Repaso de Matem

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Repaso de Matemáticas

• Presentado por J. Martínez

2
Cálculos matemáticos básicos

• Fraccionarios, decimales y porcentajes
• Para expresar un fraccionario como decimal,
  divide el numerador entre el denominador. El
  número resultante, el cociente, será el decimal
  equivalente del fraccionario. Para expresar un
  fraccionario como porcentaje, multiplica el
  cociente por 100. Redondea el resultado al
  número correcto de dígitos significativos.

3
Fraccionarios, decimales y porcentajes

• Ejemplo Expresa 59 como decimal y como
  porcentaje.
• Estrategia
• Divide 33 entre 59, expresando el resultado con
  dos dígitos significativos.
• Multiplica el decimal por 100 para determinar
  el porcentaje.
• Solución 59 0.5593 0.56 0.56 X 100 56

4
Fraccionarios, decimales y porcentajes

• Para expresar un porcentaje como decimal, escribe
  el porcentaje en forma de fraccionario, x/100 , y
  luego halla el cociente. Una forma sencilla de
  hacerlo es mover el punto decimal dos lugares a
  la izquierda y quitar el símbolo de porcentaje.
• Ejemplo Expresa 91.6 como decimal.
• Estrategia
• Mueve el punto decimal dos lugares a la
  izquierda.
• Solución 91.6 ?0.916

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Cálculo de la incertidumbre relativa y del error
relativo

• Siempre que midas una magnitud física, hay cierto
  grado de incertidumbre en la medición. El tipo de
  dispositivo de medición que elijas para medir,
  como las dos reglas que se muestran a
  continuación, y cuan cuidadosamente lo utilices,
  afecta la precisión y la exactitud.

6
Regla de medir
7
Cálculo de la incertidumbre relativa y del error
relativo

• La precisión de un resultado experimental puede
  expresarse como incertidumbre estimada. Examina
  los resultados experimentales reportados por los
  tres estudiantes. Cada estudiante midió la
  longitud de un bloque de madera. El resultado del
  estudiante 1 reportó una longitud de (18.8 0.3)
  cm. La incertidumbre estimada en esa medida está
  representada por 0.3. Nota que cada estudiante
  reportó una incertidumbre estimada diferente.

Lámina 1
8
Lámina 1
Estudiante 1 Estudiante 2 Estudiante 3











19.0
18.5
18.0
18.8 0.3 cm
19.0 0.2 cm
18.3 0.1 cm
9
Cálculo de la incertidumbre relativa y del error
relativo

• Los estudiantes también pudieron reportar cada
  resultado empleando la incertidumbre relativa.
• incertidumbre relativa () incertidumbre
  estimada x 100
  medición real

10
Cálculo de la incertidumbre relativa y del error
relativo

• Con frecuencia, los datos experimentales se
  comparan con los valores aceptados. El error
  relativo es el porcentaje de desviación de un
  valor aceptado, es decir, la incertidumbre de una
  medida en términos de exactitud. El error
  relativo se calcula de acuerdo un la siguiente
  fórmula.
• error relativo () valor aceptado valor
  experimental X 100
• valor aceptado

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Cálculo de la incertidumbre relativa y del error
relativo

• Ejemplo Compara el error relativo y la
  incertidumbre relativa de las medidas de cada
  estudiante mostradas en la lámina 1. La longitud
  real del bloque de madera es 19 cm.
• Estrategia
• Identifica el valor experimental y la
  incertidumbre estimada medidos por cada
  estudiante.
• Emplea las formulas anteriores para calcular
  las dos cantidades desconocidas. Redondea las
  respuestas al número correcto de dígitos
  significativos.

Lámina 1
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Cálculo de la incertidumbre relativa y del error
relativo

• Solución
• error relativo 1 () valor aceptado valor
  experimental X 100
• valor aceptado
• error relativo 1 () 19.0 cm 18.8 cm X 100
• 19.9 cm
• error relativo 1 () 1.05

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Cálculo de la incertidumbre relativa y del error
relativo

• error relativo 2 () valor aceptado valor
  experimental X 100
• valor aceptado
• error relativo 2 () 19.0 cm 19.0 cm X 100
• 19.0 cm
• error relativo 2 () 0.00

14
Cálculo de la incertidumbre relativa y del error
relativo

• error relativo 3 () valor aceptado valor
  experimental X 100
• valor aceptado
• error relativo 3 () 19.0 cm 18.3 cmX 100
• 19.0 cm
• error relativo 3 () 3.68

15
Cálculo de la incertidumbre relativa y del error
relativo

• incertidumbre relativa 1 () incertidumbre
  estimada x 100
  medición real
• incertidumbre relativa () 0.3 cm x 100
  19.0 cm
• incertidumbre relativa () 1.59
• incertidumbre relativa () 2

