III. Fonctions num

1
III. Fonctions numériques et modélisation
(intégration,équations différentielles,)
LE PLAN DU COURS TROIS CHAPITRES
I. Bases de logique , théorie des ensembles
II. Nombres entiers, rationnels, réels et
complexes suites de réels
2
III. Fonctions numériques et modélisation

• Limite dune fonction en un point de R ou de la
  droite réelle achevée
• Continuité dune fonction en un point et sur un
  ensemble
• Opérations sur les fonctions continues
• Fonctions strictement monotones sur un intervalle
  
• Dérivabilité dune fonction sur un intervalle
• Quelques fonctions classiques et leurs inverses
• Aires, intégration, primitives
• Équations différentielles

3
Limite dune fonction en un point de R ou de la
droite réelle achevée
Cas 1
D
D l R R
_ a e D
f
f admet une limite finie l e R au point a si et
seulement si, pour toute suite (xn)n de points
de D
lim (xn)n a lim (f(xn))n l
4
f admet une limite finie l e R au point a
Pour tout e gt0,
il existe h gt0 , tel que
(x appartient à D et x-a lt h )
f(x) l lt e
5
Le cas particulier où le point a est un point de
D

• f D ----gt R
• a point de D
• lima f existe dans R (et vaut nécessairement f(a))

f est continue en a
6
Limite dune fonction en un point de R ou de la
droite réelle achevée
Cas 2
D
D l R R
_ a e D \ D
f
f tend vers linfini au point a si et
seulement si, pour toute suite (xn)n de points
de D
lim (xn)n a lim (f(xn))n
linfini
7
f tend vers linfini au point a
Pour tout A gt0,
il existe h gt0 , tel que
(x appartient à D et x-a lt h )
f(x) gt A
8
Limite dune fonction en un point de R ou de la
droite réelle achevée
Cas 3
D
D l R R
_ a e D \ D
f
f tend vers - linfini au point a si et
seulement si, pour toute suite (xn)n de points
de D
lim (xn)n a lim (f(xn))n -
linfini
9
f tend vers - linfini au point a
Pour tout A gt0,
il existe h gt0 , tel que
(x appartient à D et x-a lt h )
f(x) lt - A
10
Limite dune fonction en un point de R ou de la
droite réelle achevée
Cas 4
D
_ infinie D \ D
D l R R
f
f tend vers l lorsque x tend vers infini si et
seulement si, pour toute suite (xn)n de points
de D
lim (xn)n infini lim (f(xn))n
l
11
f admet une limite finie l e R en linfini
Pour tout e gt0,
il existe B gt0 , tel que
(x appartient à D et x gt B )
f(x) l lt e
12
Limite dune fonction en un point de R ou de la
droite réelle achevée
Cas 5
D
_ infinie D \ D
D l R R
f
f tend vers infini lorsque x tend vers
infini si et seulement si, pour toute suite (xn)n
de points de D
lim (xn)n infini lim (f(xn))n
infini
13
f tend vers linfini lorsque x tend vers
linfini
Pour tout A gt0,
il existe B gt0 , tel que
(x appartient à D et x gt B)
f(x) gt A
14
f tend vers - linfini lorsque x tend vers
linfini
Pour tout A gt0,
il existe B gt0 , tel que
(x appartient à D et x gt B)
f(x) lt - A
15
Composition des limites (1)
lima (g o f) L
D R E
R
f
g
f(D) l E
_ a e D
_ lima fl e E
_ liml gL e R
16
Composition des limites (2)
lima (g o f) L
D R E
R
f
g
f(D) l E
_ a e D
_ liminfini gL e R
_ lima finfini e E
17
Composition des limites (3)
Limlinfini(g o f) L
D R E
R
f
g
f(D) l E
_ infini e D \ D
_ liminfini gL e R
_ lim linfini
finfini e E
18
Attention aux formes indéterminées !
?
x2 x
?
(log x) /x (1/x) x log x
quand x tend vers linfini
Lim (a0 xp a1 x p-1 ap)
linfini si a0 gt 0
- linfini si a0 lt 0
19
Attention aux formes indéterminées !
?
P(x)/Q(x)
?
(P(x))1/k Q(x) , k dans N, en linfini
(a0 xp a1 x p-1 ap)1/k a01/k xp/k ( 1
(a1/a0) x-1 )1/k
b0 xq b1 xq-1 bq b0 xq (1 (b1/b0)x-1
)
20
Rappel de règles concernant les limites de
suites
21
Limite à droite en un point a

