Chapitre 4 ANALYSE SOUS RISQUE ET INCERTITUDE

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Chapitre 4ANALYSE SOUSRISQUE ET INCERTITUDE

• FIABILITÉ DES SYSTÈMES
• Rappel de probabilités et statistiques
• Inférence statistique
• ANALYSE ÉCONOMIQUE PROBABILISTIQUE
• Notions de risque et incertitude
• Décisions sous incertitude complète
• Analyse sous incertitude avec un avenir non
  probabilisable
• Analyse sous risque avec un avenir probabilisable

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RAPPEL DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUE

• Définitions
• Événements
• Distributions
• Générateur de nombres aléatoires

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DÉFINITIONS

• Probabilité que lévénement A se produise
• rapport entre le nombre de cas favorables s
• et le nombre de cas possibles N
• Événement
• résultat dune expérience ou dun état de fait
• doit être parfaitement défini (fiabilité)
• si requis par le hasard événement aléatoire
• Exemple
• Pièce de monnaie P(pile) P(face) 1/2
• Dé équilibré N 6 x (1, 2, 3, 4, 5, 6) P(x)
  1/6
• Lotto 6/49 P(gagné) 1/13 983 816

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PROBABILITÉ THÉORÈME 1

• La probabilité est exprimée par un nombre variant
  de 1 à 0
• La valeur 1,0 représente la certitude que
  lévénement arrivera
• La valeur 0 la certitude quil narrivera pas
• Événement Ei

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PROBABILITÉ THÉORÈME 2

• Si P(A) est la probabilité que lévénement A
  survienne
• La probabilité que A narrive pas est

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PROBABILITÉ THÉORÈME 3

• Si A et B sont 2 événements mutuellement
  exclusifs
• La probabilité que soit lévénement A ou soit
  lévénement B survienne est la somme de leurs
  probabilités respectives
• Lexpression mutuellement exclusifs signifie
  que le fait quun événement se produise rend
  lautre impossible

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PROBABILITÉ THÉORÈME 4

• Si A et B sont 2 événements indépendants
• La probabilité que lévénement A ou lévénement B
  ou que A et B se produisent est
• Un événement indépendant est celui dont la
  réalisation ne présente pas dinfluence sur la
  probabilité de réalisation de lautre ou des
  autres événements
• Exemple probabilité dobtenir un valet ou un
  carreau

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PROBABILITÉ THÉORÈME 5

• La somme des probabilités des événements relatifs
  à une situation est égale à 1

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PROBABILITÉ THÉORÈME 6

• Si A et B sont 2 événements indépendants
• La probabilité que les 2 événements arrivent est
  le produit de leurs probabilités respectives
• Exemple
• Projet A 30 de probabilité quil soit rentable
• Projet B 10 de probabilité quil soit rentable
• Quelle est la probabilité que les 2 projets
  soient rentable?

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PROBABILITÉ THÉORÈME 7

• Si A et B sont 2 événements dépendants
• La probabilité que les 2 événements se produisent
  est le produit de la probabilité que A arrive et
  que si A arrive, B arrivera aussi
• Exemple
• Une boîte de 50 pièces en contient 3 défectueuses
• Si 2 pièces sont enlevées, quelle est la
  probabilité que les 2 soient défectueuses

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ÉVÉNEMENTS

• Incompatibles ou mutuellement exclusifs
• Indépendants
• Combinaison des événements

x
y
z
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ÉVÉNEMENTS

• Probabilité conditionnelle (Bayes)
• Probabilité de x sachant que y sest réalisé
• Utilisation en fiabilité

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ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS

• Systèmes en série
• le système fonctionne si les 4 composantes
  fonctionnent
• plus on ajoute de composantes en série au
  système,
• moins il sera fiable

2 0,9
4 0,9
1 0,9
3 0,9
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ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS

• Systèmes en parallèle
• système fonctionne si une seule composante
  fonctionne
• plus on ajoute de composantes en parallèle au
  système,
• plus il sera fiable

1 0,9
2 0,9
3 0,9
4 0,9
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VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

• Équivalence entre les concepts

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VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

• DÉFINITIONS
• Moyenne
• Variance
• Espérance mathématique

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DISTRIBUTIONS DISCRÈTES

• LOI BINOMIALE (Épreuve de Bernoulli)
• P Probabilité quune pièce est défectueuse
• q 1 - P Probabilité quune pièce est bonne
• si N pièces subissent des tests indépendants, la
  probabilité que n pièces soient défectueuses est
• Applications
• cartes de contrôle de qualité, fiabilité, plan
  déchantillonnage, etc.