16
Cálculo de la incertidumbre relativa y del error
relativo

• incertidumbre relativa 2 () incertidumbre
  estimada x 100
  medición real
• incertidumbre relativa () 0.2 cm x 100
  19.0 cm
• incertidumbre relativa () 1.05
• incertidumbre relativa () 1

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Cálculo de la incertidumbre relativa y del error
relativo

• incertidumbre relativa 3 () incertidumbre
  estimada x 100
  medición real
• incertidumbre relativa () 0.1 cm x 100
  18.3 cm
• incertidumbre relativa () 0.54
• incertidumbre relativa () 0.5

18
Cálculo de la incertidumbre relativa y del error
relativo

• El estudiante 3 reportó la menor incertidumbre
  relativa. Su medida fue la más precisa. La medida
  del estudiante 2 fue la mas exacta. Tuvo el menor
  error relativo.

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Relaciones, tasas y proporciones

• Una relación es una comparación entre dos números
  mediante la división. Las razones con frecuencia
  se expresan como fraccionarios.
• Un tasa es una relación entre dos medidas con
  diferentes unidades.
• Por ejemplo, la relación, metros/segundos,
  compara la distancia recorrida con un periodo de
  tiempo.

20
Relaciones, tasas y proporciones

• En física, tendrás que resolver problemas
  vinculados con relaciones.
• Una proporción es una relación de igualdad de dos
  o más razones.

21
Relaciones, tasas y proporciones

• Para averiguar una cantidad desconocida en una
  proporción, multiplica en cruz los términos en
  las relaciones y resuelve la incógnita.
• Nota que los productos de las multiplicaciones en
  cruz ad y cb son iguales.

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Relaciones, tasas y proporciones

• Si a/b c/d entonces ad cb
• Ejemplo 1.0 pulg. 3.5 pulg.
• 2.54 cm x

23
Relaciones, tasas y proporciones

• Estrategia
• Multiplica en cruz
• Resuelve para encontrar x.
• Redondea la respuesta a dos dígitos
  significativos.

24
Relaciones, tasas y proporciones

• Solución
• 1.0 pulg. 3.5 pulg.
• 2.54 cm x
• (1.0 pulg.)x (2.54 cm)(3.5 pulg.)
• X (2.54 cm)(3.5 pulg)
• 1.0 pulg.
• X 8.89 cm
• X 8.9 cm

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Álgebra

• Solución de problemas
• Para resolver una incógnita, realiza operaciones
  aritméticas a ambos lados de la igualdad hasta
  que la incógnita quede sola a un lado de la
  ecuación.
• Ejemplo averigua el valor de x en la siguiente
  ecuación.
• ay / x cb 5
• Estrategia
• Multiplica ambos lados por x.
• Divide ambos lados entre el término cb 5.

26
Álgebra

• Ejemplo averigua el valor de x en la siguiente
  ecuación.
• ay / x cb 5
• Estrategia
• Multiplica ambos lados por x.
• Divide ambos lados entre el término cb 5.

27
Álgebra

• Solución
• ay/x cb 5
• x ( ay/x ) x( cb 5)
• ay x ( cb 5)
• x ay/ cb 5

28
Operaciones con unidades/análisis dimensional

• La mayoría de las cantidades físicas tienen
  unidades así como también valores numéricos.
• Cuando remplazas un valor dentro de una ecuación,
  debes escribir tanto el valor como la unidad.

29
Operaciones con unidades/análisis dimensional

• Aprendiste en el método factor-característica de
  conversión de unidades que, cuando un término
  tiene varias unidades, puedes operar las unidades
  como cualquier otra cantidad matemática.

30
Operaciones con unidades/análisis dimensional

• Con frecuencia podrás saber si estableciste
  incorrectamente la ecuación revisando las
  unidades. A menudo, este procedimiento se llama
  análisis dimensional.
• Si tu respuesta tiene las unidades equivocadas,
  cometiste un error en el cálculo de ella.

31
Operaciones con unidades/análisis dimensional

• Ejemplo encuentra d cuando v 67 metros/segundo
  y t 5.0 minutos
• Estrategia_
• v, t, y d están relacionadas por la ecuación d
  vt.
• Establece la ecuación y opera con las unidades.
• Asegúrate de que la unidad resultante es
  correcta para d.

32

• Solución d vt
• d 67 metros X 60 segundos X 5.0 minutos
  segundo 1 minuto
• d 67 metros X 6O segundos X 5.0 minutos
• segundo 1 minuto
• D 2.0 x 104 metros

33
Propiedades de los exponentes

• Un exponente nos dice cuantas veces un número,
  llamado base, se usa como factor. En el ejemplo,
  a X a X a a3, a está elevada a la tercera
  potencia.

34
Propiedades de los exponentes

• Para cualquier número diferente de cero y
  cualquier número entero n, se aplican las
  siguientes propiedades.
• Exponente igual a cero a0 1
• Exponente igual a uno a1 a
• Exponentes negativos a-n 1/an

35
Propiedades de los exponentes

• Para todos los números enteros a y b y todos los
  números enteros m, n y p, se aplican las
  siguientes propiedades.
• Producto de potencias am x an a(mn)
• Potencia de potencias (am)n a(mn)
• Cociente de potencias am / an am-n
• Raíz n de potencias n/am am/n
• Potencia de un producto (ab)m (am)(bm)
• Potencia de un monomio (ambn)p
  (amp)(bnp0

36
Propiedades de los exponentes

• Ejemplo Simplifica (2a4b)3(-2b)32
• Estrategia
• Usa la propiedad de potencia de potencias.
• Usa la propiedad de potencia de un monomio.
• Usa la propiedad de producto de potencias.

37
Propiedades de los exponentes

• Solución
• (2ª4b)3(-2b)32 (2a4b)3(-2b)6
• 23(a4)3b3(-2)6b6
• 8a12b3(64)b6
• 512a12b9

38
Propiedades de los exponentes

• Ejemplo Simplifica 4 1
• a 2
• Estrategia
• Usa la propiedad de exponentes negativos. Usa
  la propiedad de raíz n de potencias.

39
Propiedades de los exponentes

• Solución 4 1
  4 a-2
• a2
• a (-2/4)
• a (-1/2)

40
La fórmula cuadrática

• Cualquier ecuación con una variable, donde la
  potencia más alta es dos, es una ecuación
  cuadrática. La gráfica de una ecuación cuadrática
  es una parábola. Las raíces de una ecuación
  cuadrática en la forma ax2 bx c 0, donde
  a0, están dadas por la fórmula cuadrática.
• x -b b2 4ac
• 2a

41
La fórmula cuadrática
Las cantidades a, b, y c son dadas
típicamente. La expresión b2 4ac se llama el
discriminante. El discriminante nos dice la
naturaleza de las raíces de la ecuación
cuadrática. Discriminante Naturaleza de las
raíces b2 4ac gt 0 dos raíces reales
distintas b2 4ac 0 exactamente una raíz
real b2 4ac lt 0 dos raíces imaginarias distintas
42
La fórmula cuadrática

• Ejemplo Resuelve x2 6x 40 0.
• Estrategia
• Remplaza los valores en la fórmula cuadrática.
• a 1, b 6, y c 40.

43
La fórmula cuadrática

• Solución
• X -(-6) (-6)2 4(1)(-40)
• 2(1)
• X 6 36 160
• 2
• X 6 14
• 2
• X 10 ó X -4

44
La fórmula cuadrática

• Observa que en el ejemplo hay dos soluciones x
  10 y x-4. Algunas veces, en los problemas de
  física, sólo una solución corresponde a una
  situación de la vida real. En ese caso, una de
  las soluciones será descartada.

45
Geometría y trigonometría
46

• Usa el siguiente cuadro para resolver problemas
  que contengan perímetro, circunferencia, área y
  volumen

47
Perímetro/ Circunferencia Área Área de la superficie Volumen
Circulo Radio r C 2pr A pr2
Cuadrado Lado a P 4a A a2
Rectángulo Longitud l Ancho w P 2l 2w A lw
Triangulo Base b Altura h A (1/2)bh
Cilindro Radio r Altura h AS 2prh 2pr2 V pr2h
Esfera Radio r AS 4pr2 V (4/3)(pr3)
Cubo Lado a AS 6ª2 V a3
48
Cálculo del área mediante una gráfica

• El cálculo del área mediante una gráfica, como se
  muestra en las láminas, con frecuencia puede
  ofrecer información útil.
• Cuando no conoces la fórmula del área de una
  figura con forma curvada, puedes aproximar el
  área dibujando rectángulos a pequeños intervalos.
  Cuanto mas pequeños sean los intervalos, más
  aproximada será la suma de las áreas de los
  rectángulos al área real bajo la curva.

49
A l x h




50
A área de rectángulo área de triángulo




51
Teorema de Pitágoras

• Si a y b representan las medidas de los catetos
  de un triángulo rectángulo y c representa la
  medida de la hipotenusa, entonces c2 a2
  b2, ó c a2 b2.

52
Ejemplo

• Encuentra la distancia c de A a B en la lámina.
  Estrategia
• Usa la gráfica para determinar a y b.
• Usa el teorema de Pitágoras para hallar c.
• Solución Distancia entre B y C a 4 1
  3 Distancia entre A y C
  b 1-5 4
• c (4232)(1/2)
• (169)2
• 5
• La distancia de A a B es 5.