• a est adhérent à
  Va x dans D x gta
• La restriction de f à Va admet pour limite l au
  point a

22
Limite à gauche en un point a

• a est adhérent à
  Va-x dans D x lta
• La restriction de f à Va- admet pour limite l au
  point a

23
 Une fonction monotone (cest-à-dire croissante
ou décroissante) sur un intervalle ouvert a,b
(borné ou non) admet une limite à gauche et à
droite en tout point  de a,b
24
Fonction continue en un point (rappel)

• f D ----gt R
• x0 point de D
• limx0 f existe dans R (et vaut nécessairement
  f(x0))

Continuité à droite (si existence de la limite à
droite, égale nécessairement à f(x0)) Continuité
à gauche (si existence de la limite à gauche,
égale nécessairement à f(x0))
25
Fonctions continues sur un segment a,b
I. Une fonction f continue sur un segment a,b
(cest-à-dire en tout point de ce segment) et à
valeurs réelles est à la fois minorée et majorée
sur a,b.
II. Les deux bornes inf a,b f et supa,b f
sont atteintes par f en des points de a,b
26
Théorème des valeurs intermédiaires
Une fonction f continue sur un segment a,b
(cest-à-dire en tout point de ce segment) prend
(sur ce segment) au moins une fois toute valeur
intermédiaire y du segment inf a,b f , sup
a,b f .
Preuve par labsurde !
27
Fonctions strictement monotones et continues sur
un intervalle (1)
M sup f(x), x dans I
I intervalle de R
f(I)
f(I) intervalle de R (du même type)
I
minf f(x), x dans I
f I ? f(I) bijective f admet une
application inverse f-1 f(I) ? I
28
Fonctions strictement monotones sur un intervalle
(2)
f-1 strictement monotone (même type que f)
y
f(I)
I
f continue f-1 continue
f-1(y-) c f-1(y) c f-1(y)


29
Fonction réciproque dune fonction strictement
monotone f I ? Jf(I)
(x e I) et (yf(x))
(y e J) et (xf-1(y))
Graphe (f) (x,y) e I x J y f(x)
Graphe (f-1) (y,x) e J x I yf(x)
30
Droite miroir yx
(x0,y0)
(y0,x0)
31
Dérivabilité en un point et sur un intervalle

• f définie dans un intervalle ouvert contenant un
  point donné x0
• f(x0h) f(x0) a(x0) h h e(h) pour tout h de
  valeur absolue assez petite
• e défini dans un intervalle -h,h (privé de 0)
  et lim0 e 0

32
Interprétation géométrique
(x0h, f(x0h))
(x0, f(x0))
ya(x0)(x-x0) f(x0)
33
Dérivabilité en un point Continuité en ce
point
Isaac Newton (1643-1727)
34
Opérations sur les fonctions dérivables
f et g dérivables en x0
f g dérivable en x0 , (fg)(x0)
f(x0)g(x0)
fg dérivable en x0 , (fg)(x0) f(x0)
g(x0)g(x0) f(x0)
35
Dérivabilité de x ? xn
n gt 0
(x0h)n x0n n x0n-1 h o(h)
n gt 0 et x0 non nul
(x0h)-n x0-n - n x0n-1 h o(h)
36
Règle de Leibniz
G.W. von Leibniz (1646-1716)
f définie au voisinage de x0 et dérivable en x0
g définie au voisinage de f(x0) et dérivable en
f(x0)
(gof)(x0)
g o f dérivable en x0 car (g o f) (x0h)
g (f(x0h)) g (f(x0)
h f(x0) o(h))
g(f(x0)) h g(f(x0)) x f(x0) o(h)
37
Opérations sur les fonctions dérivables
f et g dérivables en x0 et g(x0) non nul
f/g dérivable en x0 et

