ESTIMASI

1
ESTIMASI

• MATERI KE

2
Pengertian Estimasi

• Merupakan bagian dari statistik inferensi
• Estimasi pendugaan, atau menaksir harga
  parameter populasi dengan harga-harga statistik
  sampelnya.
• Misal suatu populasi yang besar akan diselidiki
  harga-harga parameternya, untuk mengetahuinya
  akan dilakukan pengamatan terhadap unit-unit
  dalam sampel yang akan diestimasi meskipun akan
  menimbulkan ketidak pastian

3
KLASIFIKASI ESTIMASI

• (1) ESTIMASI HARGA MEAN (µ)
• Dari suatu populasi akan ditaksir berapa
  besarnya harga rata-rata ( mean)
• a)Jika digunakan sampel besar (n30)
• Jika n 30 maka distribusi sampling harga X
  didistribusikan normal dengan mean dan standard
  deviasi.

4
Notasi interval untuk estimasi sampel besar ( n
30)
Dimana besar kesalahan maksimum dapat dicari
dengan
Keterangan nilai rata-rata suatu
populasi ? deviasi
standard n banyaknya data
nilai dari tabel normal
5
b) Jika digunakan sampel kecil ( n lt 30 )

• Maka notasi interval estimasi untuk sampel kecil
  sbb
• Contoh Estimasi
• Perusahaan RST memproduksi hardisk X dengan
  berat bersih menyebar normal dengan simpangan
  baku ?15 gram. Dari produksi tersebut dipilih
  satu contoh acak berukuran 64, setelah ditimbang
  dengan seksama diperoleh berat bersih rata-rata
  360 gr. Taksirlah rerata berat bersih hardisk
  tersebut dengan selang kepercayaan 95

6
Contoh Soal Estimasi

• Jawab
• Selang kepercayaan 95. Maka sebagai acuan untuk
  Z?/2 digunakan tabel Normal.
• caranya cari ? 1 - 0,95 0,05
• Z?/2 0,5 0,05/2 0.4750
• Z?/2 1,96
• Sehingga interval estimasi yang diperoleh sbb

7
(3) ESTIMASI HARGA PROPORSI (P)

• Jika sampel-sampel random sebesar n diambil dari
  suatu populasi yang besar dan a banyaknya unit
  yang bersifat A dalam sampel-sampel tersebut,
  maka distribusi sampling mendekati harga normal.
• Sehingga interval keyakinan untuk P adalah
  sebagai berikut

8
Nilai kesalahan Maksimum
Catatan bila a tidak diketahui, maka diganti
dengan P Contoh soal Suatu sampel random
yang terdiri dari 400 Keuarga di suatu daerah
diketahui 10 Diantaranya mempunyai pekerjaan
(mata Pencaharian) berdagang. Tentukan interval
Konvidensi 97 untuk menaksir proporsi pedagang
di daerah tersebut !
9
Contoh soal

• Jawab
• Diketahui P proporsi pedagang, a/n 10
• N banyaknya pedagang 400
• tingkat keyakinan 97 2,17
  (lihat tabel normal)
• Maka interval konfindensi proporsi pedagang
  sebagai berikut
• 0,1 - 0,0325 P 0,1 0,0325
• 0.0675 P 0.1325

10
(3) Estimasi Harga Standard Deviasi(?)

• Jika digunakan sampel besar ( n 30)
• Jika sampel random sebesar n, ( n 30), maka
  akan didistribusikan normal.
• Interval Estimasi dapat ditulis sbb

• Jika digunakan sampel kecil ( n lt 30 )
• Jika sampel random sebesar n, maka
• distribusi sampling didistribusikan menurut
• distribusi Chi Kuadrat

11
Interval konvidensi jika n lt 30

• Dinotasikan sebagai berikut
• Contoh Soal
• Suatu sampel random yang terdiri dari 15 unit
  diambil dari suatu populasi yang dapat dianggap
  mendekati normal, dan didapat S21,6. Tentukan
  interval konvidensi 96 untuk mengestimasi ? dari
  populasi tersebut.

