores. Entonces todas las bases tienen p
  vectores.
• Demo. Aplicar teorema anterior suponiendo que se
  tiene otra base con q vectores. ? q?p. Aplicar
  partiendo de la base con q vectores ? p?q ? qp.

135
Bases, Dimensión y coordenadas

• Definición. Al número de vectores en la base de
  un espacio (V,F) se le llama dimensión de (V,F).
• En especial, todos los subespacios equivalentes
  también tienen un conjunto de vectores que lo
  generan (ya que son un espacio en sí) y se tiene
  una base y por tanto también tienen su dimensión.
  En tal caso es más adecuado hablar de rango que
  de dimensión, ya que podemos hablar de un
  subespacio en R3, pero de rango 2.
• A su vez, a la dimensión del espacio completo se
  le puede llamar rango, pero es mejor hablar de
  dimensión.

136
Bases, Dimensión y coordenadas

• El espacio Rn tiene timensión n.
• Si la dimensión de un espacio es p ? cualquier
  conjunto con s vectores sgtp es L.D.
• En efecto, la base tiene p vectores y el resto
  será una C.L. de la base.

137
Bases, Dimensión y coordenadas

• Teorema. Un espacio tiene dimensión finita k ssi
  k es el maximo número de vectores que se pueden
  obtener en el espacio.
• Demo. Si la dimensión es k? la base tiene k
  vectores ? son L.I. y cualquier otro es una C.L.
  de la base (ya no es L.I.).
• Si el máximo número de vectores L.I. es k ? estos
  generan todo el espacio y por tanto es una base ?
  k es la dimensión.

138
Bases, Dimensión y coordenadas

• Ok, regresemos a la representación de vectores

B1
4 4
139
Bases, Dimensión y coordenadas

• El mismo vector en otra base

B2
4 0
140
Bases, Dimensión y coordenadas

• Si el mismo vector se puede representar en
  diferentes bases, se podrá transformar de una en
  otra?

141
Bases, Dimensión y coordenadas
-1

Matriz de cambio de base de B1 a B2
142
Bases, Dimensión y coordenadas

• El concepto fácilmente se puede generalizar a
  cualquier par de bases
• Lo que es más chido...
• (Px2,R) una posible base es B1, x, x2
• v11 ? en la base

143
Bases, Dimensión y coordenadas

• v2x ? en la base
• v3x2

144
Bases, Dimensión y coordenadas

• v41-x
• v53x
• v6-22xx2
• v723x7x2
• Son L.I.?
• ? Todo cambia a matrices!!!

145
Espacios vectoriales

• Kernel, imagen, espacio columna y espacio fila
  de una matriz
• Ecuaciones lineales y espacios vectoriales
• Cambio de base
• Espacio cociente
• Sumas y sumas directas

146
Pausa Cosas de una Matriz

• Kernel.
• Todos los x tales que Ax0
• KernelxAx0
• Se puede hablar de dos kerneles, el izquierdo y
  el derecho
• KerIyyTA0
• KerDxAx0

147
Pausa Cosas de una Matriz

• Imagen
• Todos los y que son obtenidos de A multiplicado
  por un vector
• ImagenyAxy

148
Pausa Cosas de una Matriz

• Teorema (operaciones columna y dependencia
  lineal). Suponer que una secuencia de operaciones
  elementales por renglón transforma la matriz A en
  la matriz B, entonces
• Una colección de columnas de A es linealmente
  dependiente (independiente) ssi la collección
  correspondiente de columnas de B es linealmente
  dependiente (independiente).
• Una matriz renglón puede ser escrita como una
  combinación lineal de (esto es linealmente
  dependiendte de) todos los renglones de A ssi
  puede ser escrita como una combinación lineal de
  todos los renglones de B.