f(x0) g(x0) - g(x0) f(x0) (f/g)(x0)
______________________
(g(x0))2

38
Dérivabilité de la fonction inverse
Soit f une fonction strictement monotone sur un
intervalle ouvert I de R, dérivable sur I
On suppose f R 0 sur I (fgt0 ou flt0)
f-1 f(I) ? I est dérivable sur f(I)
1 (f-1)(y0)
-------------- f ( f-1
(y0))
39
y y0 f(x0) (x-x0)
(x0,y0)
x y0 f(x0) (y-x0)
(y0,x0)
40
Remarque un énoncé admis
Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert
I , de dérivée identiquement nulle sur I , est
constante sur I.
Attention cependant Aux escaliers du diable !
41
La fonction exponentielle
lim (ex/xn) linfini en linfini
x k
S
kn
exp (x)
---gt
k !
k0
lim (ex xn) 0 en - linfini
exp (x1x2) exp (x1) x exp (x2)
42
La méthode dEuler
exp exp
Étape 0 Choix dun  pas  1/N (entre 0 et x)
u0 1
Dérivée  discrète 
un1-un un 1/N
(1 x/N)N ---gt exp (x) lorsque N tend vers
linfini
43
La fonction logarithme (1)
x e R et y exp (x)
y gt 0 et x log (y)
liminfini (log y /y) 0
lim0 (y log y) 0
log (y1 y2) log (y1) log (y2)
44
La fonction logarithme (2)

• log y ---gt 1/y sur y y gt 0
• (log y-a) y ---gt 1/(y-a) sur R \ a

Remarque pour tout entier n de Z différent de
-1, on a sur R \a (y-a)n1
y ---gt (y-a)n n1
45
Les fonctions puissance
a gt 0
x e R ? ax exp (x log a)

• (ax1) x2 a x1x2
• ax1x2 ax1 x ax2
• (ab)x ax x bx
• a-x (1/a)x

x ? ax x ? log(a) x ax
46
La fonction cosinus
x e R
x 2k
S
kn
cos (x)
---gt
(-1)k
(2k) !
k0
cos 0 1 cos 2 lt-1/3
(suites adjacentes)
cos sannule en au moins un point de 0,2
p 2 infxgt0, cos x0
47
La fonction sinus
x e R
x 2k1
S
kn
sin (x)
---gt
(-1)k
(2k1) !
k0
(suites adjacentes)
48
Relations entre fonctions trigonométriques

• cos (x1 x2) cos (x1) cos (x2) sin (x1) sin
  (x2)
• sin (x1 x2) cos (x1) sin (x2) sin (x1) cos
  (x2)
• cos - sin
• sin cos
• cos2 x sin2 x 1
• cos (x 2p)cos x
• sin (x2p) sin x

(0,0)
1
(cos (x), sin (x)) ( pour x e 0, 2p)
paramétrage bijectif du cercle de centre (0,0) et
de rayon 1
49
Fonctions trigonométriques inverses

• Arcos -1,1 --- gt 0, p
• Arcsin -1,1 --- gt -p/2 , p/2
• sur -1,1 Arcsin 1/(cos(Arcsin)) y ?
  (1-y2)-1/2
• sur -1,1 Arcos -1/(sin(Arcos)) y ? -
  (1-y2)-1/2

Arcsin (y) Arcos (y) p/2 pour y e -1,1
50
La fonction tangente
tan x sin (x) / cos (x)
-3p/2 -p -p/2 0
p/2 p 3p/2
tan 1 tan2
51
La fonction Arctan (Arc-tangente)
x e -p/2 , p/2 et y tan (x)
y e R et x Arctan (y)
1
1 Arctan(y) ------------------------
---------- 1 tan2 (Arctan
y) 1 y2
52
Quelques relations importantes

• cos (t) 2 cos2 (t/2) -1
  (1-u2)/(1u2)
• sin (t) 2 sin (t/2) cos (t/2)
  2u/(1u2)

t e -p, p u tan (t/2) , t
2 Arctan u
53
1-u2 2u --------- , ------- 1u2
1u2
(0,0)
(-1,0)
1
Un paramétrage rationnel du cercle unité privé
dun point
54
Les fonctions hyperboliques

• cosh x (exe-x)/2 , x e R
• sinh x (ex e-x)/2 , x e R

cosh2 x sinh2 x 1
cosh sinh sinh
cosh
55
Intersection dun plan et dun cône hyperbole,
ellipse ou parabole
hyperbole (2 branches)
ellipse
les Coniques
56
Le paramétrage de la demi-hyperbole
x cosh t , t e R
x2 y21 , xgt0
y sinh t , t e R
57
La fonction argsinh R ? R
x e R et y sinh x y e R
et xargsinh y
variable auxiliaire
argsinh (y) 1/cosh(argsinh(y)) (1y2)-1/2