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DISTRIBUTIONS DISCRÈTES

• LOI DE POISSON
• utilisé quand P devient trop petit et N trop
  grand pour approximer la binomiale
• moyenne nombre darrivées dun événement par
  espace de temps
• probabilité cumulative
• Applications
• fiabilité, contrôle de qualité, gestion
  dinventaire, etc.

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DISTRIBUTIONS DISCRÈTES

• LOI UNIFORME
• tous les événements ont la même probabilité
  doccurrence

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VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES

• Fonction croissante continue f(x)

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DISTRIBUTIONS CONTINUES

• LOI UNIFORME

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DISTRIBUTIONS CONTINUES

• DISTRIBUTION TRIANGULAIRE

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DISTRIBUTIONS CONTINUES

• LOI EXPONENTIELLE
• facilement intégrable modélisation mathématique
  de systèmes complexes

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DISTRIBUTIONS CONTINUES

• LOI NORMALE (GAUSS)
• normale centrée réduite

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DISTRIBUTIONS CONTINUES

• LOI WEIBULL

l(t)
t
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GÉNÉRATEUR DE NOMBRES ALÉATOIRES

• Générateurs de nombres pseudo-aléatoires
• méthode de mid-square
• Nombre de 4 chiffres
• Élevé au carré
• 4 chiffres du milieu
• générateur linéaire
• Zi (a zi-1 c) mod m
• Ui Zi / m
• Exemple
• a 5
• c 3
• m 16
• Avec Zi 7

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TABLE DE NOMBRES ALÉATOIRES
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TEST DHYPOTHÈSE

• Hypothèse statistique
• énoncé (affirmation) concernant les
  caractéristiques dune population
• Test dhypothèse
• démarche qui a pour but de fournir une règle de
  décision permettant, sur la base de résultats
  déchantillon, de faire un choix entre 2
  hypothèses statistiques
• Hypothèse nulle H0
• hypothèse selon laquelle on fixe a priori un
  paramètre de la population à une valeur
  particulière
• Hypothèse alternative H1
• nimporte quelle autre hypothèse qui diffère de H0

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FORMULATION DES HYPOTHÈSES

• Test bilatéral
• H0 m m0
• H1 m ? m0
• Test unilatéral à gauche
• H0 m m0
• H1 m lt m0
• Test unilatéral à droite
• H0 m m0
• H1 m gt m0

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INFÉRENCE STATISTIQUE

• Test de variance
• test sur une variance simple
• test sur 2 variances indépendantes
• Test de moyenne
• test sur une moyenne (s connue)
• test sur une moyenne (s inconnue)
• test sur 2 moyennes indépendantes (s connues)
• test sur 2 moyennes indépendantes (s inconnues)

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TEST SUR UNE VARIANCE
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TEST SUR UNE VARIANCE

• Exemple
• Échantillon n 10
• Confiance a 5
• Variance programmée s02 25
• Calcul sur léchantillon S2 49
• Hypothèse
• H0 s2 s02
• H1 s2 gt s02
• Valeur expérimentale
• Valeur théorique
• On rejette H0, la variance du procédé est hors
  contrôle

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TEST SUR DEUX VARIANCES
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TEST SUR DEUX VARIANCES

• Exemple
• Échantillon 1 n1 8 et S12 156
• Échantillon 2 n2 10 et S22 100
• Confiance 5
• Hypothèse
• H0 s12 s22
• H1 s12 gt s22
• On accepte H0

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TEST SUR UNE MOYENNE (variance connue)
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TEST SUR UNE MOYENNE (n gt 30)
37
TEST SUR UNE MOYENNE (n lt 30)
38
TEST SUR DEUX MOYENNES(variance connue)
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TEST SUR DEUX MOYENNES (n gt 30)
40
TEST SUR DEUX MOYENNES (n lt 30)
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TABLES

• Tables de distribution
• Distribution de Fisher-Snedecor
• Distribution du khi-deux
• Loi normale centrée réduite
• Distribution de Student

