FONCTIONS EXPONENTIELLES

1
FONCTIONS EXPONENTIELLES

• EN TERMINALE ST2S
• auteur Philippe Angot (version adaptée)

2
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
I - INTRODUCTION
3
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Certains problèmes, liés aux suites géométriques,
ne peuvent pas être résolus à laide des suites
géométriques ..
4
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Par exemple
La population dun village diminue de 5 par
an. Un agent de recensement passé dans le village
le 15 janvier 2003 a compté 5230
habitants. Combien comptera-t-il dhabitants
lorsquil repassera le 15 juin 2005 ?
On a placé le 1er janvier 2005 la somme de 1000
sur un livret rapportant 3,5 dintérêts
(composés) par an. De quelle somme pourra-t-on
disposer le 1er mars 2008 ?
5
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Une interpolation linéaire est possible,
mais elle donne dans la plupart des cas une
approximation trop éloignée du résultat exact.
6
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Ici la suite géométrique de premier terme 1 et de
raison 1,5
En noir les points représentant les valeurs
exactes des termes de la suite.
Lerreur commise devient rapidement importante
En rouge les points représentant les valeurs
des termes de dindices impairs calculés par
interpolation linéaire à partir des termes de
rangs pairs qui lencadrent.
1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
7
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
II CONSTRUCTION DUNE FONCTION EXPONENTIELLE
8
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Les fonctions exponentielles sont présentées
comme le prolongement des suites géométriques de
premier terme 1 et de raison q strictement
positive
La démarche est expérimentale. Elle consiste à
compléter le nuage de points représentant les
puissances entières dun réel strictement positif
q
9
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Lalgorithme de construction des points est basé
sur le principe de dichotomie. Il sappuie sur
les deux résultats suivants
10
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Lalgorithme de construction des points est basé
sur le principe de dichotomie. Il sappuie sur
les deux résultats suivants
11
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Considérons 3 points  consécutifs  de la
représentation graphique dune suite géométrique
Illustration
Le point  du milieu  admet
-pour abscisse, la moyenne arithmétique des
abscisses des deux points qui lentourent
-pour ordonnée, la moyenne géométrique des
ordonnées des deux points qui lentourent
12
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Outils tableur et grapheur
13
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
1ère étape Points à abscisses entières
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
O
-1
14
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
15
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
2ème étape
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
O
-1
16
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
17
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
3ème étape
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
O
-1
18
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
On utilise le même processus dichotomique pour
obtenir un nombre croissant de points
19
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
On peut répéter le processus à linfini  pour
obtenir un nombre de plus en plus important de
points
8
7
6
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
O
20
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
On peut répéter le processus à linfini  pour
obtenir un nombre de plus en plus important de
points
21
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Cet ensemble de points suggère la courbe dune
fonction.
On admet que cette fonction existe et est unique
22
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
III PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES
23
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Les propriétés suivantes sont admises
24
DES SUITES GÉOMÉTRIQUES AUX FONCTIONS
EXPONENTIELLES
Remarques