149
Pausa Cosas de una Matriz

• Demostración caso 1.-
• Sea FE1E2...En la secuencia de matrices
  elementales que realizan las operaciones
  elementales que transforman a A en B.
• ? F tiene inversano singular
• ? FAB
• ?Fx0 ? x0 (solución única)
• Si las columnas de A son L.D. entonces
• ? ?1a1?2a2...?nanA?
• ?FA? B?
• ? Si A es LD hay muchas combinaciones ?

150
Pausa Cosas de una Matriz

• que dan cero ? esas mismas combinaciones en B dan
  cero y sus columnas son LI.
• Si A tiene una sola combinación que da cero,
  entonces en B será la única posibilidad de dar
  cero, ya que sólo es este caso FA?0
• Apliquemos esto a cualquier colección de
  columnas de A y se tendrá la demostración de la
  primera parte.
• Demostración caso 2.-
• Un matriz renglón y es una CL de los renglones de
  A ssi yxA para alguan matriz renglón x, pero
  yxF-1FAxB, para xxF-1

151
Pausa Cosas de una Matriz

• como FAB y yxB ssi y es una CL de los
  renglones de B.

152
Pausa Cosas de una Matriz

• Veamos más a fondo el método de Gauss

153
Pausa Cosas de una Matriz

• Veamos más a fondo el método de Gauss

154
Pausa Cosas de una Matriz

• Veamos más a fondo el método de Gauss

155
Pausa Cosas de una Matriz
Columnas dominantes
Forma de Gauss
Matriz
156
Pausa Cosas de una Matriz
Columnas dominantes
Forma de Gauss
Matriz
157
Pausa Cosas de una Matriz
Columnas dominantes
Forma de Gauss
Matriz
158
Matrices

• Por intercambio de renglones hacer que el
  elemento (1,1) sea diferente de cero.
• Si no es posible es porque toda la columna 1 es
  igual a cero, tacharla y tratar de hacer lo mismo
  para la submatriz generada
• El proceso se repite hasta tener un elemento
  diferente de cero.

159
Matrices

• Todo el renglón se divide entre el elemento
  diferente de cero y se procede a hacer cero el
  resto de los elementos de esta columna de acuerdo
  al método de Gauss

160
Matrices

• Una vez hecho esto se tacha el renglón y se
  obtiene una nueva submatriz
• Con esta nueva submatriz se procede desde el
  punto 1)
• El resultado es la matriz en la forma de Gauss

161
Matrices

• Si se tiene un renglón diferente de cero,
  entonces a la primer columna diferente de cero se
  le llamará dominante o líder.

162
Pausa Cosas de una Matriz

• Teorema (matrices reducidas y dependencias)
  Suponer que G es una matriz en la forma de Gauss
  y de rango k
• a) El conjunto de las k columnas líderes es
  linealmente independiente
• b) Cualquier columna a la izquierda de la primera
  columna líder es una columna cero. Cualquier
  columna a la izquierda de la i-ésima columna
  líder es combinación lineal de las anteriores
  columnas líderes.

163
Pausa Cosas de una Matriz

• Definición.- Sea A una matriz de pq
• a) El espacio columna de A es el subespacio que
  es generado por el conjunto de columnas de A
• b) El espacio renglón de A es el subespacio
  generado por los renglones de A.

164
Pausa Cosas de una Matriz

• Poner ejemplos
• Dar las condiciones para que el sistema tenga
  solución.
• Axb

165
Pausa Cosas de una Matriz

• Teorema. Sea una matriz A de rango k. Entonces
• a) El espacio columna de A tiene diemnsión k. Una
  base son las columnas líderes.
• b) El espacio renglón es de dimensión k, una base
  son los renglones diferentes de cero.
• c) Una matriz pp es no singular si sus columnas
  son LI ? rango p
• d) Una matriz pp es no singular si sus renglones
  son LI ? rango p

166
Matrices

• Corolario
• Rango por columnas rango por filas
• Teorema (espacios renglón iguales). Sea A1 y A2
  matrices de tamaño rq y sq respectivamente. El
  espacio renglón de A1 es igual al espacio
  rengloón de A2 ssi los renglones no cero de las
  matrices de Gauss coinciden.

167
El maldito Kernel otra vez

• Definición Sea fX?Y una función de X a Y. Con f
  se asocia una relación de equivalencia llamada
  equivalencia kernel de f y se denota por Ker f y
  está definida como sigue
• ?x1,x2?X, x1x2 ssi f(x1)f(x2)
• (mostrar que sí es una relación de equivalencia y
  por tanto particiona a X)

168
Por qué se le llama equivalencia kernel

• Sucede que en el caso de homomorfismos si
  f(x1)f(x2) ? f(x1)-f(x2)0 ? f(x1-x2)0, i.e.
  x1-x2 está en el kernel de f.
• Claramente una matriz A puede ser considereda
  como una función (y aún más, un homomerfismo,
  chequen en clase esto y verán que si la hace).
  Entonces el kernel que definimos de A es
  consistente con el kernel en homomerfismos y
  sucede que

169
Por qué se le llama equivalencia kernel

• El kernel de A es un subespacio
• La imagen de A es un subespacio
• Ya qué no saben qué, A/ker A es un espacio y se
  le llama espacio cociente.

170
Entendamos bien esto, que está demasiado fácil,
salvo la primera vez

• Encontrar Kernel, imagen (range, no rank), A/Ker
  A de la siguiente matriz A.

171
Sistemas Lineales IIIControl Geométrico-1.8
Sean X y Y dos conjuntos cualesquiera. Sea AX?Y
una función cualquiera. Entonces se puede definir
la relación Ker A de la siguiente forma x1x2
ssi A(x1)A(x2) Note que la relación Ker A es una
relación de equivalencia. Como es una relación de
equivalencia, entonces diremos que x1?x2 (mod Ker
A) x1 es equivalente a x2 módulo Ker A- -También
se dice que x1 es congruente a x2 vía Ker A o que
la relación Ker A es una congruencia-
172
Significado geométrico de esta relación
X
Y
clusters
y1
x1
x2
x3
y2
x4
y3
x5
y4
x6
Imagen de A
Observe que hay tantos clusters como imágenes de A
Podemos hacer el conjunto de los clusters
173
Significado geométrico de esta relación
clusters
A este conjunto lo llamaremos X/Ker A, o conjunto
cociente X/Ker A
c1x1, x2, x3
c2x4
c3x5, x6
(A menudo yo le llamo conjunto de clustercillos)
174
Significado geométrico de esta relación
X/Ker A
Noten que la relación Ker A está dando una medida
de la inyectividad de A. Si el número de clusters
es igual al número de elementos en X, entonces A
es inyectiva.
c1x1, x2, x3
c2x4
c3x5, x6
A los clusters se les llama coconjuntos (cosets)
y son justamente los subconjuntos de X sobre los
cuales A tiene diferente valor. También se les
suele llamar las fibras de A.
175
Significado geométrico de esta relación
Ejem. A(x)x módulo 4 -es el residuo de la
división, no la congruencia
X
1 5 9
3 7
Aquí está A
0 4 8
2 6
Y
X/Ker A
c21 5 9
1
3
0
c10 4 8
c43 7
c32 6
2
Como X/Ker A y la imagen de A tienen la misma
cantidad de elementos, entoces hay un isomorfismo
entre X/Ker A y Im(A) X/Ker A?Im(A)
176
Significado geométrico de esta relación
Proposición. Sea AX?Y y sea PAX?X/Ker A su
proyección canónica, entonces ?gX/ker A?im(A)
tal que Ag?PA, donde g es un isomorfismo.
X
1 5 9
3 7
Aquí está A
0 4 8
2 6
PA
Y
X/Ker A
c21 5 9
1
3
0
c10 4 8
c43 7
c32 6
2
177
Demostración

• Definir g(z)A(x) ssi zPA(x). Se afirma que g(z)
  es función
• Cubre todo X. Como A es función, entonces a cubre
  todo X, y por la definición anterior, g también
  cubrirá todo X
• Un valor de X/Ker A no está asociado a dos
  valores de Y. Suponer que si es así, (z,y1),
  (z,y2)?g.
• Entonces y1?y2. Por la definición de g se tiene
• z PA(x1), y1A(x1) y además
• z PA(x2), y2A(x2)
• Como PA(x1), PA(x2) implica que A(x1) A(x2)
• Entonces y1y2, una contradicción, entonces
• Un valor de X/Ker A no está asociado a dos
  valores de Y
• Por tanto g(z) si es función.