X ex X2 2y X - 1 0
sinh x y
x argsinh y log y (1y2)1/2
58
La fonction argcosh y y r 1
? x x r 0
xr0 et y cosh x y r 1 et
xargcosh y
variable auxiliaire
argcosh (y) 1/sinh(argcosh(y)) (y2 -1)-1/2
, y gt 1

X ex x r 0 (donc X r1) X2 2y X 1 0
cosh x y
x argcosh y log y (y2 -1)1/2
59
La fonction tangente hyperbolique

• tanh x e R ? tanh x sinh x / cosh x
• tanh x e R ? 1 tanh2 x (cosh x)-2

x e R et y tanh x y e
-1,1 et x argtanh y
argtanh y 1/(1-y2) (1/2)
x 1/(y1) - (1/2) x 1/(y-1) , y e -1,1
argtanh y log (y1/y-1)1/2 , y e
-1,1
60
Notion dintégrale

• Comment calculer laire dun sous-ensemble
• borné A du plan ?
• Les méthodes  probabilistes 
• (Monte Carlo)
• Les méthodes numériques
• -Les formules exactes

61
Le cas des unions de rectangles
62
Méthode de Monte Carlo
Nombre de points tombant dans D/ Nombre de points
 jetés 
63
Un exemple densemble fractal (de la difficulté
de mesurer tout et nimporte quoi !)
64
Mesure  extérieure  dun ensemble borné du plan










m(A) inf ( mesure des unions de pavés
recouvrant A)
65
On peut  mesurer  A si et seulement si
Pour tout e gt0 , il existe une union de pavés Re
telle que
m (A D Re) lt e
aire (A) inf (m(unions de pavés contenant A))
66
Le cas des fonctions continues positives sur un
segment a,b
Sk
(b-a)/N (supIk f infIk f) ? 0
Ik
xN,2
xN,1
b
a
(b-a)/N (f(xN,1) f(xN,2) f(xN,N)) ? aire de
(x,y) 0 b y b f(x)
67
Définition de lintégrale dune fonction
continue sur a,b
f sup (f,0) sup (-f,0) f - f-
!
f(t) dt aire (x,y) 0 b y b f(x) aire
(x,y) 0 b y b f-(x)
b
a,b
!
f(t) dt
a
68


-
69
Le cas des fonctions à valeurs complexes

• f Re (f) i Im (f)

b
!
!
b
!
b
f(t) dt
Re (f(t)) dt i
Im (f(t)) dt
a
a
a
70
Propriétés de lintégrale
linéarité
!
!
b
!
b
b
(l f(t) m g(t)) dt l f(t) dt m
g(t) dt
a
a
a
monotonie
!
!
b
b
f b g sur a,b f(t) dt b
g(t) dt
a
a


!
b
!
b
b
f(t) dt
f(t) dt
a
a
71
Relation de Chasles
!
!
b
!
c
b
f(t) dt f(t) dt
g(t) dt
c
a
a
!
!
x
y
avec la convention f(t) dt -
f(t) dt
x
y
lorsque y lt x
(f continue sur I , a, b, c étant trois points de
I)
72
Le théorème  fondamental  de lanalyse
Soit f une fonction continue sur un intervalle
ouvert I de R et a un point de I . La fonction
!
x
x e I ? F(x) f(t) dt
a
est dérivable sur I, de dérivée Ff sur I
F primitive de f sur I
73
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle
ouvert I, de dérivée continue sur I Soit a,b
un segment inclus dans I alors
!
b
f(t) dt f(b) f(a)
a
74
Application 1 la formule dintégration  par
parties 
Soit I un intervalle ouvert de R , f et g deux
fonctions dérivables sur I, avec f et g aussi
continues sur I si a,b est un segment de I

b
!
b
!
f(t) g(t) dt
f(t) g(t) dt
f(b) g(b) f(a) g(a) -
a
a
75
Application 2 la formule de changement de
variables
Soit I et J deux intervalles ouverts de R Soit
u I ? J , strictement monotone, dérivable et
de dérivée continue sur a,b c I avec c
u(a), d u(b) alors
du(b)
!
!
b

f(s) ds
f( u(t)) u(t) dt
cu(a)
a
pour toute fonction continue f J ? R
76
Quelques exemples dapplication de ces méthodes

• Expressions rationnelles en les fonctions
  trigonométriques
• Expressions rationnelles en les fonctions
  trigonométriques hyperboliques
• Fonctions dont une dérivée à un certain ordre est
  une fraction rationnelle
• Fonctions du type t ? tn exp ( l t)
• Fonctions du type t ? tn cos (l t) ou t ? tn sin
  (lt)
• Fonctions du type x ? F(x, (ax2bxc)1/2)

77
Expressions rationnelles en les lignes
trigonométriques

• cos (t) 2 cos2 (t/2) -1
  (1-u2)/(1u2)
• sin (t) 2 sin (t/2) cos (t/2)
  2u/(1u2)

t e -p, p u tan (t/2) , t
2 Arctan u
78
u tan (t/2) t 2 Arctan u
a,b c -p, p
b
2u ------ 1u2
1- u2 ------ 1u2
tan (b/2)
P(cos t, sin t)
!
2du ------ 1u2
dt
1- u2 ------ 1u2
2u ------ 1u2
Q(cos t, sin t)
a
tan (a/2)
79
Linéarisation des polynômes trigonométriques
jN
S
!
aj sin (kj q) bj cos (kj q) -------------------
-------------- kj
a0 q
P (cos q , sin q) a0 (aj
cos (kj q) bj sin (kj q))
dq
j1
80
Expressions rationnelles en les lignes
trigonométriques hyperboliques
u exp (t) t log u
a,b c R
b
u (1/u) ---------- 2
u-(1/u) -------- 2
exp(b)
P( cosh t , sinh t )
!
du ------ u
dt
u-(1/u) --------- 2
u(1/u) ---------- 2
Q(cosh t, sinh t )
a
exp (a)
81
Intégrales abéliennes
b2- 4 ac
!
V
dx
F ( x , ax2 bx c
)
a (xb/2a)2 - D/4a2

• a lt 0 , Dd2 gt 0

• a gt 0 , D-d2 lt 0
• a gt 0 , D d2 gt0

x -b/2a (d/2a) sinh u
x -b/2a (d/2a) cos u ou x
-b/2a - (d/2a) sin u
x -b/2a (d/2a) cosh u
ou x -b/2a - (d/2a) cosh u
82
Primitives de fractions rationnelles
!
?
S
kN
!
P(x) R(x)
---- ak xk
----- Q(x)
Q(x)
ak xk1 --------- k1
dx
dx
k0
deg R lt deg (Q)
Cas particuliers deg (Q) 1 et deg (Q) 2
83
Premier cas b2-4ac gt0
!
a x b
dx
a x2 bx c
a (x x1) (x-x2)

u1 log x-x1
u2 log x-x2
u1 u2 ------ ------- x-x1
x- x2
84
Second cas b2-4ac 0
!
a x b
dx
a x2 bx c
a (x x0)2

a log x-x0 --------------- a
- (a x0 b) --------------- a (x-x0)
a a x0 b -------
--------- a(x-x0) a (x- x0)2
85
Troisième cas b2-4ac -d2 lt 0
!
a x b
dx
a (x (b/2a))2 (d2/4a2)
a x2 bx c

2av x (b/2a) ----
Arctan 2a ----------------- d
d
u log (x(b/2a))2 (d2/4a2)
------------------------------------
2
x (b/2a)
v u -------------------
------------------ (x (b/2a))2
(d2/4a2) (x(b/2a))2 (d2/4a2)
86
Equations différentielles
ordre 1
F ( t , y(t) , y(t)) 0 , t e I
vitesse
Temps
position
F ( t , y(t) , y(t) , y (t)) 0 , t e I
ordre 2
accélération
87
Equations linéaires dordre 1
y (t) a(t) y(t) b(t) , t e I
(a et b fonctions continues de I dans R ou C)

Condition  initiale  y(t0) y0
(t0 e I , y0 e R ou C)
88
Lapproche numérique méthode dEuler

• Se fixer des conditions initiales t0, y0
• Choisir un pas de temps t

• Choisir T  durée de vie  tel que t0, T soit
  inclus dans I

approximation de y(t0 nt)
ut,0 y0 ut,n1 ut,n t ( a(t0 nt) ut,n
b(t0nt)) (tant que t0 nt
b T)
89
Le théorème de Cauchy
Hypothèses
- I intervalle ouvert de R - a et b fonctions
continues de I dans R (ou C) - t0 e I y0
e R ou C (données initiales)
Conclusion
Il existe une unique courbe intégrale de
léquation différentielle y(t) a(t) y(t)
b(t) passant par le point (t0,y0)
Il existe une unique fonction y I ? R (ou C)
telle que y (t) a(t) y(t) b(t)
pour t dans I y(t0) y0 (condition
initiale)
90
Lattaque du problème étape 1 résolution de
léquation homogène
Y 0
y (t) a(t) y(t) b (t)
Y constante
t
!
A (t) a(t) dt
t0
fonction auxiliaire Y(t) y(t) exp (-A (t))
1 degré de liberté
y (t) C exp (A (t))
91
Lattaque du problème étape 2 recherche
dune solution particulière de léquation
complète
y (t) a(t) y(t) b (t)
variation de la constante
y (t) C(t) exp (A (t))
(C(t) a(t) C(t)) exp(A(t)) a(t) C(t) exp
(A(t)) b(t)
t
C (t) b(t) exp (-A (t))
C(t) C !b(u) exp (-A(u)) du
ypart (t)
exp(A(t))
t0
92
Le bilan final
Solutions de léquation y(t)a(t) y(t) b(t)
avec condition initiale y(t0) y0
y(t) exp(A(t)) ( C !b(u) exp(-A(u)) du )
t
z0
t0
z0y0 exp(-A(t0))y0
Condition initiale y(t0) y0
93
Les équations de J. Bernouilli
y(t) a(t) y(t) b(t) y(t)a (a e R
\ 0,1)
z(t) (1-a) a(t) z(t) (1-a) b(t)
Condition initiale y(t0) y0 gt 0
z(t0) y01-a
Fonction auxiliaire z(t) y(t) 1-a
94
Equations linéaires dordre 2
y (t) a(t) y(t) b(t) y(t) c(t) , t e I
(a,b,c fonctions continues de I dans R ou C)

Conditions  initiales  y(t0) y0
y(t0)v0
(t0 e I , y0 , v0 e R ou C)
95
Un exemple de motivation une cellule
electronique dordre 2
i ?
(UA UC ) (t) R i(t) L di/dt
c (UC-UD) (t) i (t)
f(t) UA UB (t)
y(t) Uc UD (t)
Lc y (t) R c y(t) y(t) f(t)
96
Lapproche numérique méthode dEuler

• Se fixer des conditions initiales t0 , y0 , v0
• Choisir un pas de temps t

approximation de y(t0 nt)

• Choisir T  durée de vie  tel que t0, T soit
  inclus dans I

ut,0 y0 , ut,1y0 t v0 ut,n2 ut,n
(t2 b(t0nt) t a(t0nt)-1)
ut,n1 ( t a(t0 nt) 2) t2 c(t0nt)
(tant que t0 nt b T)
97
Le théorème de Cauchy
Hypothèses
- I intervalle ouvert de R - a , b , c fonctions
continues de I dans R (ou C) - t0 e I y0
, v0 e R ou C (données initiales)
Conclusion
Il existe une unique fonction y I ? R (ou C)
telle que y (t) a(t) y(t) b(t) y(t)
c(t) pour t dans I y(t0) y0 , y(t0)v0
(conditions initiales)
Il existe une unique courbe intégrale de
léquation différentielle y(t) a(t) y(t)
b(t) y(t) c(t) passant par le point (t0,y0)
et ayant au point (t0,y0) une tangente de pente
v0
98
Le cas  à coefficients constants 
Hypothèses
- I intervalle ouvert de R - a , b e R ou C , c
fonction continue de I dans R (ou C) - t0 e I
y0 , v0 e R ou C (données initiales)
Conclusion
Il existe une unique fonction y I ? R (ou C)
telle que y (t) a y(t) b y(t) c(t)
pour t dans I y(t0) y0 , y(t0)v0
(conditions initiales)
Il existe une unique courbe intégrale de
léquation différentielle y(t) a y(t) b
y(t) c(t) passant par le point (t0,y0) et
ayant au point (t0,y0) une tangente de pente v0
99
Lattaque du problème étape 1 résolution de
léquation homogène
y(t) a y (t) b y(t) 0 , t e R
a , b e C
?
y(t) exp ( w t) solution ?
w2 a w b 0
X2 a X b 0 (équation caractéristique)
(X- w1) (X-w2)
cas 1 a2 4 b non nul
w1 et w2 distinctes
y C1 exp(w1t) C2 exp (w2 t) OK

