RECTAS EN EL ESPACIO

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RECTAS EN EL ESPACIO

• Algebra lineal (Ing.Sist.)
• Cálculo IV(G,B)

Semestre 99-00 B
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Cómo se puede determinar de manera única una
recta en el espacio?
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Un punto P y una dirección u
L
P
u
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Cuál es la condición geométrica que debe
satisfacer un punto P para estar en la recta L
que pasa por Po con dirección u?
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Un punto P y una dirección u
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Ecuación de la recta L que pasa por P0(xo,yo,zo)
con vector director u(a,b,c)
El punto P(x,y,z) ?L si y sólo si P-Po ?? u, es
decir, si P-Potu, t ?? ? (x-xo, y-yo, z-zo)t
(a,b,c).
Ecuaciones paramétricas de la recta L
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Ecuación de la recta L que pasa por P0(xo,yo,zo)
con vector director u(a,b,c)
Si las coordenadas del vector director u(a,b,c)
son todas no nulas, abc?0
Ecuación simétrica de la recta L
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Ejercicio Nº1
Encuentre la ecuación de la recta L que pasa por
P(1,2,-1) y es paralela al vector u(2,3,-2).
Está el punto (2,1,2) sobre la recta L? Está
el vector (3,5,-3) en la recta L?
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Ejercicio Nº2
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por
los puntos P(2,3,-4) y Q(3,-2,5)
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Ejercicio Nº3
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Ejercicio Nº4
Encuentre la intersección de las rectas
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Ejercicio Nº5
Encuentre la ecuación de la recta L que pasa por
(-2,3,4) y es ortogonal a
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Solución Nº1
(x,y,z)?L si al sustituir en las ecuaciones
anteriores hay algún valor de t que las satisfaga.
212t ? t1/2 pero para y, 1? 23(1/2). Por lo
tanto el punto (2,1,3)?L. (3,5,-3)?L, ya que
satisface las ecuaciones paramétricas de la recta
para el valor del parámetro t1. Sin embargo el
vector v(3,5,-3) no está en L ya que para eso el
origen también debería estar en L y no lo está
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Solución Nº2
El vector director de la recta es
u(3,-2,5)-(2,3,-4)(1,-5,9).
La ecuación de la recta viene dada por
t??.
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Solución Nº3
Dos rectas son paralelas si sus vectores
directores son paralelos, por lo tanto, podemos
tomar como vector director de L el mismo vector
director de la recta dada que es (3,6,2) y así la
ecuación de L es
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Solución Nº4
Hay valores de t, s para los cuales 1 t
17 3s
-3 2t
4 t
-2 - t -8
s ? 
Punto de intersección es (2,-1,-3)
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Solución Nº5
El vector director de L debe ser ortogonal a las
rectas L1 y L2. Por lo tanto debe ser
ortogonal a sus vectores directores (-2,3,5) y
(4,-2,1), es decir , el producto vectorial de los
dos
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POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS