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Title: Les fonctions en


1
Les fonctionsen économie et en mathématiques
  • Jacques BAIR
  • (CDS, 9 décembre 2011)

2
Sommaire
  • (Historique)
  • (Dans lenseignement)
  • Décalage interdisciplinaire potentiel
  • (Fonctions mathématiques exploitées en économie)
  • Conclusion

3
Historique
4
Deux points de vue
  • En mathématiques
  • - Concept très ancien
  • - Fort lente maturation
  • - cfr B-H, sur Orbi
  • En économie
  • - Assez récent Cournot (1801-1877)
  • - cfr B-H sur BibNum

5
Dans lenseignement généralités
6
Variété des notations
7
 Pluridimensionnalité conceptuelle 
  • Plusieurs facettes
  • - verbale
  • - numérique (tables)
  • - graphique
  • - analytique
  • - (ensembliste)

8
 Procept  (Tall, Sfard, )
  • Exemple simple

Symbole Processus Concept
x2 calcul du carré dun nombre -
f(x) x2 idem fct une loi
y x2 dessiner une parabole fct équation
9
Décalage interdisciplinaire potentiel
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Le procept
  • Souvent objet
  • Approche (souvent) hypothético-déductive
  • Mention explicite de la loi f
  • Variables (in)dépendantes (x, y, )
  • Grandeur cardinale
  • Souvent outil
  • Construction (souvent) inductive
  • Pas de mention explicite de la loi ex. C
    C(q)
  • Grandeurs endogène et exogène (p, q, )
  • Grandeur parfois ordinale

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Compétences
  • Habiletés calculatoires faibles
  • Savoir calculer et interpréter
  • - taux dévolution (nbre décim., fraction, )
  • - propension
  • - élasticité
  • Habiletés calculatoires importantes
  • Savoir exploiter
  • - taux de variation

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Compétences (suite)
  • Traitement de cas typiques
  • Procédé de résolution familier
  • Liens avec la réalité économique
  • Explorer des cas exceptionnels, contre-exemples
  • Situation de résolution de problème
  • La situation problématique est admise

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La représentation graphique
  • Représentation graphique un départ
  • Choix des axes variable
  • Importance des unités sur les axes (inclinaison
    vs pente)
  • Axes orthogonaux
  • Segments verticaux
  • Construction par points
  • Parfois, plusieurs courbes
  • Représentation graphique un but
  • Choix des axes imposé
  • Peu dimportance des unités sur les axes
  • Axes pouvant être qcqs
  • Pas de sgmts verticaux
  • Construction daprès des propriétés
  • Généralement, 1 seule courbe par graphique

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  • Graphe dans le 1er quadrant
  • Intensité de la pente (et élasticité)
  • Rendement
  • Représentation typique une droite
  • Graphe complet
  • Signe de la pente
  • Concavite / convexité
  • Représentation typique une courbe

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Analyse infinitésimale
  • Souvent variations discrètes (ou entières)
  • Infini actuel
  • Notations dC/dq (ou D ou  del  ou  delta )
  • Variation marginale C(q1) C(q) ou C(q) ou
    C(q)-C(q-1)
  • Importance de lélasticité
  • (sans dérivée)
  • Différentielle nombre très petit
  • Variations généralement continue
  • Infini potentiel
  • Notation f(x)
  • Variation
  • Peu dintérêt pour lélasticité (avec dérivée)
  • Différentielle fct linéaire

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Fonctions usuelles
  • Fonctions linéaires
  • Importance des FAPM
  • Fonctions carré, cube, puissances quelc.,
  • Définition du logarithme (expo.)
  • Définition de lexponentielle (continuité)
  • Fonctions affines
  • Peu dintérêt pour les FAPM
  • Fonctions polynômes (degré quelconque)
  • Définition du logarithme (primitive)
  • Définition de lexponentielle (logarithme)

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Types de raisonnement
  • Souvent  littéraire 
  • Exemple Si le coût moyen est minimal, alors il
    est égal au coût marginal
  • Souvent  formel 
  • Démonstration mathématique (avec hypothèses)

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Situations particulières
  • Concavité
  • Fonctions surtout explicites
  • Rarement courbes enveloppes
  • Extrema libres
  • Equations différentielles
  • Quasi-concavité
  • Importance des fonctions implicites
  • Courbes enveloppes
  • Extrema liés
  • Equations récurrentes

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Fonctions mathématiques exploitées en économie
20
Exemples simples (cfr SBPMef)
  • Lois doffre et de demande
  • Coûts (fixes, variables, moyens, marginaux,
    taxes, )
  • Revenu (net, brut, )
  • Fonction dutilité, courbe dindifférence
  • Fonction de production, isoquante
  • Evolution dynamique dune grandeur

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Conclusion
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Plaidoyer pour un enseignement interdisciplinaire
  • Les différents points de vue peuvent être
    utilisés pour faciliter lacquisition des
    concepts dans chacune des deux disciplines
  • Une interdisciplinarité peut mettre en pratique
    le jeu de contextualisation-décontextualisation
  • Permet une réflexion formatrice sur le processus
    de modélisation
  • Pour les mathématiques, montre lutilité de la
    discipline, tout en renouvelant lenseignement
  • Pour léconomie, peut apporter plus de rigueur,
    une motivation pour les études abstraites

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Citation (Cf. Bonneval, Repères-IREM, 1999)
  • Les enseignants qui acceptent de sy engager y
    trouvent leur compte en décloisonnant le
    savoir, léchange permet un enrichissement mutuel
    et un nouveau regard sur sa propre discipline

24
Merci pour votre attention
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