178
Demostración

• Ahora veremos que g es un isomorfismo.
• g es inyectiva. Suponer que no es así, i.e.
  (z,y),(z,y)?g
• Entonces z?z
• Entonces zPA(x) y zPA(x)
• Además A(x)A(x)y.
• Como tienen la misma y, entonces PA(x)PA(x),
  una contradicción. Por tanto es inyectiva.
• g es sobre. Como gX/Ker A?Im(A), sólo abarca las
  imágenes de A. Por definición de g, cualquier
  imagen de A tiene una preimagen en X/Ker A. Por
  lo tanto g es sobre.
• Como es inyectiva y sobre, es un isomorfismo.

179
Demostración

• Por definición AgoPA

180
Significado geométrico de esta relación
Estamos en los límites...
Si los conjuntos tienen estructura matemática,
p.e. X, Y son espacios vectoriales y la función A
resulta ser un operador lineal. Ax1Ax2 es la
relación Ker A. Un caso particular es para la
imagen cero. En este caso todos los x, tales que
Ax0 formarán una clase de equivalencia. Las
demás clases de equivalencia las obtendremos al
estudiar las otras imágenes de A. Sin embargo,
este proceso puede resultar muy lento, sobre todo
porque Y tiene un número infinito de elementos.
Una forma más adecuada es estudiarlos a través de
la clase de equivalencia del 0 0.
181
Significado geométrico de esta relación
Estamos en los límites...
Por ejemplo, si queremos estudiar el caso para la
imagen y, entonces debemos encontrar todos los x
tales que Axy. x1, x2 ?x, Ax1Ax2y, entonces
A(x1-x2)0. Entonces si x1?x, se tiene que
x2?x ssi (x1-x2)?0. Como la clase 0 es un
subespacio de X De hecho si Ax0 y Ay0, entonces
A(x?y)0 y por tanto es un subespacio entonces
(x1-x2) ?span0, o (x1-x2) ?1e1?2e2...?nen S
i x1 está fijo, entonces x2 x1-?1e1-?2e2-...-?nen
.............................(1) Como con la
clase de equivalencia 0 se generan todas las
demás, a está clase la llamaremos genéricamente
Kernel de A.
182
Significado geométrico de esta relación
Estamos en los límites...
Como se observa, la ecuación (1) es un método
para calcular todas las clases de equivalencia
x2. Se puede ver que es un un espacio vectorial
(el del Kernel) desplazado por x1 (cualquier
vector de la clase). A esta clase de
equivalencia, y sólo cuando hablamos de
operadores lineales en espacios vectoriales, le
llamaremos una variedad lineal. No es un espacio,
ya que en general, el cero no está incluído en
dicha variedad, pero si será un espacio vectorial
vía módulo algún vector de la clase. Ejemplos
183
Significado geométrico de esta relación
Estamos en los límites...
A?2??2 tal que A(x yT)xy y-xT. Claramente
A es un operador lineal y un vector de la forma
k kT está en la clase de equivalencia 0 o
Kernel de A. El vector 2 1T no está en la clase
0, pero si está en la clase 2 1T. Los
vectores que pertenecen a esta clase, de acuerdo
a la ecuación (1) son X2 1T-?1 1T
184
Significado geométrico de esta relación
Estamos en los límites...
Clase 0
Clase 2 1T
185
Significado geométrico de esta relación
Estamos en los límites...
En realidad, cada clase forma una línea paralela
al Kernel de A.
186
Significado geométrico de esta relación
Si tenemos un operador lineal AV?W, entonces el
Kernel de A será un subespacio de V, y cada una
de las clases de equivalencia será una variedad
lineal paralela al Kernel de A. Más aún, el
conjunto de las clases de equivalencia se
denotará en la forma común V/Ker A y será llamado
el espacio cociente V/Ker A. Proposición. Sea un
operador lineal AV?W, entonces el conjunto V/Ker
A es un espacio vectorial. Demo. En este
espacio, el vector nulo es la clase 0. De hecho
se tiene
187
Significado geométrico de esta relación
v1v10 para cualquier v1?V. De la ecuación
(1) x2 v1-?1e1-?2e2-...-?nen se observa que esto
es cierto, ya que x2?v1. Los escalares, son
los del campo definido en V. La suma de vectores
v1v2v3 se define como x1?v1, x2?v2 y
x1x2?v3. Note que está bien definida ya que
cualquier x1?v1 y x2?v2 sirven. De hecho v1-
?10v2- ?20v1v2- ?0v3 Todas las
propiedades se pueden demostrar y resulta un
espacio vectorial
188
Significado geométrico de esta relación
,... Pero hay más cosas
Claramente, Im(A)?V/Ker A. Vimos que esto se
cumple aún en el caso que no sean espacios
vectoriales. Ahora volvamos a los
conjuntos. Vimos que si AX?Y, entonces Ker A es
una relación de equivalencia. Por la definición,
cualquier función deja una relación de
equivalencia en su dominio. Pero, además,
nosotros sabemos que una relación de equivalencia
sobre un conjunto X es equivalente a una
partición de X
189
Espacios vectoriales con producto interno
190
Espacios vectoriales con producto interno