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Distribution de Fisher-Snedecora 0,05
43
DISTRIBUTION DU KHI-DEUX
44
DISTRIBUTION DU KHI-DEUX (suite)
45
LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE
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DISTRIBUTION DE STUDENT
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MODÉLISATION DE SYSTÈME

• Analyse de système
• Analyse des modes de défaillance et de leurs
  effets AMDE
• Analyse des modes de défaillance, de leurs causes
  et de leurs criticités AMDEC
• Arbre dévénement
• Arbre de défaillance
• Diagramme bloc de faisabilité
• Chaîne de Markov
• Réseau de Pétri
• Simulation Monte-Carlo

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DESIGN EXPÉRIMENTAL

• PLANS DEXPÉRIENCE
• études des effets des variables (facteurs), de
  leurs combinaisons et de leurs interactions sur
  la performance du système
• Types dexpériences
• expérience à un seul facteur
• expérience en bloc
• expérience factorielle
• plans fractionnaires (Taguchi)

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ANALYSE ÉCONOMIQUE PROBABILISTIQUE

• Notions de risque et incertitude
• Décisions sous incertitude complète
• Analyse sous incertitude avec un avenir non
  probabilisable
• Analyse sous risque avec un avenir probabilisable

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RISQUE ET INCERTITUDE

• INTRODUCTION
• Flux monétaire dépend des événements futurs
• Impossibilité de prédire larrivée dévénements
• Variations des paramètres économiques
• Facteur de risque
• ANALYSE EN PRÉSENCE DE RISQUE ET INCERTITUDE
• Identification des sources causant lincertitude
• Quantification des paramètres
• Détermination des probabilités du potentiel de
  changement

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TERMINOLOGIE

• Analyse de rentabilité déterministique
• Analyse sous certitude
• Probabilité de succès égale à 1.0
• Analyse de rentabilité probabilistique
• Existence de paramètres économiques risqués et
  incertains
• En présence de risque
• Probabilités doccurrence des états de la nature
  et des paramètres économiques connues
• En présence dincertitude
• Distribution de fréquences inconnue

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RISQUE ET INCERTITUDE

• CAUSES
• Nombre insuffisant dévénements similaire
• Erreurs subjectives dans les données
• Changement dans lenvironnement économique
• Mauvaise interprétation des données
• Erreurs danalyse
• Disponibilité dadministrateurs compétents
• Récupération de linvestissement
• Désuet

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RISQUE ET INCERTITUDE

• CAUSES DE DÉPASSEMENT DES COÛTS DANS LA
  CONSTRUCTION
• Facteurs extérieurs
• Changements exigés par le client
• Inflation
• Taux de change
• Changements technologiques
• Facteurs de forces majeures
• Risque associé à la complexité
• Grosseur du projet
• Temps de réalisation
• Problèmes dordre technique
• Incompétence des responsables de projets
• Estimations irréalistes

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MÉTHODES DANALYSE DE RENTABILITÉ EN PRÉSENCE DE
RISQUE ET DINCERTITUDE

• Analyse sous incertitude complète
• Principe de Laplace
• Principe de Hurwicz
• Principe de Savage
• Analyse sous incertitude avec un avenir non
  probabilisable
• Ajustements des paramètres économiques
• Méthode du point mort
• Analyse de sensibilité
• Ajustement du taux descompte
• Méthode déquivalence à la certitude
• Analyse sous risque avec un avenir probabilisable
• Analyse monétaire probabilistique
• Méthode de Bayes
• Arbre de décision
• Méthode de Monte-Carlo

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ANALYSE SOUS INCERTITUDE COMPLÈTE

• MÉTHODES DANALYSE
• Matrice de décisions états de la nature
• Principe de Laplace
• Principe maximin ou minimax
• Principe maximax ou minimin
• Principe de Hurwicz
• Principe de Savage

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MATRICE DE DÉCISIONS

• Choix du décideur A1, A2, An
• États de la nature S1, S2, Sm

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MATRICE DE PROFITS

• Exemple

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PRINCIPE DE LAPLACE

• Principe de lopportunité égale
• Tous les états de la nature ont la même
  opportunité
• p1 p2 p3 p4 ¼
• E(A2) E(A3) E(A4) 2,0
• Choix de A1