12
Contoh Soal

• Jawab
• Diketahui n 15, S 21,6
• Tingkat konfidensi ( 1 - ? ) 96, ?/22
• Sehingga X2 (2 15-1) 26,873 dan
• X2 (98 15 1) 5,368
• Jadi interval konvidensi untuk 96 adalah

13
Klasifikasi Estimasi untuk 2 Populasi

• Estimasi Harga Perbedaan dua mean
• jika digunakan populasi ke 1 dan populasi ke-2
  untuk dilakukan estimasi perbedaan kedua meannya,
  yaitu ( µ1 - µ2 ) maka perlu diambil sampel
  random untuk kedua populasi tersebut.
• a) Jika digunakan sampel besar ( n 30 )
• Jika sampel random sebesar n1 dan n2,
  berturut-turut diambil dari populasi ke 1 dan
  ke 2 dan misalkan X1 mean sampel dari
  populasi ke 1 dan X2 mean sampel dari
  populasi ke 2, maka distribusi sampling harga
  statistik mendekati distribusi normal.

14
Notasi Interval untuk harga-harga dua mean
Besarnya kesalahan Maksimum
15
b) Jika digunakan sampel kecil ( n1 lt 30
dan n2 lt 30 )

• Kedua populasi didistribusikan menurut distribusi
  normal dengan mengacu pada pada tabel student
• Notasi Interval konvidensi untuk harga rata-rata
  dua mean sbb

16
Contoh Soal

• Suatu perusahaan rokok mengirim ke laboratorium
  dua jenis tembakau yang digunakan di dalam
  produksinya, guna menduga perbedaan rata-rata
  kadar nikotinnya. Dari jenis I dilakukan 5 kali
  analisa dan dari jenis II dilakukan 6 kali
  analisa. Dari hasil analisa ini diketahui bahwa
  kadar nikotin pada setiap batang sebagai berikut
  ( dalam mg)
• Jenis I 25, 21, 23, 26, 20
• Jenis II 24, 25, 28, 22, 21, 24
• Tentukan interval konfidensi 98 untuk perbedaan
  rata-rata kadar nikotin kedua jenis tembako
  tersebut !

17
Contoh Soal

• Jawab

SAMPEL JENIS I SAMPEL JENIS I SAMPEL JENIS I SAMPEL JENIS I
X1 (X1 X2)2 X2 (X1 X2)2
25 4 24 0
21 4 25 1
23 0 28 16
26 9 22 4
20 9 21 9
24 0
115 26 144 30
18
Contoh Soal

• Dimana
• n1 5 n2 6
• X1 115/5 23 X2 144/6 24
• S1 26/4 S2 30/5
• Tingkat konvidensi ( 1 - ? ) 98, 2 ?/2 1
• t(1 56 2) 2.821
• Sehingga interval konvidensi untuk dua mean sbb
  

19
Contoh Soal
Sehingga interval konvidensi untuk dua mean sbb
20
(2) Estimasi Harga Dua Proporsi (P1-P2)

• Jika P1 dan P2 tidak terlalu kecil dan tidak
  selalu
• besar, maka harga distribusi sampling harga
• statistik akan didistribusikan mendekati
  distribusi
• normal dengan harga mean ( p1 p2) dan
  standard
• deviasi adalah

21
Interval Konfidensi untuk Dua Proporsi ( P1
P2) adalah sbb
Dimana jika tidak diketahui a1 atau a2 dapat
diganti dengan P1 atau P2
22
Contoh Soal Estimasi Dua Proporsi

• (1) Sebuah perusahaan komputer membuat dua buah
  software anti virus yakni jenis A dan B. Untuk
  keperluan penelitian, maka diinstal pada dua buah
  komputer yang berisi 1000 jenis virus, setelah
  kedua komputer diisi dengan virus tersebut,
  kemudian diinstal anti virus jenis A untuk
  komputer I dan anti virus jenis B untuk komputer
  II. Beberapa saat kemudian diketahui dalam
  komputer I terdapat 825 virus yang dapat
  dinonaktifkan dan pada komputer II terdapat 760
  virus yang berhasil dinonaktifkan. Tentukan
  selang kepercayaan 95 bagi beda proporsi
  kematian virus oleh anti virus jenis A dan B.