• 5.1 Producto interno
• 5.2 Desigualdad de Cauchy-Schwarz
• 5.3 Ortogonalidad
• 5.4 Procedimiento de Gram-Schmidt
• 5.5 Espacios normados

191
Norma

• Definición.- Una norma (o norma vectorial) en
  (V,F) es una funcional que asigna a cada vector v
  un número real no negativo, llamado norma del
  vector v, y es denotado por v y satisface
• vgt0 para v?0, y 00
• ?v? v ? escalar y v vector
• uv?uv

192
Norma

• Definición.- Para vectores xx1 x2 ... xpT,
  las normas ?1, ?2, ?? son llamadas
  norma 1, norma 2 y norma infinito respectivamente
  y se definen como
• ?1x1x2...xp
• ?2(x12x22...xp2)1/2
• ??maxx1, x2, ...,xp

193
Norma

• Definición.- Sea ? una norma en (V,F). Una
  secuencia de vectores vi se dice que converje al
  vector v? ssi la secuencia de número reales
  vi-v? Para vectores xx1 x2 ... xpT, las
  normas ?1, ?2, ?? son llamadas norma
  1, norma 2 y norma infinito respectivamente y se
  definen como
• ?1x1x2...xp
• ?2(x12x22...xp2)1/2
• ??maxx1, x2, ...,xp

194
Norma

• Teorema Sean x, y dos vectores. Entonces
  xTy?x2y2
• Demostración.
• sabemos 0?x?y(xy)T(xy)x22 ?2
  y222 ? xTy
• si ?-x22/xTy, entonces
• 0?-x22(x24y22/xTy2)
• Despejando se llega a la desigualdad

195
Producto interno

• Definición. El producto interno en (V,F) sobre un
  par de vectores (u,v) que satisface
• (u,v)(v,u)
• (?u?v,w) ?(u,w) ?(v,w)
• (w,?u?v) ?(w,u) ?(w,v)
• (u,u)gt0, y es igual a cero si u es cero.