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PRINCIPE MAXIMIN OU MINIMAX

• Choix de la possibilité qui
• maximise la valeur minimale quon pourrait
  recevoir
• minimise la valeur maximale quon pourrait
  débourser
• Attitude très pessimiste ou conservatrice
• Exemple
• Maximum des minimums
• Maximin A2

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PRINCIPE MAXIMAX OU MINIMIN

• Choix de la possibilité qui
• maximise la valeur maximale des profits
• minimise la valeur minimale des coûts
• Attitude très optimiste ou aventureuse
• Exemple
• Maximum des maximums
• Maximax A3

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PRINCIPE DE HURWICZ

• Généralisation de maximin et maximax selon un
  indice doptimisme a
• 0 lt a lt 1
• Matrice de profit maximiser Hi
• Matrice de coût minimiser Hi
• Exemple
• a 0,25
• Choix de A2 ou A3

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PRINCIPE DE SAVAGE

• Principe du regret minimax
• Matrice de regrets
• Choix de A4

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PROBLÈME DE CHOIX DE PRINCIPE

• Principe de Laplace
• Ajout des états de la nature
• Principe de Hurwicz
• Pondération dun état de la nature
• Principe de Savage
• État de la nature très élevé
• AUCUN DE CES PRINCIPES NEST PARFAIT

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VALEUR ESPÉRÉE ET VARIANCE

• Soit X1, X2,, Xn des événements mutuellement
  exclusifs
• La valeur espérée des revenus (moyenne) est
• La mesure de dispersion de la distribution de
  probabilité

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EXEMPLE

• On considère linvestissement dans un projet dont
  les revenus probabilistes sont
• Déterminer
• La valeur espérée du projet
• La variance du projet

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ANALYSE SOUS INCERTITUDE AVEC UN AVENIR NON
PROBABILISABLE

• MÉTHODES DANALYSE
• Ajustements des paramètres économiques
• Jugement intuitif
• Ajustement conservateur
• Optimiste-pessimiste
• Méthode du point mort
• Analyse de sensibilité
• Ajustement du taux descompte
• Méthode déquivalence à la certitude

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AJUSTEMENTS DES PARAMÈTRES ÉCONOMIQUES

• AJUSTEMENT CONSERVATEUR
• Changement des paramètres
• Diminution des risques
• MÉTHODE OPTIMISTE-PESSIMISTE

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ANALYSE DE SENSIBILITÉ

• Analyse de lensemble des variations possibles de
  lindice de rentabilité

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MÉTHODE DU POINT MORT

• DÉFINITION
• Volume dactivité quil faut atteindre pour
  réaliser des recettes dexploitation dun montant
  égal aux charges dexploitation
• Point mort exprimé en
• dollars de vente
• nombre dunités vendues
• pourcentage de la capacité de production

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MÉTHODE DU POINT MORT

• REPRÉSENTATION CLASSIQUE

71
MÉTHODE DU POINT MORT

• REPRÉSENTATION NON CLASSIQUE

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AJUSTEMENT DU TAUX DESCOMPTE

• Détermination dun TRAM proportionnel au risque
• Ajustement direct
• TRAM TSR TAR TARP
• TSR taux sans risque
• TAR taux avec risque
• TARP taux avec risque particulier
• Ajustement indirect
• Pour comparer différents
• projets avec le même
• taux descompte

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MÉTHODE DÉQUIVALENCEÀ LA CERTITUDE

• DEUX MÉTHODES
• Avec un facteur déquivalence à la certitude
• Niveau de risque de façon subjective et intuitive
• Avec des données statistiques
• Réduction des considérations économiques en une
  mesure des bénéfices et leurs variations
• Méthode aussi appelée estimation-variance

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ANALYSE SOUS RISQUE AVEC UN AVENIR PROBABILISABLE

• MÉTHODES DANALYSE
• Analyse monétaire probabilistique
• Méthode de Bayes
• Arbre de décision
• Méthode de Monte-Carlo

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ANALYSE MONÉTAIRE PROBABILISTIQUE

• Estimé des bénéfices
• Valeurs prévues A1
• État futur le plus probable A2
• Niveau daspiration
• Profit exigé de 300 A3

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MÉTHODE DE BAYES

• STATISTIQUES BAYÉSIENNES
• Ajustement des probabilités connues a priori pour
  un paramètre inconnu à des probabilités
  posteriori plus certaines