23
Contoh Soal Estimasi Dua Proporsi

• Jawab
• Diketahui a1 825 a2 760
• n1 1000 n2 1000
• Konfidensi 95 ?/2 0,025
• Z ?/2 0,5 0.025 0,4750
• Berdasarkan tabel normal 0.4750 1,96 (Z ?/2 )
• Sehingga interval estimasi beda dua proporsi sbb

24
CARA MEMBACA TABEL NORMAL

• LANGKAH-LANGKAHNYA
• Lihat nilai konfidensinya, misal 95 sehingga
• ?/2 0,5/2 0.025 , maka untuk distribusi
  normal
• Z?/2 0,5 0.025 0,4750
• Lihat ke tabel normal. Silahkan di download.
• Berdasarkan tabel maka nilai 0.4750 berada pada
• baris ke 1.9 kolom 0.6. Sehingga nilai
  konfidensi
• 95 Z?/ 1,96

25
CARA MEMBACA TABEL STUDENTS (t)

• LANGKAH-LANGKAHNYA
• (1) Lihat nilai konfidensinya, misal 95
  sehingga
• ?/2 5/2 0.025 , maka untuk distribusi normal
  untuk students t?/2 (?/2 n 1 ). Andaikan n
  10 ? t?/2 ( 0,025 9)
• Kolom Baris
• (2) Lihat ke tabel Students. Silahkan di
  download.
• Berdasarkan tabel maka pertemuan antara baris (
  9) dan kolom ( 0,025) bertemu pada titik 2,262
  sehingga nilai konfidensi 95 t?/2 2,262

26
CARA MEMBACA TABEL CHI KUADRAT ( x2)

• LANGKAH-LANGKAHNYA
• (1) Lihat nilai konfidensinya, misal 96
  sehingga
• ?/2 4/2 2 , maka untuk distribusi normal
  untuk Chi Kuadrat X2 ?/2 (2 10 1 ) dan X2
  ?/2 (98l 10-1 ) (Andaikan n 10 ? X2 ?/2 (
  2 9) dan X2 ?/2 (98l 9 )
• (2) Lihat ke tabel Chi Kuadrat . Silahkan di
  download.
• Berdasarkan tabel maka pertemuan antara baris (
  9) dan kolom ( 0,02) bertemu pada titik 19.679
  dan baris (9) dan kolom (0.98) bertemu pada titik
  2.532 sehingga nilai konfidensi 96 X2 ?/2
  19.679 dan X2 ?/2 2.532

27
LATIHAN SOAL

• (1) Suatu contoh acak berukuran n 500 rumah
  tangga yang koneksi internet di suatu kota.
  Berdasarkan contoh ini kemudian diketahui bahwa
  terdapat 340 pemilik yang terkoneksi ke internet
  di rumahnya.
• Tentukan ukuran contoh yang diperlukan jika
  tingkat kepercayaan 98 bagi proporsi rumah
  tangga yang koneksi ke internet di kota tersebut.

28
LATIHAN SOAL

• (2) Suatu proses produksi menghasilkan produk
  harian dengan simpangan baku s 10 ton. Seorang
  peneliti ingin menduga rataan produk harian µ
  dengan selang kepercayaan 96 dan galat tidak
  lebih dari 2,5 ton. Tentukan ukuran contoh yang
  diperlukan

29
LATIHAN SOAL

• (3) Dua contoh acak masing-masing dipilih dari
  dua populasi A dan B yang seragam dan menyebar
  normal. Hasil dari pengamatan contoh tersebut
  adalah sbb
• Berdasarkan pengamatan contoh, tentukan selang
  kepercayaan 95 bagi selisih rerataan populasi A
  dan B.

Contoh A 12,5 9,4 11,7 11,3 9,9 8,7 9,6 11,5 10,3 10,6 9,6 9,7
Contoh B 9,4 8,4 11,6 7,2 9,7 7,0 10,4 8,2 6,9 12,7 7,3 9,2
30
Petunjuk

• Silahkan anda mencoba soal latihan tersebut
  selama 30 menit. Bagi yang sudah dapat melihat
  kunci jawabannya dengan mendownload. Ingat anda
  tidak akan paham jika tidak mencoba soal latihan.
  Jangan melihat kunci jawaban sebelum anda
  mengerjakan terlebih dahulu. Silahkan didownload.