196
Producto interno

• El producto interno (u,v)1/2 induce una norma en
  el espacio vectorial.
• Definición. Sean el producto interno (?,?)
• u, v son ortogonales ssi (u,v)0
• Un conjunto de vectores son ortogonales ssi cada
  par de vectores (u,v) son ortogonales
• Si un vector u es usado para producir u/u tal
  que v1, entonces u se dice ser normalizado
  para producir el vector normalizado v
• Un conjunto de vectores se dice ortonormal ssi es
  ortogonal y v1 para todo vector v

197
Producto interno

• Diferentes productos internos
• (u,v)uTv
• si f y g son funciones real valuadas continuas en
  0?t?1, entonces (f,g)

198
Proyecciones ortogonales

• Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial. Sea
  (V0,F) un subespacio generado por los vectores
  ortogonales Sv1,...,vq. Defínase la proyección
  ortogonal como sigue. Para cualquier vector v
• P0v?1v1...?qvq, donde ?i(vi,v)/(vi,vi)
• entonces
• v-P0v es ortogonal a todo vector v en (V0,F)
• P0(uv)P0uP0v
• P0(?v) ?P0v

199
Proyecciones ortogonales

• Demostración
• (vi,v-P0v)(vi,v)-?1(vi,v1)-...-?q(vi,vq)(vi,v)-
  ?i(vi,vi)0
• Los otros puntos salen de la definición de los
  coeficientes ?.

v
v-P0v
vi
P0v ?vi
200
Proyecciones ortogonales

• Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial con
  producto interno y con su norma inducida por el
  producto interno ?. Sea (V0,F) un subespacio
  generado por los vectores ortogonales
  Sv1,...,vq. Entonces para cualquier v, P0v es
  el único punto más cercano en (V0,F) a v, y
  v-P0v es la distancia de v a (V0,F)
• v-P0vltv-v0 para todo v0 diferente de P0v
  en (V0,F)

201
Proyecciones ortogonales

• Demostración.
• v-v02(v-v0,v-v0)(v-P0vP0v-v0,
  v-P0vP0v-v0) (v-P0v, v-P0v )(v-P0v,
  P0v-v0)(P0v-v0,v- P0v)(P0v-v0, P0v-v0)
• Sabemos que v- P0v es ortogonal a los vectores en
  (V0,F), entonces se obtiene que
• v-v0v- P0v P0v-v0
• entonces v-v0gtv- P0v a menos que v0
  v-v0v- P0v

202
Proyecciones ortogonales

• Sea Sv1,...,vq un conjunto de vectores
  ortogonales, entonces estos vectores son
  linealmente independientes.
• si se toma el vector 0c1v1...cqvq, tenemos que
  saber el valor de cada ci.
• 0(vi,0)(vi,c1v1...cqvq)ci(vi,vi)
• como (vi,vi)gt0 ? ci0 y son L.I.

203
Proyecciones ortogonales

• Se sigue que si el vector proyectado v está en el
  espacio (V0,F), entonces P0v será el mismo v y
  los valores de las ?i será la representación del
  vector en la base seleccionada S.

204
Proyecciones ortogonales

• Teorema. Sea Bv1,...vq una base ortogonal. La
  representación del vector v se calcula como
• v?1v1...?qvq, donde
• ?i(vi,v)/(vi,vi)
• Note que si la base es ortonormal, entonces los
  ?i se calculan fácilmente

205
Proyecciones ortogonales

• Si tenemos Sv1,...,vq un conjunto de vetores
  que genera (V,F)
• Tomar u1v1,
• desde 2 hasta q, uivi-Pi-1vi

206
Transformaciones lineales
207
Transformaciones lineales

• 6.1 Definición
• 6.2 Propiedades
• 6.3 Kernel e imagen de una transformación lineal
• 6.4 Representación matricial de una
  transformación lineal
• 6.5 Isomorfismos
• 6.6 Operaciones con transformaciones lineales
• 6.7 Algebra de transformaciones lineales
•  

208
Transformaciones lineales

• Definición. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios
  vectoriales. Una transformación lineal T de (V,F)
  a (W,G) es una correspondencia que asigna a cada
  vector v en V un vector w en W tal que
• T(v1v2)