Lámina 3
53
Y





X
54
Triángulos especiales

• En física, es ventajoso conocer la relación entre
  los lados de un triángulo rectángulo de 30 6090
  y los lados de un triángulo rectángulo de 45 -
  45 - 90 . Si la longitud de un lado del
  triangulo se conoce, los lados desconocidos
  pueden calcularse fácilmente.

55
Triángulos especiales
60
2x
x
30
3(1/2)x
56
Triángulos especiales
45
2(1/2)x
x
45
x
57
Triángulos especiales

• Las relaciones de la longitud de los lados de un
  triángulo rectángulo pueden usarse para definir
  las funciones trigonométricas básicas, seno
  (sen), coseno (cos) y tangente (tan). Los lados a
  y b forman el Angulo recto, ltC. El ángulo ? está
  formado por los lados b y c. El lado a es opuesto
  al ángulo ?. El lado c, opuesto al ángulo recto,
  se llama hipotenusa.

58
B
a
c
?
A
C
b
59
Sen ?

• Sen ? opuesto / hipotenusa a/c

60
Cos ?

• Cos ? adyacente/hipotenusa b/c

61
Tan ?

• Tan ? opuesto/adyacente a/b

62

• Usa la primera letra de los términos de cada
  relación para formar el acrónimo SOH-CAH-TOA así
  es fácil recordar las relaciones trigonométricas.

63
Ejemplo

• Para el triángulo ABC en la lámina anterior,
  encuentra sen ?, cos ? y tan ?, Si a 48 cm, b
  55 cm, y c 73 cm.
• Estrategia
• Usa las relaciones trigonométricas, SOH-CAH-TOA.

64
Solución

• SOH sen ? opuesto/ hipotenusa 48 cm/73 cm
  0.66
• CAH cos ? adyacente/hipotenusa 55 cm/73 cm
  0.75
• TOA tan ? opuesto /adyacente 48 cm/55 cm
  0.87

65

• Si el valor del seno, coseno o tangente puede
  determinarse con la longitud de dos de los lados
  del triángulo, el ángulo correspondiente puede
  encontrase empleando una tabla de funciones
  trigonométricas o utilizando la función inversa
  (sen-1,cos-1, o tan-1), en una calculadora.

66
Ley del coseno y del seno

• En ocasiones, necesitaras trabajar con un
  triángulo que no es rectángulo. La ley del Coseno
  y la ley del Seno se aplican en todos los
  triángulos.

67
Ley del coseno y del seno
A
B 5.00 cm
C
? 60.0
B
C
a 4.00 cm
68
Ley del coseno y del seno

• La ley del Coseno es útil cuando conoces las
  medidas de dos de los lados y el ángulo formado
  por ellos, o las medidas de los tres lados del
  triángulo.
• c2 a2b2 2ab cos ?

69
Ejemplo

• Para el triangulo ABC anterior, encuentra la
  longitud del lado c.
• Estrategia
• Remplaza los valores conocidos dentro de la ley
  del Coseno.
• a 4.00 cm, b 5.00 cm, y ?60.0.

70
Solución

• c2 (a2b2 2ab cos ?)1/2
• c ((4.00 cm)2 (5.00 cm)2 2(4.00 cm)(5.00
  cm)cos 60.0)1/2
• c (16.0 cm2 25.0 cm2 (40.0
  cm2)(0.500))(1/2)
• c (21.0 cm2)1/2
• c 4.58 cm

71

• De igual manera, se aplica en cualquier
  triángulo, como el ABC de la lámina anterior,
  que
• a2 b2c2 2bc cos A
• b2 a2c2 2ac cos B

72

• Si un triángulo es mayor de 90, su coseno es
  negativo y es numéricamente igual al coseno de su
  suplemento. En el triangulo DEF, abajo, el ángulo
  F es de 120.0. Por tanto, su coseno es el
  negativo del coseno de (180.0 120.0) ó 60.0.
  El coseno de 60.0 es 0.500. Por tanto, el coseno
  de 120.0 es 0.500.

73
D
f
e
E
T120.0
d
F
74

• La ley del Coseno es útil cuando conoces las
  medidas de dos de los lados y el ángulo formado
  por ellos, o las medidas de los tres lados del
  triángulo.
• Sen A/ a sen B/ b sen C/ c

75
Ejemplo

• Para el triangulo ABC en la lamina anterior,
  encuentra la medida del ángulo A.
• Estrategia
• Remplaza los valores conocidos dentro de la ley
  del Seno.
• Usa una calculadora o una tabla trigonométrica
  para ir desde seno de A hasta A.

76
Solución

• sen A/a sen C /c
• sen A a sen C
• C
• sen A 4.00 cm(sen 60.0)
• 4.58 cm
• sen A (4.00 cm)(0.867)
• 4.58 cm
• sen A 0.757
• A 49.2