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MÉTHODE DE BAYES

• Exemple 1
• Un procédé de fabrication doit être corrigé
• Si les ajustements sont bien faits 5 de
  probabilité quil y ait des défauts
• 20 de probabilité dun mauvais ajustement
  entraîne un taux de défectuosité de 25
• On pose
• S1 bon ajustement
• S2 mauvais ajustement
• X événement quun échantillon ait un défaut
• Calculer la probabilité a posteriori que les
  ajustements soient bien ou mal faits étant donné
  que X sest produit

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MÉTHODE DE BAYES

• Solution 1
• La probabilité a priori de 80 que lajustement
  soit bien fait est révisée, par le fait quune
  pièce soit défectueuse, en une probabilité a
  posteriori de 44

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MÉTHODE DE BAYES

• Exemple 2
• Considérons un investissement
• VP 6 000 si S1 se produit
• VP -4 000 si S2 se produit
• Probabilité a priori
• 40 pour S1 et 60 pour S2
• Étude supplémentaire permettra dobtenir
• X1 ayant VP 6 000
• X2 ayant VP -4 000
• Si S1 se produit, X1 sera indiqué avec 80 de
  probabilité
• De même pour S2 avec 60 de probabilité

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MÉTHODE DE MONTE-CARLO

• Méthode développée dans les années 40
• Consiste à représenter un problème
  déterministique par un processus stochastique
  dont les distributions de probabilité satisferont
  les relations mathématiques du problème
  déterministique complexe
• 1ère étape
• Construire un modèle analytique
• 2éme étape
• Développer une distribution de probabilité pour
  chaque facteur soumis à lincertitude

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MÉTHODE DE MONTE-CARLO

• LOI UNIFORME

82
MÉTHODE DE MONTE-CARLO

• LOI TRIANGULAIRE

83
MÉTHODE DE MONTE-CARLO

• LOI EXPONENTIELLE

84
MÉTHODE DE MONTE-CARLO

• LOI NORMALE

85
MÉTHODE DE MONTE-CARLO

• Exemple
• Investissement P N (50 000, 1000)
• Vie utile suit une distribution empirique
• 10 ans 40
• 12 ans 50
• 15 ans 10
• Revenus annuels R Triang (35 000, 40 000, 50
  000)
• Dépenses annuelles U (30 000, 35 000)
• Taux dintérêt 10

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ARBRE DE DÉCISION

• Larbre de décision explicite graphiquement la
  séquence des décisions à prendre et les divers
  événements qui peuvent arriver
• La procédure
• Se situer dans le temps
• Définir les événements possibles Sj
• Déterminer les actions qui peuvent être
  entreprises
• Déterminer la valeur de chaque action combinée
  avec Sj
• Associer à chaque événement une probabilité
• Trouver la valeur espérée de chaque solution
• Choisir la meilleure possibilité

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ARBRE DE DÉCISION

• CONSTRUCTION DE LARBRE DE DÉCISION
• Identifier les points de décision et les actions
  à prendre
• Identifier les points de risque et la valeur des
  revenus
• Estimer les valeurs nécessaires
• Prendre une décision
• Convention
• Série de nuds et de branches
• Une branche une action
• Un carré un point de décision
• Un cercle un point de chance

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ARBRE DE DÉCISION

• EXEMPLE
• Fabrication de pâte à papier (TRAM 10)
• 2 possibilités
• Un atelier de 500 tonnes par jour
• Une usine de 250 t/j et nouvelle étude dans 2 ans
  avec possibilité dajouter une autre de 250 t/j
  ou se retirer
• Analyse du marché
• 60 que la demande initiale est élevée et le
  reste
• 10 quelle soit initialement élevée et devienne
  faible
• 30 quelle soit faible dans 2 ans
• Coût de construction
• 30 millions pour 500 t/j
• 16 millions pour 250 t/j
• 20 millions pour 250 t/j dans 2 ans

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ARBRE DE DÉCISION

• EXEMPLE
• Estimation des profits annuels

90
ARBRE DE DÉCISION
91
ARBRE DE DÉCISION

• Analyse au point 2

92
ARBRE DE DÉCISIONAnalyse au point 1
93
ARBRE DE DÉCISION