cas 2 a2 4 b 0
y C1 exp(w t) C2 t exp (w t) OK
w1 w2 w
100
Lattaque du problème résolution de léquation
homogène (cas complexe (2))a , b complexes
conditions initiales (y0 , v0 e C)
cas 1 a2 4 b non nul
w1 et w2 distinctes
y C1 exp(w1t) C2 exp (w2 t) OK
y1(t)
y2(t)
cas 2 a2 4 b 0
y C1 exp(w t) C2 t exp (w t) OK
y2(t)
y1(t)
w1 w2 w
C1 y1(t0) C2 y2(t0) y0 C1 y1(t0) C2
y2(t0) v0
solution (C1,C2) unique !!

système de Cramer !
101
Lattaque du problème léquation homogène dans
le cas réel (1)
l a/2 gt0 oscillations amplifiées
l a/2 lt0 oscillations amorties
y(t) a y (t) b y(t) 0 , t e R
a , b e R
X2 a X b 0 (équation caractéristique)
(X- l1) (X-l2)
cas 1 a2 4 b gt 0
inf(lj)gt0  explosion 
y C1 exp(l1t) C2 exp (l2 t) OK
l1 et l2 réels distincts
sup(lj)lt0  extinction 
cas 2 a2 4 b 0
lgt0  explosion 
y C1 exp(l t) C2 t exp (l t) OK
l racine réelle double

cas 3 a2 4 b lt 0
llt0  extinction 
y exp(l t) (C1 cos(wt) C2 sin (w t)) OK
racines l /- i w
102
Lattaque du problème résolution de léquation
homogène (cas réel (2))a , b réels conditions
initiales (y0 , v0 e R)
cas 1 a2 4 b gt 0
y1(t)
y2(t)
y C1 exp(l1t) C2 exp (l2 t) OK
cas 2 a2 4 b 0
y C1 exp(l t) C2 t exp (l t) OK
y1(t)
y2(t)
cas 3 a2 4 b lt 0
y C1 exp(l t) cos (w t) C2 exp (l t) sin (w
t) OK
y1 (t)
y2 (t)
C1 y1(t0) C2 y2(t0) y0 C1 y1(t0) C2
y2(t0) v0
solution (C1,C2) unique !!

système de Cramer !
103
Recherche dune solution particulière de
léquation  avec second membre 
!
t
y2 (u) c(u) C1(u)
- ------------------
(y1 y2 y2 y1)(u)
y1 (u) c (u) C2(u)
------------------ (y1
y2 y2 y1)(u)
du
C1(t)
I . Méthode de  variation des constantes
y(t)a y(t) b y(t) c(t)
c(t)
t0
!
t
OK dès que
système de Cramer !
C2(t)
du
C1 y1 C2 y2 0 C1 y1 C2 y2 c
Solution unique (C1,C2)
t0
y(t) C1 y1(t) C2 y2(t)
C1(t)
C2(t)
ypart(t)
104
Bilan la solution du problème de Cauchy
(cond. initiales y0,v0)
solution générale de léquation y(t) a y(t)
by(t)0
!
t
c(t) (y1(u) y2 (t) y2 (u) y1 (t)) --------------
---------------------- du y1(u) y2(u)
y2(u)y1(u)
y (t) C1 y1(t) C2 y2 (t)
t0
C1 y1(t0) C2 y2 (t0) y0 C1 y1(t0) C2
y2(t0) v0
solution particulière de léquation y (t) a
y(t) b y(t) c(t)
105
Remarque II. Une autre méthode pour la recherche
dune solution particulière de y(t) a y(t)
by(t) c(t)
Si le second membre c est de la forme P(t)
exp(w t) , w e C P(t) cos (wt) , w e R P(t)
sin (wt) , w e R
On cherche une solution particulière de la forme
ypart(t) Q (t) exp (wt), deg (Q) b deg (P)
2
(par exemple par identification)
106
Fin du Chapitre 3